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彈性函數(shù)的平方和指標(biāo)?

2020-08-06 09:04
艦船電子工程 2020年6期
關(guān)鍵詞:布爾彈性定理

(中國電子科技集團(tuán)公司第三十研究所 成都 610041)

1 引言

2 準(zhǔn)備工作

首先給出相關(guān)免疫的概念。

定義1設(shè)f(x1,x2,…,xn)是一個n元布爾函數(shù),其中x1,x2,…,xn是均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量,如果f與x1,x2,…,xn中任意的m個變元xi1,xi2, …,xim統(tǒng)計(jì)獨(dú)立,即對任意a1,a2,…,am和a,均有:

則稱f是m階相關(guān)免疫函數(shù)。

定義2平衡的m階相關(guān)免疫函數(shù)稱為m-彈性函數(shù)。

定義3f的Walsh譜為

這里,ωx=ω1x1+ω2x2+…+ωnxn。

由文獻(xiàn)[6]得以下定理。

定理1布爾函數(shù)f(x1,x2,…,xn)是m-彈性函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對任何a∈F2n,0≤wt(a)≤m,均有F(a)=0。

由文獻(xiàn)[1]得以下定理。

定理2設(shè)布爾函數(shù)f(x1,x2,…,xn)是m-彈性函數(shù),這里 ,n≥3并 且m≤n-3,則F(ω)≡0(mod2m+2)對任何ω∈{0 ,1}n成立。

由文獻(xiàn)[2]知道有下列定理。

定理3給定布爾函數(shù)f(x1,x2,…,xn),若f是m-彈性函數(shù)(1≤m≤n-2),則degf+m≤n-1;若f是m-階相關(guān)免疫函數(shù)(1≤m≤n-1),則degf+m≤n。

由文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]知道有下列定理。

由Parseval關(guān)系有下列定理。

由文獻(xiàn)[4]可得下列定理。

定理6設(shè)f是0-彈性函數(shù)(即平衡函數(shù)),則

由文獻(xiàn)[5]可得下列定理。

定理7設(shè)f(x1,x2,…,xn)是一個m-彈性函數(shù),則

3 主要結(jié)果

這里給出并證明主要結(jié)果。

定理8設(shè)f(x1,x2,…,xn)是一個m-彈性函數(shù),n大于或等于3且0≤m≤n-3,則

結(jié)合定理6,定理7和定理8有以下定理。

定理 9設(shè)f(x1,x2,…,xn)是一個m-彈性函數(shù),n大于或等于3且0≤m≤n-3,則

還可以將定理9細(xì)化。

所以此時有,σf≥2n+2m+4。因此,此下界比原來給出的下界要緊一些。

3)如果f是n-3-彈性函數(shù),則由定理2,F(xiàn)(ω)≡0(mod2n-1)對任何ω∈{0 ,1}n成立。由定理5,要么有4個ω滿足|F(ω)|=2n-1,其余ω滿足F(ω)=0;要么有1個ω滿足|F(ω)|=2n,其余ω滿足F(ω)=0 。由定理4,要么σf=23n-2,要 么σf=23n。

當(dāng)m大于或等于n-2時,平方和指標(biāo)是確定的,見下列情況。

4)當(dāng)m等于n-2,n-1時,由定理3可知,f一定是仿射函數(shù),因此一定有σf=23n。

5)考察3≤n≤6的情形。

(1)n=3;如果f是0-彈性函數(shù)且非仿射函數(shù),由3)知σf=23n-2=27。如果f是0-彈性函數(shù)且是仿射函數(shù)。則σf=23n=29。如果f是1-彈性函數(shù)或2-彈性函數(shù),由4)知,σf=23n=29。

(2)n=4;如果f是 0-彈性函數(shù),由 1)知σf≥22n+2n+3=28+27=384。列舉所有4元平衡函數(shù)f,發(fā)現(xiàn)σf≥640。因此用這個下界。如果f是1-彈性函數(shù)且非仿射函數(shù),由3)知σf=23n-2=210。如果f是1-彈性函數(shù)且為仿射函數(shù),則σf=23n=212,如果f是2-彈性函數(shù)或3-彈性函數(shù),由4)知,σf=23n=212。

(3)n=5;如果f是 0-彈性函數(shù),由1)知道,σf≥22n+2n+3=210+28。如果f是1-彈性函數(shù),因?yàn)?11=25+2+4>210+28>210+25+log26,所以,σf≥211。如果f是2-彈性函數(shù)且非仿射函數(shù),由3)知σf=23n-2=213,如果f是2-彈性函數(shù)且為仿射函數(shù),則σf=23n=215。如果f是3-彈性函數(shù)或4-彈性函數(shù),由4)知,σf=23n=215。

(4)n=6;如果f是 0-彈性函數(shù),由1)知道,σf≥22n+2n+3=212+29。如果f是1-彈性函數(shù),因?yàn)?12+29>212=26+2+4,212+29>212+26+log27,因此,這個時候,σf≥22n+2n+3=212+29。如果f是2-彈性函數(shù),因?yàn)椋?6+4+4>212+29,26+4+4>212+26+log222,所以這個時候,σf≥214。如果f是3-彈性函數(shù)且非仿射函數(shù),由3)知σf=23n-2=216,如果f是3-彈性函數(shù)且為仿射函數(shù),由3)知σf=23n=218。如果f是4-彈性函數(shù)或5-彈性函數(shù),由4)知,σf=23n=218。

上面的 1)、2)、3)、4)、5)包含了n≥3 ,0≤m≤n-1所有情況下n變元m-彈性函數(shù)的平方和指標(biāo)的下界。

4 結(jié)語

布爾函數(shù)的代數(shù)免疫性質(zhì)目前已有大量文獻(xiàn)研究[9~12]。關(guān)于函數(shù)全局雪崩特征有兩個指標(biāo),即平方和指標(biāo)與絕對指標(biāo)。這里,僅僅研究了彈性函數(shù)的平方和指標(biāo)。提出彈性函數(shù)平方和指標(biāo)一個新的下界,該下界可以與以前給出的下界結(jié)合起來使用。由這些下界發(fā)現(xiàn):彈性函數(shù)的階m越大,則彈性函數(shù)的平方和指標(biāo)越大。但是,m很小時又要受到分別征服攻擊。因此,應(yīng)該選擇適當(dāng)大小的m,使得彈性函數(shù)的階m較大,并且同時使得平方和指標(biāo)較小。以后還應(yīng)研究彈性函數(shù)的絕對指標(biāo)[13~15]??梢灶A(yù)計(jì),彈性函數(shù)的絕對指標(biāo)并沒有一個單一的下界。即對不同的彈性階,有不同的下界(由多個公式表達(dá))。

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