顏厥勝

[摘要]整式運算法則的教學是中學數(shù)學教學的難點，其形成伴隨著對“整體思想”的不斷滲透和整體結(jié)構(gòu)的不斷擴展。文章以整式的加減運算和乘除運算中出現(xiàn)的問題為例，具體闡述如何在教學中運用“整體思想”，從整體結(jié)構(gòu)上把握運算形式;運用“整體思想”不斷豐富學生對整式運算法則的理解和認識;利用思想方法的遞進式滲透和對舊知識的再認識，幫助學生克服學習過程中的重重困難。

[關(guān)鍵詞]整體思想;整式的加減;整式的乘除

[中圖分類號]G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（ 2020） 21-0059-02

一、問題的提出

筆者在教學中發(fā)現(xiàn)，學生在學習七年級上冊“整式的加減”和七年級下冊“整式的乘除”中出現(xiàn)了較多的問題，包括對字母表示數(shù)的理解以及運用乘法公式計算等都出現(xiàn)了一些典型的錯誤，學生學習的障礙在哪里？教師教學中應(yīng)該怎樣處理呢？經(jīng)過深入地鉆研教材、系統(tǒng)地思考和整理，筆者認為在問題解決中應(yīng)該強化運用“整體思想”解題，在學習運算法則時也應(yīng)該利用“整體思想”幫助學生加深對運算法則的認識，下面以學生在學習過程中出現(xiàn)的問題為例進行闡述。

二、據(jù)果索因

1.整式加減運算出現(xiàn)的問題示例分析

[錯例1]-a表示負數(shù)

[錯例2] _4ab+3b²_9ab_b²=_4ab+9ab_3b²_b²

[錯例分析]錯例1主要是學生對字母表示數(shù)的概念理解不透徹，對負數(shù)表示方式的認識不清，把-a前的“一”號作為整個數(shù)唯一的符號，沒有意識到-a中的整體a還含有符號。錯例2是學生在學習有理數(shù)加減運算時已經(jīng)接觸過類似的問題，也犯過類似的錯誤，但在整式加減運算時仍然會再犯錯，特別是整式前面是負號時，移動位置容易漏掉負號或者把負號給了移過來的項。

2.整式的乘法運算出現(xiàn)的問題示例分析

[錯例3] （2n+4m）（2n-4m）=2n²-4m²

[錯例4]（2m-1）²=2m²-1

[錯例分析]出現(xiàn)錯例3、錯例4的原因主要是對平方差公式和完全平方公式的結(jié)構(gòu)沒有完全掌握，對算式中的代數(shù)式與公式中的字母a、b的對應(yīng)關(guān)系沒有認清楚。錯例3主要是對字母前的數(shù)字不知道怎樣處理，而錯例4則是直接把完全平方公式當作平方差公式處理，而且還出現(xiàn)了與錯例3同樣的錯誤，沒有把“整體”括號起來。

3.去括號時出現(xiàn)的問題示例分析

[錯例5]（x+1）²一（x+2）（x-2）=（x+1）²-x²-2²

[錯例6 ]4x²-2（x-3）=4x²-2x-3

[錯例分析]錯例5、錯例6出現(xiàn)的主要是符號和漏乘的錯誤，這類題學生容易出錯，主要原因是對去括號法則理解不透徹，另一方面是由于學生“跳步”造成的，分配律和去括號同時進行，對初學者來說容易顧此失彼。

三、教學對策

1.運用“整體思想”，從整體結(jié)構(gòu)上把握運算形式

整體思想就是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進行有目的、有意識的整體處理。

錯例1、錯例2是在學習整式的加減運算時出現(xiàn)的，錯例1表明學生對字母a的意義認識不清，字母a 可以代表任何有理數(shù)。可以把字母a 看成是一個“整體”，而前面的“一”號是a的前面加個負號，表示a的相反數(shù)，-a是不是負數(shù)由a的符號決定，有三種情況。只有當a是正數(shù)時，-a才是負數(shù)。對于-a的理解對后面的學習也有較大的影響。比如求|a|時，要考慮整體的a的符號，也是分三種情況：①當a>0時，|a|=a;②當a=0時，|a|=0;③當a<0時，|a|=-a。第③種情況的-a表示正數(shù)，而不是學生一開始認為的負數(shù)。錯例2中學生在進行整式加減運算的時候，沒有把每一項當作一個“整體”，在移動它們的位置時把前面的符號搞混了。首先應(yīng)弄清-4ab+3b²-9ab-b²這個多項式應(yīng)由哪些項構(gòu)成，這些項就是一個整體，在運用加法交換律交換他們的位置時，應(yīng)“整體”交換，而不應(yīng)該把他們前面的符號丟了或者換了，這也是一個典型的沒有從整體上把握運算的錯誤。在有理數(shù)的加減運算中就已經(jīng)滲透過這種整體思想的運用。

錯例3出現(xiàn)的問題就是在運用平方差公式時沒有把左邊的2n，4m“整體”看作公式里的a和b，等式右邊的平方應(yīng)對“整體”平方，即（ 2n）²一（4m）²，最后才能得到正確的結(jié)果。錯例4初看是平方差公式與完全平方公式弄混淆了，究其原因還是沒有從整體上把握算式的結(jié)構(gòu)，（2m-1）²是一個整體，（2m-1）的平方與完全平方公式（a-b）²=a²-2ab+b²左邊的形式相同，2m相當于公式中的a，1相當于公式中的b。

解決錯例5的問題也可以把（x+2）（x-2）看作一個整體，是（x+1）²減去一個整體。整體用平方差公式先加括號得（x+1）²- （x²-2²），再去括號即得正確結(jié)果。錯例6錯在去括號時符號的錯誤，可以把-2看作整體乘另一個整體（x-3），用乘法分配律得到正確結(jié)果4x²-2x+6?；蛘叻謨刹阶撸鹊扔?x²-（2x-6）再去括號等于4x²-2x+6。第二種解法中也是強調(diào)減去整體（2x-6），先把整體括號起來，再去括號。

2.運用“整體思想”，從整體結(jié)構(gòu)上豐富學生對運算法則的理解和認識

比如教材中的合并同類項法則：合并同類項是把各個同類項的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變。但是在實際應(yīng)用中學生不理解這個法則，比如3a-5a=（ 3-5）a=-2a，其中系數(shù)是3減5，學生問為什么法則里面卻是“系數(shù)相加”呢？這里仍然是運用“整體思想”“理解運算法則，代數(shù)式是由兩個“整體”3a與-5a相加，而-5a的系數(shù)是一5，3加一5就是3減5。通過運用整體思想能較輕松地理解法則的含義。

又如，教學多項式乘多項式時，教師可通過講解計算相同長方形面積的方法得出（m+n）（a+b）=m（a+b）+n（a+b） =ma+mb+na+nb或者（m+n）（a+b）=（m+n）a+（m+n）b=ma+na+mb+nb，兩種方式推導出多項式乘多項式的法則，都可以運用“整體思想”來理解。第一種以（a+b）作為一個整體，用乘法分配律乘以多項式（m+n）;第二種以（m+n）為整體，用乘法分配律乘以多項式（a+b）推導出結(jié)果，最后再讓學生用文字語言來敘述法則，這樣學生就能從整體思想上理解多項式相乘法則的推導。

在運用乘法公式計算時也需要用整體思想，如計算：（-x-1）（1-x）需要把一x看作一個整體，再用平方差公式展開，（-x-1）（1-x）=（-x-l）（-x+1）=（-x）²—1²。計算：（x+y-1）²需要把三項中的兩項看成一個整體，再運用完全平方公式展開，如（龍+y一1）2=[（z+y）一1]2=（x+y）²—2（x+y）+1。又如，計算（a-b+c）（a+b-c）也需要把（b-c）看作一個整體，（a-b+c）（a+b-c）=[a-（b-c）][a+（b-c）]=a²一（b-c）²?！罢w思想”既加深了學生對運算法則的理解和認識，又鞏固了學生對運算法則的運用。

3.“整體思想”在數(shù)學運算中的遞進式擴展

數(shù)學運算是數(shù)學學科的核心素養(yǎng)之一，是數(shù)學活動的基本形式，是學生必備的一項基本技能，是貫穿整個數(shù)學學習的基本鏈條，也是得到數(shù)學結(jié)果的重要手段。

從字母代表數(shù)、整式的加減到整式的乘除，包括單項式乘多項式、多項式乘多項式、多項式除以單項式，無不可以運用整體思想去幫助學生加強對運算法則的理解，運用乘法公式解決問題也常用到這個方法。比如，已知a+b=14，a²+b²=100，求ab的值。有學生這樣解：因為a+b=14，所以a= 14-b代人a2+b2=100中得（ 14-b）²+b²=100，接著就解不下去了（因為七年級還沒學到一元二次方程的解法），所以，這里也是從整體思想人手，不可分別求Ⅱ、6的值，應(yīng)從整體去求ab。又如，已知a+b=5，ab=-3，求a²+b²和（a-b）²，這同樣也是用整體思想解決問題。整體思想在解決問題中有廣泛運用，后面的二次根式、解二元一次方程組等運算中，也可以時不時運用整體思想，都伴隨著整體思想的不斷滲透和整體結(jié)構(gòu)的不斷擴展。因此，教學中要加強知識的前后聯(lián)系。教師要利用思想方法的遞進滲透和對舊知的再認識，幫助學生克服學習過程中的重重困難。數(shù)學思想方法是從數(shù)學內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學學科的精髓，是將數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學能力的橋梁。教師應(yīng)從樹立整體思想的概念人手，從整體結(jié)構(gòu)上把握運算形式;運用“整體思想”不斷豐富學生對整式運算法則的理解和認識;利用思想方法的遞進式滲透和對舊知識的再認識，讓學生能夠靈活掌握并能應(yīng)用到具體問題中去，這對學生思維方式的創(chuàng)新和解題方法的提升都有幫助。

[參考文獻]

[1]陳恩丹.基于“生成性”教學理念下的法則教學實踐[J].中學數(shù)學，2017（538）：25.

[2]王連業(yè).“添括號”與“去括號”錯例剖析及教學建議[J].中學數(shù)學教學參考，2019（ 1-2）：8.

[3]武麗虹.建構(gòu)核心問題著力數(shù)學運算[J].中學數(shù)學教學參考，2019（9）：12.

（責任編輯譚斯陌）