葉陽升，蔡德鉤，耿 琳，閆宏業(yè)，堯俊凱，陳 鋒

（1.中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司，北京 100081；2.中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 高速鐵路軌道技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081；3.北京鐵科特種工程技術(shù)有限公司，北京 100081）

近幾年，中國的高速鐵路工程建設(shè)迎來了蓬勃發(fā)展。截至2019年底，我國運(yùn)行高速鐵路里程已達(dá)3.5 萬km，占全球高速鐵路長度的60%以上，位居世界第一。按照《中長期鐵路網(wǎng)規(guī)劃（2018年中期調(diào)整）》，今后我國仍將持續(xù)一定規(guī)模的高速鐵路建設(shè)，但中國高速鐵路發(fā)展已經(jīng)從大規(guī)模建造進(jìn)入長期安全穩(wěn)定運(yùn)營階段，鐵路路基結(jié)構(gòu)層穩(wěn)定與否是高速鐵路安全、舒適運(yùn)行的重要保障［1］。

圖1為我國高速鐵路無砟軌道路基結(jié)構(gòu)典型剖面圖，主要分為基床表層、基床底層和基床以下的路堤本體部分［2-3］。一般基床表層由級配碎石填筑，工程特性良好。而基床底層則由A，B 組填料填筑，且底層厚度為2.3 m，一般占路基總高度的一半以上，因此是引起路基結(jié)構(gòu)變形的重要因素。為了能夠?qū)Υ瞬糠致坊Y(jié)構(gòu)在列車荷載作用下的變形特征進(jìn)行定量描述，并對未來幾十年路基運(yùn)營狀況進(jìn)行安全評價，建立數(shù)值計(jì)算模型是必要手段，而選擇合適的動本構(gòu)模型又是數(shù)值模擬結(jié)果準(zhǔn)確且可靠的重要保障。

圖1 中國高速鐵路無砟軌道路基結(jié)構(gòu)典型剖面圖

在室內(nèi)試驗(yàn)方面，隨著大型室內(nèi)動力三軸試驗(yàn)設(shè)備的快速發(fā)展，針對循環(huán)荷載作用下粗顆粒高鐵路基填料的動力學(xué)特性，許多學(xué)者開展了大量的研究工作［4-12］。這些研究全面測試描述了與基床填料狀態(tài)有關(guān)的物理和力學(xué)參數(shù)，研究了不同動應(yīng)力幅值、不同圍壓、不同含水率對粗粒土土樣累積變形的影響，揭示了累積變形隨循環(huán)荷載振動次數(shù)的演化規(guī)律，建立了累積變形與循環(huán)振動次數(shù)、動應(yīng)力幅值、圍壓等因素之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式。但是這些基于試驗(yàn)結(jié)果建立的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢H能捕捉每次循環(huán)荷載作用下產(chǎn)生的累積變形，無法模擬實(shí)際動力作用過程中的循環(huán)加卸載過程。

在本構(gòu)模型方面，迄今為止，已經(jīng)發(fā)展了多種土的動力本構(gòu)模型。黏彈性模型的典型代表等效線性化模型最早由Seed 在1968年提出，該模型通過等價線性化的方法近似考慮土的動力非線性性能［13］。Hardin-Drnevich 模型［14］、Ramberg-Osgood模型［15］、雙線性模型及一些組合曲線模型均屬于不同形式的等效線性化模型。Mroz 于1967年首先提出了塑性模量場理論，代表著土體動力彈塑性模型研究的正式開始［16］。Iwan，Provest，Zienkie?wicz 和Yang，Elgamal 等也分別建立了各具特色的多屈服面模型［17-20］。在國內(nèi)，王建華、徐干成、陳生水和莊海洋等均建立了各自的多屈服面模型［21-24］。繼而，Dafalias［25］以劍橋模型為基礎(chǔ)提出了更為簡化的邊界面模型。Tabbaa［26］將修正的劍橋模型推廣為能夠描述黏土在循環(huán)荷載作用下滯回反應(yīng)特性的雙面動力硬化模型。但是，上述提及的動本構(gòu)模型普遍存在2 個方面的問題：其一，只能模擬循環(huán)荷載次數(shù)較小的情況（如地震荷載）；其二，并沒有考慮循環(huán)荷載作用下的顆粒破碎效應(yīng)。

本文在文獻(xiàn)［27］本構(gòu)理論的基礎(chǔ)上，基于臨界狀態(tài)土力學(xué)理論和經(jīng)典塑性力學(xué)原理，結(jié)合循環(huán)荷載三軸試驗(yàn)，進(jìn)行考慮顆粒破碎的高鐵路基粗粒土填料循環(huán)壓密本構(gòu)模型研究。

1 高鐵路基粗粒土填料變形特性

1.1 壓密性

循環(huán)荷載作用下高鐵路基粗粒土填料一般表現(xiàn)為非線性、應(yīng)力依賴性等特征。甚至是應(yīng)力水平與靜強(qiáng)度十分接近的情況下，粗粒土填料依然表現(xiàn)出很強(qiáng)的壓密特性［27-28］。在初始加載條件下，軸向應(yīng)變迅速發(fā)展，并在卸載過程中部分回彈，而后的每次循環(huán)荷載都會產(chǎn)生持續(xù)的塑性應(yīng)變增量。但是，塑性應(yīng)變增量的幅值會隨著振動荷載次數(shù)的增加而逐漸降低。這是因?yàn)?，在循環(huán)荷載的作用下，由于應(yīng)力歷史的作用，導(dǎo)致粗粒土填料的剛度越來越大，進(jìn)而在后續(xù)的荷載作用下，累積應(yīng)變減小。在循環(huán)荷載作用下，高鐵路基粗粒填料累積變形的發(fā)展是1 個逐漸發(fā)展的過程，其中每個單一荷載會產(chǎn)生1 個很小的應(yīng)變增量。大量的動三軸試驗(yàn)表明，初始加載條件下產(chǎn)生的應(yīng)變較大，但在應(yīng)力幅值和圍壓不變的前提下，后續(xù)應(yīng)變增量會不斷減小。這就是粗顆粒填料在循環(huán)荷載作用下的壓密特性，深刻理解和揭示這一特性，有助于指導(dǎo)建設(shè)期壓路機(jī)振動荷載和運(yùn)行期高速列車荷載對粗顆粒路基填料壓實(shí)和振動效果影響的研究。

1.2 破碎性

在靜動力荷載的作用下，高鐵粗顆粒路基填料會產(chǎn)生不同程度的顆粒破碎。Hardin［29］提出用相對顆粒破碎率Rr描述循環(huán)荷載作用下粗粒土填料的破碎效應(yīng)，即

式中：SMPQ為總顆粒破碎程度，用圖2所示的加載前后高鐵路基粗粒土填料級配曲線中初始級配曲線、加載后級配曲線和顆粒粒徑等于0.075 mm 的直線圍成的面積表示；SMPN為潛在顆粒破碎程度，用圖2中初始級配曲線、100%直線和顆粒粒徑等于0.075 mm的直線圍城的面積表示。

圖2 加載前后高鐵路基粗粒土填料級配曲線

2 高鐵路基粗粒土填料循環(huán)壓密模型的建立

2.1 模型假設(shè)

應(yīng)力控制條件下的循環(huán)三軸荷載引起的高鐵路基粗粒土填料應(yīng)力路徑如圖3所示。首先，試樣受到圍壓作用，等向固結(jié)到初始平均應(yīng)力σp，0，繼而在初始應(yīng)力的作用下達(dá)到最大平均應(yīng)力σp，max（點(diǎn)B），而后卸載至最小平均應(yīng)力σp，min（點(diǎn)A），后繼加卸載事件在點(diǎn)A和B之間，沿著路徑AB進(jìn)行。

為了簡單方便地建立循環(huán)荷載作用下粗粒土填料動本構(gòu)模型，提出了如下2點(diǎn)假設(shè)。

（1）在初始加載條件下，粗粒土填料產(chǎn)生彈塑性變形。將初始加載條件達(dá)到的最大應(yīng)力狀態(tài)作為當(dāng)前加載條件下的最大加載面。

圖3 3軸應(yīng)力狀態(tài)下粗顆粒路基填料理想化應(yīng)力路徑

（2）存在1 個隨著振動次數(shù)而不斷變化的彈性面。彈性面外部的變形為塑性變形，而彈性面內(nèi)部則認(rèn)為是彈性變形。

2.2 考慮顆粒破碎的剪脹方程

在3 軸應(yīng)力條件下，基于能量守恒原理，可以得到應(yīng)力、應(yīng)變和顆粒破碎的如下關(guān)系［27］。

式中：σq和σp分別為偏應(yīng)力和平均應(yīng)力；dεv和dε1分別為軸向應(yīng)變和體應(yīng)變增量；φf為基本摩擦角；EB為每單位體積顆粒破碎所消耗的能量。

根據(jù)文獻(xiàn)［30］的研究，EB可用單位體積塑性功Wp表示，而Rr與Wp存在雙曲線關(guān)系，即

式中：a和b為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。

針對循環(huán)荷載作用下高鐵路基粗粒土填料的室內(nèi)三軸試驗(yàn)，Wp可由滯回曲線圍成的面積計(jì)算得到，進(jìn)而由式（3）便可求得在循環(huán)荷載作用下的Rr。然后，將Wp和Rr與累積變形一一對應(yīng)，最終可分別得到相對顆粒破碎率和單位體積塑性功消耗率可用線性關(guān)系表示［27］為

式中：β為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。

據(jù)此，再結(jié)合應(yīng)力不變量和應(yīng)變不變量的表達(dá)形式，式（2）可以改寫為

式中：dεs，p和dεv，p分別為塑性體應(yīng)變和剪應(yīng)變增量；ηM為臨界狀態(tài)應(yīng)力比；ηi為當(dāng)前應(yīng)力比。

在實(shí)際工程中，高鐵路基粗粒土填料受到諸多因素影響，采用對材料性能影響較為顯著的循環(huán)應(yīng)力比ηc和振動次數(shù)N作為影響因素，考慮其對顆粒破碎率的影響，為了描述不同工況下的振動荷載加、卸載幅值，引入乘子ln進(jìn)而建立顆粒破碎率隨應(yīng)變發(fā)展的演化規(guī)律函數(shù)，即

式中：fSR和fN分別為循環(huán)應(yīng)力比和循環(huán)振次對顆粒破碎率的影響修正函數(shù)。

在σq—σp應(yīng)力空間內(nèi)，根據(jù)軸對稱應(yīng)力條件下剪應(yīng)變εs，p與軸向應(yīng)變ε1和徑向應(yīng)變ε3的關(guān)系式并取泊松比等于0.3，可以得到ε1=1.15εs，p，聯(lián)合式（6），代入式（5），得到

考慮到式（7）中一些為常數(shù)的參數(shù)，為后續(xù)表述方便，將式（7）改寫為

其中，

式（8）即為考慮顆粒破碎效應(yīng)的粗粒土填料在循環(huán)荷載作用下的剪脹方程。

2.3 本構(gòu)方程的增量表達(dá)形式

為了能夠準(zhǔn)確描述累積變形特性，同時也為了數(shù)值編程的方便，經(jīng)典彈塑性理論常將總應(yīng)變向量ε分解為

式中：εe和εp分別為彈性應(yīng)變向量和塑性應(yīng)變向量。

上式的增量形式可寫為

式中：dε，dεe和dεp分別為總應(yīng)變增量向量、彈性應(yīng)變增量向量和塑性應(yīng)變增量向量。

類似地，對于σq—σp應(yīng)力空間內(nèi)對應(yīng)的應(yīng)變不變量，剪應(yīng)變增量dεs和體應(yīng)變增量dεv可寫為

式中：dεs，e，dεs，p，dεv，e和dεv，p分別為彈性剪應(yīng)變增量，塑性剪應(yīng)變增量，彈性體應(yīng)變增量和塑性體應(yīng)變增量。

在彈性范圍內(nèi)，dεs，e和dεv，e可分別采取下式進(jìn)行計(jì)算。

式中：ei為剪切開始時刻的初始孔隙比；G為剪切模量；κ為等向壓縮回彈試驗(yàn)回彈曲線的斜率。

塑性階段的應(yīng)變向量可由下式獲得［27］。

式中：fh，fg和ff分別為硬化函數(shù)、塑性勢函數(shù)和屈服函數(shù)。

2.4 塑性勢函數(shù)

在σq—σp應(yīng)力空間內(nèi)，塑性應(yīng)變增量的方向與塑性勢面是垂直的，因此有

將式（16）代入式（8）可得

不難看出的是，式（17）的解即為塑性勢函數(shù)。但是由式（15）可知，并不需要精確的塑性勢函數(shù)，而僅需得到塑性勢函數(shù)分別對σq和σp的偏微分形式即可，參考文獻(xiàn)［27］給出的簡化計(jì)算方法，可以得到塑性勢函數(shù)對偏應(yīng)力σq和平均應(yīng)力σp的偏導(dǎo)數(shù)分別為

2.5 屈服函數(shù)

本文模型僅考慮剪應(yīng)力引起高鐵路基粗粒土填料的塑性變形，而忽略靜水壓力對填料塑性變形的影響。在σq—σp應(yīng)力空間內(nèi)，屈服函數(shù)ff可表示為

當(dāng)循環(huán)荷載加載路徑與屈服函數(shù)重合時，即屈服函數(shù)等于0 時，材料進(jìn)入屈服，表現(xiàn)為塑性變形的特性。

2.6 初始加載條件下塑性應(yīng)變計(jì)算

利用式（15）—式（20），并結(jié)合Indraratna和Salim 提出的由不排水應(yīng)力條件推導(dǎo)硬化函數(shù)的方法［31］，可以得到初始加載條件下的塑性應(yīng)變?yōu)?/p>

式中：α為與粗顆粒路基填料初始剛度有關(guān)的參數(shù)；σp，cu0和σp，cs分別為當(dāng)前應(yīng)力狀態(tài)下不排水應(yīng)力路徑起點(diǎn)和臨界狀態(tài)線交點(diǎn)的應(yīng)力；σp，cu0(i)和σp，cs(i)分別為開始加載時刻應(yīng)力狀態(tài)時σp，cu0和σp，cs的初值。

由于在低圍壓條件下，當(dāng)前應(yīng)力比有可能會趨近于臨界狀態(tài)應(yīng)力比，如此會導(dǎo)致一個較大的剪應(yīng)變增量值，因此文獻(xiàn)［27］的建議，用η*i=替代ηi，使得數(shù)值計(jì)算過程中應(yīng)力比的取值能夠大于臨界應(yīng)力比，進(jìn)而保證數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性和魯棒性。根據(jù)文獻(xiàn)［27］可知，式（21）和式（8）可以分別改寫為

2.7 后繼加載條件下塑性應(yīng)變計(jì)算

如本文所述，在循環(huán)荷載作用下，高鐵路基粗粒土填料初次加載產(chǎn)生的應(yīng)變最大，而后隨著振動次數(shù)的增加，累積變形逐漸趨于穩(wěn)定，即表現(xiàn)出了壓密性。從本構(gòu)方程的數(shù)學(xué)表達(dá)的角度出發(fā)，可以采取修正代表材料剛度的參數(shù)來模擬路基填料的壓密性。因此，對初始加載條件下的塑性應(yīng)變計(jì)算公式進(jìn)行剛度修正，從而得到新的后繼加載條件下塑性剪切應(yīng)變增量計(jì)算式

其中，

式中：α1為考慮隨動硬化效應(yīng)的參數(shù)；α2為考慮后繼加載應(yīng)力比影響的參數(shù)；α3為考慮振次影響的參數(shù)；μ和δ為與循環(huán)振次有關(guān)的模型經(jīng)驗(yàn)常數(shù)；‖AB‖，‖AC‖和‖AD‖為σq-σp應(yīng)力空間內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離（見圖3）；σp，e為彈性平均應(yīng)力（對應(yīng)圖3中的點(diǎn)D）。

α1的引入是為了準(zhǔn)確模擬包辛格效應(yīng)。由于在一定的振動次數(shù)之后，材料表現(xiàn)為彈性，因此引入彈性面來描述加載歷史的影響。彈性面隨著振次的增加而不斷硬化。σp，e則在給定的應(yīng)力路徑AB之間變化，前人給出的σp，e與振次N之間的關(guān)系［27］為

圖3中，點(diǎn)D 是用來控制材料在后繼加載條件下變形的，點(diǎn)C 代表當(dāng)前應(yīng)力位置。如果C 高于D，則材料表現(xiàn)為彈塑性，反之，則為彈性。

α2的引入是為了模擬應(yīng)力比大小的影響。當(dāng)填料受到較大應(yīng)力作用時，即應(yīng)力比越接近臨界狀態(tài)應(yīng)力比，則填料的剛度越大，從而產(chǎn)生的變形則越小。

α3的引入是為了模擬循環(huán)振次的影響，它是1個與振次N有關(guān)的函數(shù)，隨著加載次數(shù)的增加，參數(shù)α3逐漸增大，進(jìn)而反應(yīng)填料的剛度增加，累積變形減小。

通過上述公式計(jì)算得到剪應(yīng)變之后，便可由式（24）計(jì)算得到塑性體應(yīng)變增量。最終，總的剪應(yīng)變和體應(yīng)變增量可由式（11）和式（12）計(jì)算得到。

3 高鐵路基粗粒土填料循環(huán)壓密模型在ABAQUS程序中的實(shí)現(xiàn)

3.1 循環(huán)壓密模型的數(shù)值實(shí)現(xiàn)流程

有限元軟件ABAQUS 應(yīng)用范圍廣、功能強(qiáng)大，可以模擬由簡單線性到復(fù)雜非線性的各種問題，當(dāng)中不僅提供了標(biāo)準(zhǔn)的有限元分析程序，還具有良好的開放性能。用戶可以借助二次開發(fā)的平臺，開發(fā)用戶子程序接口和應(yīng)用程序接口，以此擴(kuò)展主程序的功能，在實(shí)際工程中得到廣泛應(yīng)用［32］。本文基于有限元軟件ABAQUS 二次開發(fā)接口，選用FORTRAN 語言編寫高鐵路基粗粒土填料循環(huán)壓密模型的UMAT 子程序。UMAT 子程序主要流程如圖4所示。

圖4 循環(huán)壓密模型數(shù)值實(shí)現(xiàn)流程

3.2 循環(huán)壓密模型的數(shù)值實(shí)現(xiàn)和驗(yàn)證

基于上述對循環(huán)壓密模型和有限元數(shù)值實(shí)現(xiàn)方法的描述，本節(jié)采用二維對稱的方法，并編制有限元子程序，預(yù)測粗顆粒路基填料三軸測試結(jié)果。

圖5為循環(huán)三軸試驗(yàn)的數(shù)值模擬示意圖。為了方便，取圓柱形三軸試樣的二維平面進(jìn)行模擬，即圖5（a）中三軸試樣的陰影部分，采用ABAQUS中二維8節(jié)點(diǎn)對二次減縮積分單元；圖5（b）顯示了ABAQUS 模型的網(wǎng)格劃分及邊界條件。模型左邊界為中心軸，不能發(fā)生側(cè)向變形，而模型的下邊界約束豎向和徑向變形。模型頂部徑向被固定，但豎向可以自由變形。采用2 個分析步模擬循環(huán)加載三軸試驗(yàn)過程：第1步，給定模型邊界和圍壓；第2步：對模型施加豎向循環(huán)荷載。

圖5 循環(huán)三軸試驗(yàn)數(shù)值模型

本文針對文獻(xiàn)［33］和文獻(xiàn)［34］中的循環(huán)荷載作用下粗粒土三軸試驗(yàn)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。數(shù)值計(jì)算中，模型參數(shù)取值的方法如下。

根據(jù)室內(nèi)振動壓實(shí)試驗(yàn)結(jié)果，繪制相對顆粒破碎率與單位體積塑性功關(guān)系曲線，如圖6所示。采用式（3）對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行擬合，可以得到高鐵路基粗粒土填料的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)a和b分別等于1 855 和0.083。

圖6 相對顆粒破碎率與單位體積塑性功關(guān)系

由循環(huán)荷載下三軸試驗(yàn)得到的應(yīng)力—應(yīng)變曲線圍成的滯回圈面積計(jì)算Wp，由上述確定的參數(shù)a和b計(jì)算循環(huán)荷載作用下的Rr。然后，將Wp和Rr與累積變形一一對應(yīng)，最終分別得到相對顆粒破碎率和單位體積能量消耗率如圖7所示。由圖7可見，二者呈線性關(guān)系，擬合得到經(jīng)驗(yàn)參數(shù)β等于1 855。

圖7 相對顆粒破碎率與單位體積能量消耗率關(guān)系

由文獻(xiàn)［34］的三軸試驗(yàn)結(jié)果，可以得到fSR與循環(huán)應(yīng)力比以及fN與循環(huán)振次的關(guān)系如圖8所示?；谧钚《朔ㄔ?，擬合得到fSR和fN的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式為

式中：σd為三軸試驗(yàn)豎向動應(yīng)力幅值；σ3為三軸試驗(yàn)圍壓；CSR1，CSR2，CSR3，CN1，CN2和CN3為擬合參數(shù)。

表1給出了相對顆粒破碎率的修正函數(shù)式（26）和式（27）的擬合系數(shù)具體取值。

在循環(huán)荷載作用下高鐵路基粗粒土填料三軸試驗(yàn)的模擬中涉及的其他參數(shù)可根據(jù)嘗試試錯法獲得，具體取值見表2。

圖8 相對顆粒破碎率修正函數(shù)

表1 顆粒破碎率修正函數(shù)參數(shù)取值

表2 數(shù)值實(shí)現(xiàn)中循環(huán)壓密模型參數(shù)

圖9給出了循環(huán)荷載作用下高鐵路基粗粒土填料累積變形試驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值計(jì)算結(jié)果，由圖9可見，本文提出的循環(huán)壓密模型計(jì)算結(jié)果可以較準(zhǔn)確地預(yù)測不同圍壓和應(yīng)力幅值作用下的累積變形，同時也準(zhǔn)確預(yù)測了隨著累積振次的不斷增加，累積應(yīng)變不斷趨于穩(wěn)定的循環(huán)壓密特性。這充分說明了本文提出的循環(huán)壓密模型理論公式以及有限元計(jì)算實(shí)現(xiàn)方法是準(zhǔn)確且合理的。

圖9 高鐵路基粗粒土填料累積軸向變形試驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值結(jié)果

4 結(jié) 論

（1）基于高鐵路基長期反復(fù)低幅循環(huán)荷載的受力特性，針對高鐵路基粗粒土填料，依據(jù)臨界狀態(tài)土力學(xué)理論，給出了填料顆粒破碎與塑性功經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式，修正并提出可以考慮顆粒破碎與應(yīng)力比影響的粗粒土填料剪脹方程。

（2）依托經(jīng)典彈塑性理論，引入應(yīng)力比與循環(huán)振動次數(shù)修正函數(shù)，通過彈塑性解耦，推導(dǎo)出基于修正剪脹方程的路基粗粒土填料循環(huán)壓密本構(gòu)模型。

（3）建立所提模型的“彈性預(yù)測-塑性修正”數(shù)值分析求解程序，采用FORTRRAN 語言編寫計(jì)算程序，借助有限元軟件ABAQUS 所提供的二次開發(fā)程序接口，實(shí)現(xiàn)本構(gòu)模型的程序化計(jì)算。

（4）與前人所做循環(huán)荷載作用下高鐵路基粗粒土三軸試驗(yàn)對比，表明本文提出的考慮顆粒破碎的循環(huán)壓密模型能夠較準(zhǔn)確地模擬填料長期累積變形和循環(huán)壓密特性。