景冰清

(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院 數(shù)學(xué)教學(xué)研究部,山西 太原 030031)

0 引言

1)Riemann-Liouville定義

2)Caputo定義

2014年,R.Khalil等人在文獻(xiàn)[5]中給出一種新的比較簡單的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義,稱之為一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù):

隨后,Abdeljawad在文獻(xiàn) [6]中進(jìn)一步研究了一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在微分學(xué)中的一些結(jié)論。一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的新定義既突破了微分學(xué)中經(jīng)典導(dǎo)數(shù)的階數(shù)是正整數(shù)的局限,便于研究L-Hospltal提出的問題,同時(shí)在諸多性質(zhì)和應(yīng)用中新定義和經(jīng)典導(dǎo)數(shù)相一致。R.Khalil的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的新定義雖然滿足一階導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算,但要求函數(shù)的自變量t>0,因而有其局限性。本文的目的是突破t>0的局限,給出一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)更完善的一種定義,并研究了一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在微分學(xué)中的一些應(yīng)用。

1 定義及相關(guān)定理

定義1

設(shè)f:R→R,定義f的α階一致導(dǎo)數(shù)為:

定義2

當(dāng)α∈(n,n+1],若f是n階可微的,則f的α階一致導(dǎo)數(shù)可定義為:

定理1

如果f:R→R在t處是α階可導(dǎo)的,α∈(0,1),則f在t處是連續(xù)的。

證明:因?yàn)?/p>

則f在t處是連續(xù)的。

定理2 設(shè)f,g:R→R是α階可導(dǎo)的,α∈(0,1),則有

1)Dα(af+bg)=aDα(f)+bDα(g),a,b∈R；

2)Dα(tp)=ptp+1-2α,p∈R；

3)Dα(λ)=0；

4)Dα(fg)=gDα(f)+fDα(g)；

6) 若f可微,則Dαf(t)=t2(1-α)f′(t).

證明:

6) 令h=εt2(1-α)，則

定理3 (Rolle’s Theorem)設(shè)f:[a,b]→R,滿足以下條件:

1)f在[a,b]上連續(xù)；

2)f是α階可導(dǎo)的,α∈(0,1)；

3)f(a)=f(b).

則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得Dαf(ξ)=0.

定理5 (Cauchy Mean Value Theorem)設(shè)f和g:[a,b]→R,滿足以下條件:

1)f和g是α階可導(dǎo)的,α∈(0,1);

2)Dαf(x)和Dαg(x)在(a,b)內(nèi)不同時(shí)為0;

3)g(a)≠g(b).

定理6 設(shè)f:[a,b]→R,滿足以下條件:

1)f在[a,b]上連續(xù),

2)f是α階可導(dǎo)的,α∈(0,1),則有:

ⅰ.如果?x∈(a,b),Dαf(x)>0,則f在[a,b]上是單調(diào)增加的。

ⅱ.如果?x∈(a,b),Dαf(x)<0,則f在[a,b]上是單調(diào)減少的。

證明:當(dāng)f'(x)>0(<0)時(shí)由定理2易知Dαf(x)=x2(1-α)f'(x)>0(<0),f在[a,b]上是單調(diào)增加(減少)的。

定理7 設(shè)f:R→R,定義f的α階一致積分為:

定理8Dα(Iαf)(t)=f(t) .

2 應(yīng)用舉例

例1 某類函數(shù)的α階一致導(dǎo)數(shù):

1)Dα(tp)=ptP+1-2α.

2)Dα(sinkx)=kx2(1-α)coskx.

3)Dα(ecx)=cx2(1-α)ecx.