易海洋，路樂樂，武志德，張 倩，姬振興，孫如意

(1.華北科技學院，河北 廊坊 065201;2.中國礦業(yè)大學(北京)，北京 100083;3.中國石油勘探開發(fā)研究院 廊坊分院，河北 廊坊 065007)

1 前言

鹽巖憑借其具有低滲透率、較好的流變性和損傷自恢復性能被認為是油氣儲藏和處理高放射性核廢料的理想介質［1-4］。我國地下鹽巖資源豐富，具有建立儲庫的有利條件，但我國鹽巖具有單層厚度薄、含夾層較多以及鹽巖成分中雜質含量較多等特點［5-6］。目前，鹽巖蠕變理論模型主要適用于純鹽巖，而純鹽巖與多雜質鹽巖具有明顯的力學特性［7-8］。因此多雜質鹽巖變形行為及其力學特性引起了廣泛的關注。

為保證地下儲庫在運營過程中的安全性和長期穩(wěn)定性，國內外學者理論分析、試驗、數(shù)值模擬等幾個方面對多雜質鹽巖蠕變進行了大量的研究。周宏偉等［4］通過對含夾層鹽巖進行滲透性測試和CT 掃描，發(fā)現(xiàn)層狀鹽巖的結構較為致密，夾層部分不存在缺陷，且在靜水壓力作用下，試件發(fā)生壓縮變形。鄭雅麗等［7］通過對不同雜質含量鹽巖進行壓縮試驗，發(fā)現(xiàn)雜質含量影響巖石的變形能力、彈性模量和抗拉壓強度、粘聚力、內摩擦角等物理力學特性。徐素國等［9］對鈣芒硝鹽巖進行蠕變試驗，并總結了鈣芒硝鹽巖的力學特性。王安明等［10］通過研究雜質顆粒形狀、大小、含量、分布方式對含雜質鹽巖整體力學特性的影響，總結了雜質含量和力學特性不匹配導致的內部應力集中現(xiàn)象。唐明明等［11］對含夾層鹽巖研究，并通過試驗分析鹽巖試樣的破環(huán)方式以及其他力學參數(shù)。

可見，雜質對鹽巖的蠕變行為影響十分顯著。多雜質鹽巖由于非均質性，在蠕變損傷演化過程中其力學性能會發(fā)生明顯變化。為此，周宏偉等［12-14］提出了鹽巖分數(shù)階蠕變模型，該模型中，考慮了蠕變損傷對材料粘性的影響，能夠很好地刻畫非均質材料的蠕變損傷演化過程。然而，分數(shù)階蠕變模型由于考慮了蠕變損傷對材料粘性的影響，在不同應力作用下，材料的粘性演化規(guī)律是不同的。當前，很少見到關于分數(shù)階蠕變模型在不同應力下的粘性和分數(shù)階階數(shù)演化規(guī)律的研究文獻。

因此，文章通過開展多雜質鹽巖在不同圍壓下不同應力分級加載蠕變試驗，并基于分數(shù)階蠕變模型，對試驗數(shù)據擬合辨識鹽巖分數(shù)階蠕變模型參數(shù)，分析參數(shù)隨應力的變化規(guī)律，提出參數(shù)隨應力的演化模型，進一步拓展分數(shù)階在巖石力學中的應用，豐富多雜質鹽巖蠕變變形的研究方法。

2 多雜質鹽巖三軸蠕變試驗

此次鹽巖蠕變試驗使用中國石油勘探開發(fā)研究院廊坊分院地下儲庫工程實驗室鹽穴儲庫長期運行蠕變試驗機CK/Y2014 -01 進行試驗，該試驗中所用的鹽巖試樣取自江蘇金壇，采用鉆孔取芯，由于鹽巖易溶于水，而且在潮濕的空氣中容易被潮解，則干式鋸磨將樣品加工成直徑100 mm，高為200 mm 的圓柱形試件。試驗加載現(xiàn)場和加載平臺見圖1。

圖1 試驗加載(a)現(xiàn)場和(b)加載平臺Fig.1 Schematic diagram of test loading(a)scene(b)loading platform

試驗在室溫條件下進行，采取分級應力加載，在不同圍壓下，分四級應力加載，每級應力為單軸抗壓峰值強度的15%、30%、45%、60%，每級加載48 h。鹽巖試件樣品編號以及尺度參數(shù)見表1。根據試驗試件的單軸抗壓峰值強度、鹽巖編號，確定鹽巖的三軸蠕變試驗的試件標號以及加載應力見表2。由于鹽巖蠕變過程中擴容較大，在試驗中完成第四級加載后，軸向蠕變和環(huán)向蠕變變形量超過了位移計的范圍，因此停止了試驗。

表1 鹽巖樣品的基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of salt rock samples

表2 加載方案Tab.2 Loading scheme MPa

3 三維分數(shù)階蠕變模型

根據分數(shù)階微積分的定義，Zhou 等［12］考慮了鹽巖蠕變損傷對其粘性的影響，基于西原模型，如圖2 所示，修正了Abel 粘壺的蠕變表達式，如:

圖2 流變本構模型示意圖Fig.2 Schetch of rheological constitutive model

式中:β 為求導階數(shù)，η 為黏性系數(shù)。當σ 為常數(shù)時，對上式(1)兩側進行分數(shù)階積分則有:

根據西原模型的串聯(lián)并聯(lián)關系，即ε =εe+εve+εvp，則鹽巖一維分數(shù)階蠕變模型可表示為:

式(3)中，求導階數(shù)的變化可以描述蠕變損傷造成的蠕變率增大現(xiàn)象，如圖3 所示。

圖3 不同求導階數(shù)β 蠕變曲線Fig.3 Creep curves of different derivative orders

因此，分數(shù)階蠕變模型這一良好的性能能夠用于描述不同應力加載下，由于不同蠕變損傷引起的蠕變率變化。

文章基于式(3)推導三維分數(shù)階蠕變模型。在三維應力狀態(tài)下，巖石的彈性本構關系可以用張量形式表示為:

式中:G0為巖石的剪切模量;k0為巖石的體積模量;Sij為偏應力張量;σmδij為球應力張量。其中σm表示平均應力。

球應力張量σmδij產生的應變是彈性應變，因此在求解黏彈性流變時只考慮偏應力張量Sij，則黏彈性體三維本構關系可以表示為:

將式(4)～式(6)替換式(3)中的彈性、粘彈性和粘塑性項，得到的三維分數(shù)階蠕變模型如式(7)所示。

4 不同應力下分數(shù)階蠕變模型參數(shù)演化規(guī)律

4.1 三維分數(shù)階蠕變模型參數(shù)辨識

文章在周宏偉等［15］提出的一維分數(shù)階蠕變模型基礎上，將一維分數(shù)階蠕變模型推導出了三維形式。如式(7)所示，開展的鹽巖蠕變試驗為三軸形式。因此，采用式(7)進行不同應力作用下鹽巖分數(shù)階蠕變參數(shù)演化規(guī)律的研究。試驗數(shù)據和擬合結果分別如表3 和圖4 所示。

由圖4 可知，在不同圍壓作用下，鹽巖三軸蠕變試驗中各級加載的應變隨時間演化曲線經歷了典型的初始蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變階段。隨著加載應力的增大，初始蠕變值逐漸增大，表現(xiàn)為加載后蠕變曲線在較長一段時間內的非線性曲線關系，且隨著加載應力的增大，蠕變應變增長率逐漸提高，表現(xiàn)為穩(wěn)態(tài)蠕變階段的應變曲線向上抬升。續(xù)表3 (Continue)

表3 分數(shù)階蠕變模型參數(shù)擬合Tab.3 Parameter fitting of fractional creep model

圍壓/MPa偏應力/MPa彈性模量/MPa 粘性系數(shù) 求導殘差階數(shù)平方25 14.14 9 612 2.385 ×104 0.190 9 0.986 28.27 6 620 5 696 0.220 9 0.994 42.41 4 227 2 450 0.26 0.995 56.53 963.7 2 296 0.28 0.972

圖4 不同應力水平下鹽巖蠕變曲線(a)～(c)對應圍壓分別為5 MPa、15 MPa 和25 MPaFig.4 Creep curves of salt rock at different stress (a)-(c)corresponding to confining pressures of 5 MPa，15 MPa and 25 MPa，respectively

4.2 三維分數(shù)階蠕變模型參數(shù)演化規(guī)律

擬合得到的參數(shù)如表3 所示。由表3 可知，在不同圍壓作用下，隨著加載應力增加，鹽巖內部晶體顆粒破壞，鹽巖體積變形，彈性模量、粘性系數(shù)逐漸減小;分數(shù)階求導階數(shù)逐漸增大，表明加載應力將加速鹽巖劣化過程。蠕變模型擬合的殘差平方基本都集中在0.97 ～0.99 之間，表明擬合結果能夠很好地刻畫試驗數(shù)據的演化趨勢。

多雜質鹽巖隨著應力水平的增加，內部損傷逐漸積累，穩(wěn)態(tài)蠕變階段縮短，穩(wěn)態(tài)蠕變率逐漸增大，鹽巖晶體顆粒之間的粘聚力逐漸降低，變形量進一步增大，鹽巖相對更容易進入加速蠕變階段。

文章研究多雜質鹽巖三軸壓縮蠕變試驗數(shù)據，并通過非線性最小二乘法擬合得到分數(shù)階蠕變模型參數(shù)如表3 所示。

假定求導階數(shù)β、粘性系數(shù)η1以及彈性模量E與偏應力均服從指數(shù)分布，可以表示為:

式(8)～式(10)中的a1～a3以及b1～b3為擬合參數(shù)，在不同圍壓作用下，各擬合參數(shù)見表4 ～表6，數(shù)據擬合效果如圖5 所示。

圖5 分數(shù)階蠕變模型參數(shù)變化規(guī)律Fig.5 Parameters variation of fractional creep model

表6 求導階數(shù)演化模型參數(shù)擬合Tab.6 Fitted parameters of derivative order

表4 彈性模量演化模型參數(shù)擬合Tab.4 Fitted parameters of elastic modulus

由參數(shù)演化擬合結果可知，文章所建立的分數(shù)階蠕變模型參數(shù)彈性模量、粘性系數(shù)、求導階數(shù)的演化模型均為指數(shù)型變化，且擬合殘差平方介于0.95～0.99，表明建立的參數(shù)演化模型能夠較好的描述蠕變模型參數(shù)隨應力的變化規(guī)律。

表5 粘性系數(shù)演化模型參數(shù)擬合Tab.5 Fitted parameters of viscosity coefficient

值得注意的是，彈性模量演化模型和粘性系數(shù)模型與文獻［16］中Lubby2 鹽巖蠕變模型中的粘性系數(shù)模型的形式一致，表明文章提出的粘性系數(shù)模型具有一定的合理性。

5 結論

通過開展多雜質鹽巖在不同圍壓下不同應力分級加載蠕變試驗，并基于分數(shù)階蠕變模型，對試驗數(shù)據擬合辨識鹽巖分數(shù)階蠕變模型參數(shù)，并分析模型參數(shù)隨應力的變化規(guī)律，得到如下結論:

1)分數(shù)階蠕變模型能夠很好的擬合多雜質鹽巖的蠕變行為。

2)隨著加載應力的增加，多雜質鹽巖分數(shù)階蠕變模型彈性模量、粘性系數(shù)呈指數(shù)型減小，求導階數(shù)呈指數(shù)型增大。

3)文章提出的基于分數(shù)階蠕變模型的多雜質鹽巖彈性模量、粘性系數(shù)和求導階數(shù)演化模型，該模型能夠很好的描述多雜質鹽巖蠕變過程中的彈性模量、粘性系數(shù)和求導階數(shù)變化過程。同時，文章提出的彈性模量和粘性系數(shù)演化模型與Lubby2 模型中的參數(shù)演化模型形式一致，表明文章建立的分數(shù)階蠕變模型參數(shù)演化模型具有一定的合理性。