邵朋院，董彥非，李繼廣，屈高敏

(西安航空學(xué)院 飛行器學(xué)院，西安 710077)

0 引言

折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)可以像鳥(niǎo)類(lèi)一樣根據(jù)不同的任務(wù)需求來(lái)改變機(jī)翼形狀[1]，例如在巡航飛行和機(jī)動(dòng)飛行時(shí)采用不同的機(jī)翼形狀。該優(yōu)點(diǎn)使得折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)成為近年來(lái)的無(wú)人機(jī)領(lǐng)域研究熱點(diǎn)[2-4]。

然而，在航空工業(yè)界至今仍然沒(méi)有出現(xiàn)實(shí)用的折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)。究其原因主要是折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)在機(jī)翼變形過(guò)程中帶來(lái)的非線性、非定常氣動(dòng)力以及參數(shù)變化和不確定性，這些都對(duì)建模和控制帶來(lái)極大挑戰(zhàn)[5]。在折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)變形過(guò)程控制中，當(dāng)前多數(shù)采用基于固定構(gòu)型的簡(jiǎn)化方法[4]，該方法忽略了變形過(guò)程瞬時(shí)動(dòng)態(tài)(文中也稱(chēng)為暫態(tài))對(duì)于飛機(jī)動(dòng)力學(xué)的影響，實(shí)際上，暫態(tài)會(huì)對(duì)變形過(guò)程的穩(wěn)定性造成不利影響[6]。研究人員可以通過(guò)線性變參數(shù)(LPV)系統(tǒng)進(jìn)行暫態(tài)建模[7]，當(dāng)前廣泛采用的基于LTI系統(tǒng)的建模和控制方法很容易推廣到LPV系統(tǒng)，所以基于LPV系統(tǒng)的控制方法成為折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)暫態(tài)控制中的研究熱點(diǎn)[8-10]。但是，這些方法多是基于H∞的魯棒控制方法，通過(guò)在變參數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)格劃分可以從理論上保證在網(wǎng)格點(diǎn)處系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性，然而無(wú)法保證整個(gè)變參數(shù)范圍特別是非網(wǎng)格點(diǎn)處的魯棒性和穩(wěn)定性[11]。

模型預(yù)測(cè)控制(MPC)方法[12]通過(guò)在每一個(gè)控制步長(zhǎng)內(nèi)更新模型，來(lái)對(duì)系統(tǒng)的未來(lái)響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，而LPV建模方法可以通過(guò)變參數(shù)的實(shí)測(cè)值來(lái)對(duì)模型進(jìn)行更新，所以MPC方法十分適合于進(jìn)行LPV系統(tǒng)的控制。但是在當(dāng)前LPV-MPC方法研究中，經(jīng)常使用多胞形(polytopic) LPV模型[13-14]，多胞形LPV系統(tǒng)是通過(guò)多個(gè)頂點(diǎn)LTI系統(tǒng)的線性組合來(lái)近似表示LPV系統(tǒng)，通過(guò)針對(duì)頂點(diǎn)的LTI控制器線性組合來(lái)形成LPV控制器，所以該方法可以直接沿用LTI控制器設(shè)計(jì)方法，但是，通過(guò)以往研究[15]表明多胞形LPV系統(tǒng)無(wú)法準(zhǔn)確表達(dá)折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)的系統(tǒng)模型。

在本文中，使用多項(xiàng)式參數(shù)依賴(lài)形式建立折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)的LPV系統(tǒng)模型，該模型不具有多胞形形式，文中給出了LPV系統(tǒng)的MPC控制設(shè)計(jì)方法，通過(guò)和非支配排序的遺傳算法NSGA-II-PID的對(duì)比仿真，驗(yàn)證了LPV-MPC方法的有效性。

1 折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)的LPV系統(tǒng)建模

1.1 折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)的非線性模型

本文中研究的折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)樣機(jī)圖片如圖1所示。折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)的外段機(jī)翼保持水平，而內(nèi)段機(jī)翼可以繞著關(guān)節(jié)從0 deg(圖1(a))到120 deg(圖1(b))連續(xù)變形。折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)用來(lái)實(shí)現(xiàn)偵察和打擊一體化(察打一體)功能。機(jī)翼展開(kāi)構(gòu)型可以低速巡航進(jìn)行偵察，而折疊構(gòu)型具有高速機(jī)動(dòng)飛行能力，適合于進(jìn)行發(fā)現(xiàn)目標(biāo)后的打擊和快速逃逸。

(a)機(jī)翼展開(kāi)構(gòu)型 (b)機(jī)翼折疊構(gòu)型

折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)典型任務(wù)剖面如圖2所示。任務(wù)開(kāi)始為長(zhǎng)機(jī)翼巡航構(gòu)型，一旦偵察到目標(biāo)，則開(kāi)始折疊，并俯沖打擊。在俯沖過(guò)程中，折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)俯仰角指令為-30 deg，折疊完成后進(jìn)行高速平飛打擊，打擊完成后迅速展開(kāi)機(jī)翼爬升逃逸，在爬升過(guò)程中，折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)俯仰角指令為-30 deg。所以，本文的研究關(guān)注于折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)變形過(guò)程的縱向動(dòng)力學(xué)與控制。

圖2 折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)典型任務(wù)剖面

折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)的縱向非線性動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型如式(1)所示：

其中，u和w分別表示沿機(jī)體OX 和 OZ 軸的速度；q和Q分別表示俯仰角速率和俯仰角；Iyy是繞機(jī)體OY 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m表示飛機(jī)質(zhì)量；g表示當(dāng)?shù)刂亓铀俣?；M是俯仰力矩；Fx和Fz分是除重力之外沿機(jī)體OX 和 OZ 軸的合外力，可以表示如下式：

其中，T、L和D分別表示發(fā)動(dòng)機(jī)推力、升力和阻力；a是迎角。

假設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)推力線沿著OX 軸，則上述變量可以寫(xiě)成：

氣動(dòng)系數(shù)CL、CD和Cm可以由CFD計(jì)算得到的氣動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)插值得到。記氣動(dòng)數(shù)據(jù)插值函數(shù)關(guān)系為：

C*=f*(v1，v2，…) (4)

其中，*表示氣動(dòng)力和力矩的項(xiàng)，如式(3)中的T、L、D和M等；f表示非線性映射函數(shù)；v1，v2，…是氣動(dòng)系數(shù)查表的列索引，例如，基本俯仰力矩系數(shù)可以寫(xiě)成Cm0=fm0(α，θr)，θr是折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)的機(jī)翼折疊角。因此，式(1) 實(shí)際上是一個(gè)非線性參數(shù)變化系統(tǒng)。

1.2 折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)的LPV系統(tǒng)建模

式(1)中的非線性模型可以表示成如下的非線性參數(shù)變化系統(tǒng)：

其中，x∈Rnx是系統(tǒng)狀態(tài)，y∈Rny是系統(tǒng)的被控輸出，u∈Rnu是控制輸入，ρ∈Θ?Rnρ表示變參數(shù)集合。

圖3 折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)飛行包線數(shù)據(jù)

折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)飛行包線數(shù)據(jù)如圖3所示。本文采用文獻(xiàn)[8]中的改進(jìn)函數(shù)替換法建立折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)的LPV系統(tǒng)模型，其中，變參數(shù)θr和Va取圖3中網(wǎng)格點(diǎn)處的值，迎角a取網(wǎng)格處的配平迎角值。由于本文主要研究MPC控制方法，LPV系統(tǒng)建模步驟及結(jié)果請(qǐng)參考文獻(xiàn)[8]。

2 基于LPV系統(tǒng)的MPC控制

2.1 LPV系統(tǒng)的MPC控制

將式(6)所示的LPV系統(tǒng)進(jìn)行離散化，得到如下?tīng)顟B(tài)空間：

設(shè)預(yù)測(cè)步數(shù)為p，記參考軌跡為：

控制步數(shù)為m，控制量的增量序列為：

系統(tǒng)輸出可以根據(jù)系統(tǒng)的LPV模型(7)獲得，記為：

則MPC的控制目標(biāo)函數(shù)為：

J(x(k),ΔU(k))=‖Γy(Yp,c(k+1|k)-R(k+1))‖2+‖ΓuΔU(k)‖2(11)

其中，Γy=diag{Γy,1,Γy,2,...,Γy,p}為跟蹤誤差的加權(quán)矩陣，Γu=diag{Γu,1,Γu,2,...,Γu,m}為控制代價(jià)的加權(quán)矩陣。

則MPC控制問(wèn)題可以描述成如下優(yōu)化問(wèn)題：

對(duì)于LPV系統(tǒng)的MPC控制，文獻(xiàn)[16]提出了一種基于線性矩陣不等式LMI(Linear Matrix Inequality，LMI)的MPC控制方法，在該方法中，通過(guò)在網(wǎng)格點(diǎn)處求解LMI來(lái)保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通過(guò)求解二次規(guī)劃(QP)優(yōu)化問(wèn)題來(lái)進(jìn)行狀態(tài)預(yù)測(cè)。雖然QP問(wèn)題可以通過(guò)有效的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行在線求解，但是在線求解LMI是不現(xiàn)實(shí)的，特別是對(duì)于網(wǎng)格化劃分的LPV系統(tǒng)需要求解LMI組。

如果能將式(12)轉(zhuǎn)化成為如下的QP問(wèn)題，

s.t.Cz≥b(15)

則可以在線使用內(nèi)點(diǎn)法[17]進(jìn)行求解。

本文給出一種將式(12)轉(zhuǎn)化為式(13)形式的方法，其步驟如下：

(1)將式(12)轉(zhuǎn)化為式(13)

定義零輸入控制誤差變量為：

為簡(jiǎn)明起見(jiàn)，后文中將式(16)記為E。

將式(7)帶入，則式(12)可以寫(xiě)成：

所以式(17)可以寫(xiě)成，

其中，

式(18)具有和式(14)一樣的形式。

(2)將式(13)轉(zhuǎn)化為式(15)

使用增量方式表示控制輸入，則有：

u(k+1)=u(k-1)+Δu(k)+Δu(k+1) (20)

則，

u(k+1)≤umax(k+1)?-(Δu(k)+Δu(k+1))≥u(k-1)-umax(k+1) (21)

對(duì)于i=0，1，2，…，m-1，有

式(22)寫(xiě)成矩陣形式：

其中，

則式(23)具有和式(15)一致的形式，即可以通過(guò)QP求解。

2.2 在折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)中的應(yīng)用

本文針對(duì)圖2中的折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)典型任務(wù)剖面，使用基于LPV系統(tǒng)的MPC控制方法來(lái)設(shè)計(jì)變形過(guò)程中的縱向暫態(tài)控制器。LPV-MPC閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4所示。其中，θr_cmd表示機(jī)翼折疊角指令，該指令按照?qǐng)D2中的典型任務(wù)剖面來(lái)設(shè)計(jì)?？刂戚斎霝樯刀婧陀烷T(mén)，即u=[δe，δT]T，輸出為y=[θ,Va]T?？刂戚斎胂薹鶠棣腡∈[0，1]，δe∈[-30，30] deg。

圖4 LPV-MPC閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

輸入代價(jià)加權(quán)函數(shù)為：

控制誤差加權(quán)函數(shù)為：

式(25)和式(26)表示控制的主要目標(biāo)為跟蹤俯仰角，其次為跟蹤空速指令，并在跟蹤的同時(shí)限制升降舵和油門(mén)在規(guī)定的范圍內(nèi)。采樣周期為T(mén)s=0.05 s，預(yù)測(cè)步數(shù)為p=200，控制步數(shù)為m=2。

空速和俯仰角參考指令設(shè)計(jì)如圖5所示，空速和折疊角指令根據(jù)圖3中的飛行包線數(shù)據(jù)來(lái)設(shè)計(jì)。

圖5 參考指令設(shè)計(jì)

3 仿真和分析

使用文中給出的LPV-MPC控制方法和非支配排序的遺傳算法NSGA-II-PID[18]做對(duì)比仿真。

仿真初始狀態(tài)為展開(kāi)構(gòu)型下20 m/s平飛，配平迎角為2.8 deg。LPV-MPC控制和NSGA-II-PID控制的俯仰角指令和響應(yīng)如圖6所示，LPV-MPC控制和NSGA-II-PID控制的空速指令和響應(yīng)如圖7所示。從圖6和圖7可以看出，LPV-MPC控制方法比NSGA-II-PID控制方法有更好的跟蹤準(zhǔn)確性，特別是對(duì)于俯仰角的跟蹤，穩(wěn)態(tài)誤差在2 deg以?xún)?nèi)，空速跟蹤因?yàn)闄?quán)重較小，所以綜合比較LPV-MPC控制方法比NSGA-II-PID控制方法準(zhǔn)確性高。

圖6 LPV-MPC控制和NSGA-II-PID控制的俯仰角指令和響應(yīng)

圖7 LPV-MPC控制和NSGA-II-PID控制的空速指令和響應(yīng)

LPV-MPC控制和NSGA-II-PID控制的升降舵控制輸入如圖8所示，LPV-MPC控制和NSGA-II-PID控制的油門(mén)控制輸入量如圖9所示。從圖8可以看出，LPV-MPC方法的升降舵輸入量可以約束在10 deg以?xún)?nèi)，而NSGA-II-PID控制方法約束在15 deg以?xún)?nèi)，圖6中顯示出LPV-MPC方法跟蹤準(zhǔn)確性更高，所以具有更高的控制效率。圖9中NSGA-II-PID的油門(mén)輸入量維持在最大值1或者最小值0處，其原因是按照控制律算出的輸入量超過(guò)了0～1的范圍，就有可能是約束失敗，而LPV-MPC控制方法都在0～1之間，所以其控制輸入約束和控制調(diào)節(jié)更有效率。

圖8 升降舵控制輸入

圖9 油門(mén)控制輸入量

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于LPV系統(tǒng)的MPC控制方法設(shè)計(jì)了折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)變形過(guò)程的縱向暫態(tài)控制器，將LPV系統(tǒng)的MPC控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為QP優(yōu)化問(wèn)題，從而可以使成熟的數(shù)值算法在線求解。通過(guò)仿真將該設(shè)計(jì)方法應(yīng)用在折疊翼仿生變形無(wú)人機(jī)縱向暫態(tài)控制中，與基于NSGA-II-PID的增益調(diào)度方法進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明該方法具有更好的跟蹤準(zhǔn)確性和更高的控制效率。