陳 行， 唐春明

(西華師范大學數(shù)學與信息學院， 四川南充 637009)

0 引言

Hamming， Gallager， Forney分別發(fā)明了漢明碼[1]， LDPC碼[2]， 級聯(lián)碼[3]， 也設計出對應譯碼算法. 線性碼是重要的糾錯碼之一， 文獻[4]構造了幾類線性碼， 文獻[5]計算了不可約循環(huán)碼的漢明重量， 文獻[6-13]是國內外專家對于線性碼以及與其相關的研究.

線性補對偶碼和自正交碼是兩類特殊的線性碼， 線性補對偶碼的研究可追溯到Massey[14]的相關工作， 利用線性補對偶碼解決數(shù)據(jù)儲存應用程序問題， 同時Massey[15]將LCD碼與非LCD碼作了對比， 得出了漸近良好的LCD碼存在的結論. Tzeng和Hartmann[16]證明了LCD碼的最小碼距大于BCH界. 本文構造出了一類LCD碼以及自正交碼， 并給出LCD碼的重量分布.

設C是一個[n,k]線性碼， 用Ai表示C中Hamming重量為i的碼字的個數(shù)， 由此定義C的重量計數(shù)多項式為

1+A1z1+A2z2+…+Anzn

稱序列(1,A1,A2,…,An)為碼C的重量分布， 重量分布給出了碼C的最小距離以及它的糾錯能力， 碼的重量分布對碼來說尤其重要.

G=[g1,g2,…,gn]

利用集合D， 可以構造Fp上長度為n的線性碼

集合D稱為碼的定義集，CD為矩陣G的行向量生成的碼，CD為一[n,k]線性碼， 其中k為矩陣G的秩， 如果Rank(G)=m， 則G剛好為CD的生成矩陣.

本文的主要目的是構建一種特殊的二元LCD碼和自正交碼， 并且對于構建的二元LCD碼， 確定它的重量公式.

1 Krawtchouck多項式

對于任意素數(shù)冪q和正整數(shù)m， 次數(shù)為i的Krawtchouck多項式定義如下：

1957年， Lloyd[18]第一次使用Krawtchouck多項式進行編碼理論的相關工作， 設C為Fq上重量分布為{1,A1,A2,…,An}的線性碼， 則有如下定理成立.

=Ki(k,m)

2 構造LCD碼和自正交碼

首先引入幾個引理.

引理1[20]設CD為線性碼， 集合

由引理1可以得到LCD碼和自正交碼的判定條件：

引理2[20]設CD為線性碼，CD為LCD碼(自正交碼)的充分必要條件為

Rank(G)=Rank(GGT)(Rank(GGT)=0)

接下來， 將給出具體的集合D來構造二元LCD碼和自正交碼.

若Oi={v1,v2,…,vhi}， 則令Gi=[v1,v2,…,vhi](i=1,3,…,2l+1). 若D={g1,g2,…,gnl}， 則令G=[g1,g2,…,gnl].

下面將逐步推導出線性碼CD為LCD碼或是自正交碼的充分必要條件.

定理2[20]定義符號如上， 設i是一個正整數(shù)， 并且2≤i≤m-1， 那么

在F2上的m階方陣中， 秩為0,1,m-1,m的矩陣可分別確定為以下四個矩陣

定理3符號定義如上，CD是LCD當且僅當下式成立：

證明充分性： 因為GGT為單位矩陣， 所以Rank(GGT)=m， 則Rank(G)=m， 由引理2可知CD為LCD碼.

必要性： 因為CD為LCD碼， 由引理2可知，Rank(G)=Rank(GGT)， 又因為Rank(G=m， 則Rank(GGT)=m， 而GGT∈S， 所以GGT只可能為單位矩陣.

定理4定義符號如上，CD是自正交碼當且僅當下式成立：

證明由引理2直接得到.

定理5定義符號如上，CD是LCD的充分必要條件為

至此， LCD碼及自正交碼構造完畢.

3 CD的重量分布

在大多數(shù)情況下， 確定線性碼的最小距離是非常困難的, 上文提出的LCD碼的重量公式可以給出， 主要工具為Krawtchouck多項式.

根據(jù)引言中介紹的基礎知識， 有如下的結論成立.

wt(Ca)=n-Na

根據(jù)Krawtchouck多項式的定義：