艾 振， 黃逸哲， 李 壯， 黃其柏

(1.汽車(chē)噪聲振動(dòng)和安全技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶，401120) (2.華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院 武漢，430074)

引 言

目前，基于黏彈性阻尼材料的減振結(jié)構(gòu)主要有自由阻尼結(jié)構(gòu)和約束阻尼結(jié)構(gòu)兩種，前者利用黏彈性材料的拉伸彎曲變形耗能，后者則以黏彈性材料的剪切變形耗能為主[1]。阻尼薄板結(jié)構(gòu)的建模方法主要有解析法和有限元法，解析法適用于對(duì)簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)、具有規(guī)則外形和特殊約束條件對(duì)象的建模與求解；有限元法則有效地處理各種結(jié)構(gòu)形式和邊界條件，并得到滿(mǎn)足精度要求的黏彈性阻尼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性數(shù)值解。國(guó)內(nèi)外對(duì)此進(jìn)行了廣泛的研究。Wang等[2]使用Kantorovich方法研究了在對(duì)邊固支對(duì)邊自由邊界條件下局部敷設(shè)帶狀約束層阻尼板的動(dòng)力學(xué)特性和響應(yīng)問(wèn)題。李恩奇等[3]采用分布參數(shù)傳遞函數(shù)法研究了對(duì)邊簡(jiǎn)支約束層阻尼板的動(dòng)力學(xué)特性。Ferreira等[4]通過(guò)Carrera統(tǒng)一公式，建立了含黏彈性材料核的夾芯板的分層有限元模型，并求解了頻域動(dòng)態(tài)問(wèn)題。王慧彩等[5]構(gòu)造了阻尼夾層板單元，用層合板理論建立了復(fù)合板結(jié)構(gòu)的有限元模型。針對(duì)阻尼敷設(shè)的型式，目前主要有全局敷設(shè)和局部敷設(shè)，局部敷設(shè)能充分發(fā)揮單元阻尼的減振降噪作用，提高其耗能效率，更貼合工程實(shí)際應(yīng)用需求。Parthasarathy等[6]研究了局部敷設(shè)自由阻尼層板的振動(dòng)特性、阻尼材料的優(yōu)化敷設(shè)位置。Khalfi 等[7-8]研究了局部約束黏彈性層阻尼板的瞬態(tài)響應(yīng)以及不同參數(shù)下的瞬態(tài)諧波響應(yīng)。在復(fù)合阻尼層研究方面，楊軒等[9]研究了縫合式復(fù)合材料夾芯板，探討了縫合密度和縫合線(xiàn)角度對(duì)夾芯板動(dòng)態(tài)特性的影響。漆文凱等[10]針對(duì)復(fù)合材料層合板的阻尼機(jī)理和預(yù)報(bào)方法進(jìn)行了分析，采用有限元法編制了相關(guān)的模態(tài)阻尼計(jì)算程序。

區(qū)別于傳統(tǒng)的自由阻尼層和約束阻尼層，筆者研究的含彈性約束的黏彈性復(fù)合阻尼層(composite damping layer with elastic constraints,簡(jiǎn)稱(chēng)ECCDL)結(jié)構(gòu)由上、下黏彈性層及分界彈性層膠合而成。在振動(dòng)激勵(lì)作用下，其下層黏彈性層將發(fā)生剪切應(yīng)變變形，上層黏彈性層產(chǎn)生拉伸彎曲變形，這種復(fù)合阻尼層結(jié)構(gòu)綜合了自由與約束阻尼層的耗能機(jī)制，并能夠根據(jù)減振降噪需求進(jìn)行多相材料的組合設(shè)計(jì)，具有重要的理論和實(shí)際意義。

筆者根據(jù)含彈性約束的復(fù)合阻尼層板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)耗能機(jī)理，建立其控制方程、能量方程及動(dòng)力學(xué)模型，并通過(guò)數(shù)值求解獲取阻尼復(fù)合板結(jié)構(gòu)振動(dòng)耗能特性與規(guī)律，為薄板結(jié)構(gòu)阻尼減振降噪提供理論基礎(chǔ)。

1 位移場(chǎng)與控制方程

1.1 幾何與位移

含彈性約束的復(fù)合阻尼板如圖1所示，由基板b和復(fù)合阻尼層組成，其中復(fù)合阻尼層由兩種不同的黏彈性材料層v1，v2及其分界層c黏貼復(fù)合而成。為便于描述，自底而上記為：b板，v1板，c板，v2板。復(fù)合阻尼層板采取以下假設(shè)：①層間完全黏著，界面位移連續(xù)；②4層具有相同的橫向撓度(z向位移)；③上、下板剪應(yīng)力為零，c板為薄金屬層，剛性大，忽略其剪切變形，故b，c，v2板采用Kirchhoff假設(shè)；④黏彈性v1層只承受橫向剪切，為充分考慮剪切效應(yīng)，采用Mindlin板假設(shè)。

基于假設(shè)，復(fù)合阻尼層中，黏彈性v1層剪切耗能，黏彈性v2層拉伸、彎曲耗能，其綜合了約束阻尼、自由阻尼的耗能模式。描述其位移場(chǎng)時(shí)，采用各層板內(nèi)位于中性面上的局部坐標(biāo)系，均平行于圖1所示的全局坐標(biāo)系，圖2為寬度方向的截面圖，圖3為板y向的變形圖。

圖1 含彈性約束的復(fù)合阻尼板示意圖Fig.1 Composite damping plate with elastic constraints

圖2 寬度向剖面示意圖 圖3 板y向變形圖 Fig.2 Width-to-profile diagram Fig.3 y-directional deformation

建立位移場(chǎng)如下

(1)

(i=b,c,v2)

對(duì)于黏彈性v1層

(2)

其中：下標(biāo)i代表b，c，v2，v1各層板；ui，vi為i板中性面上在x，y方向的位移；w為層合板在z方向上的位移；Ui，Vi，Wi分別為i板內(nèi)點(diǎn)在x，y，z方向上的位移；αv，βv為黏彈性v1層變形發(fā)生在x-z，y-z平面上的截面轉(zhuǎn)角[11]。

考慮到分界面完全黏著，層間無(wú)滑移，各層z向位移相同，故對(duì)于v1，v2層由分界面上x(chóng)，y向位移連續(xù)條件可得黏彈性v1層上、下界面位移連續(xù)。

(3)

聯(lián)立式(1)～(3)，解得

(4)

(5)

剪切應(yīng)變?chǔ)脁z,γyz為

(6)

黏彈性v2層，下界面位移連續(xù)

(7)

聯(lián)立式(1)和式(7)，解得

(8)

其中：hi(i=b，c，v1，v2)為各層板的厚度，此處黏彈性v1層的厚度不能為零。

經(jīng)過(guò)上述方程推導(dǎo)轉(zhuǎn)化，研究對(duì)象復(fù)合阻尼層板的位移場(chǎng)簡(jiǎn)化為由{ub,vb,uc,vc,w}5個(gè)場(chǎng)分量控制的位移場(chǎng)。

1.2基于應(yīng)變能的能量方程

由前述假設(shè)和幾何變形可知：b，c和v2板拉伸、彎曲變形時(shí)，其應(yīng)變能為拉伸應(yīng)變能和彎曲應(yīng)變能；v1板剪切變形時(shí)，其應(yīng)變能為剪切勢(shì)能。設(shè)i板的應(yīng)變列向量為εi，應(yīng)力列向量為σi，則復(fù)合黏彈性阻尼層板的應(yīng)變勢(shì)能U為

(9)

對(duì)于b板

(10)

(11)

對(duì)于c板

(12)

對(duì)于v2板，結(jié)合式(8)和式(12)可得

(13)

對(duì)于v1板，應(yīng)變?chǔ)舦1=[γxzγyz]T，應(yīng)力σv1=Gv1[γxzγyz]T，結(jié)合式(6)可得

(14)

其中：Ei為彈性模量；μi為泊松比；Gv1剪切模量。

采用復(fù)常模量[12]模型描述v1和v2的黏彈性行為

(15)

其中：ζ為黏彈性材料損耗因子。

板四邊約束，其x，y方向動(dòng)能較小可忽略，復(fù)合阻尼層板的動(dòng)能T為

(16)

其中：ρi為密度；hi為厚度。

1.3 邊界、位移函數(shù)及控制方程

對(duì)四邊簡(jiǎn)支板，采用假設(shè)模態(tài)法，取如下滿(mǎn)足全部邊界條件的廣義位移函數(shù)[7,13]

(17)

令

則

(18)

其中：Lxb,Lyb,Lxf,Lyf為基板和阻尼層板的邊長(zhǎng)度，如圖1所示；m，n為模態(tài)指標(biāo)數(shù)[12]；A,B,P,M,N為滿(mǎn)足邊界條件且只依賴(lài)空間x，y的位移函數(shù)的列向量表示；Γ,Θ,Λ,Ψ,Ω為只依賴(lài)時(shí)間t的新廣義位移的列向量表示。

控制方程由Lagrange方程得到，定義Lagrange量為L(zhǎng)，L=T-U，則研究的物理系統(tǒng)的Lagrange方程為

(19)

其中:qi=Γ,Θ,Λ,Ψ,Ω。

2 四邊簡(jiǎn)支板的自由振動(dòng)解與驗(yàn)證

結(jié)合式(9)～(19)，整理轉(zhuǎn)化可得廣義坐標(biāo)下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程形式

(20)

其中：M為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣；K為包括耗散量的復(fù)剛度矩陣。

求解該系統(tǒng)的特征值方程為

(21)

2.1 算例驗(yàn)證

筆者研究的復(fù)合黏彈性阻尼板為4層復(fù)合板，采用退化驗(yàn)證。為了驗(yàn)證文中公式推導(dǎo)的正確性及解析解的正確性，計(jì)算以下兩個(gè)算例。

算例1四邊簡(jiǎn)支自由阻尼層合板[14-15]。令hc=0,hv2=0，為兩層板，且此時(shí)v1層為自由層，拉伸彎曲耗能同前述板v2層，采用類(lèi)似式(7)的位移連續(xù)關(guān)系，結(jié)合式(9)～(19)類(lèi)推運(yùn)動(dòng)方程求解，此時(shí)廣義位移只有{Γ,Θ,Ω}。如圖1所示，yb=0.6 m,xb=0.8 m,hb=3.14 mm,Eb=68.5 GPa,ρb=2 700 kg/m3，μb=0.34。自由阻尼層y1=x1=0，yf=0.6 m，xf=0.8 m，hv1=4.25 mm，Ev1=4.768 MPa，ρv1=1 100 kg/m3，μv1=0.49，ζv1=0.5。表1為本研究計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[14]解析結(jié)果、文獻(xiàn)[15]實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較。

表1 自由阻尼板計(jì)算結(jié)果比較

算例2四邊簡(jiǎn)支約束阻尼層合板[12]。令hv2=0為3層板,且v1層為約束層，如圖1所示，yb=yf=0.304 8 m，xb=xf=0.348 m，hb=hc=0.762 mm，y1=x1=0，hv1=0.254 mm，ρb=2 740 kg/m3，ρv1=999 kg/m3，ρc=2 740 kg/m3，Eb=68.9 GPa，Gv1=0.869 MPa，Ec=68.9 GPa，μb=μc=0.3，μv1=0.49，ζv1=0.5。表2為本研究計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[12]解析結(jié)果的比較。

表2 約束阻尼板計(jì)算結(jié)果比較

由表1、表2中的計(jì)算結(jié)果看出，本研究求解得到的頻率、損耗因子與文獻(xiàn)中的計(jì)算結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了本研究的機(jī)理公式推導(dǎo)與解析計(jì)算的正確性。

2.2研究模型計(jì)算結(jié)果

研究復(fù)合阻尼層板，其參數(shù)如下。b層(鋁)板：yb=0.3 m，xb=0.4 m，hb=1 mm，Eb=68.9 GPa，ρb=2 740 kg/m3，μb=0.3。復(fù)合阻尼層：y1=0.1 m，x1=0.05 m，yf=0.1 m，xf=0.3 m。v1層板：hv1=1 mm，Ev1=2.590 MPa，ρv1=999 kg/m3，μv1=0.49，ζv1=0.5。c層(鋼)板：hc=0.2 mm，Ec=212 GPa，ρc=7 850 kg/m3，μc=0.31。v2層板：hv2=1 mm，Ev2=24 MPa，ρv1=1 200 kg/m3，μv2=0.45，ζv2=0.5。

計(jì)算其前5階模態(tài)振型，如圖4所示。

圖4 復(fù)合阻尼層板振型圖Fig.4 Mode shapes of composite damping laminates

計(jì)算3種對(duì)比算例：復(fù)合阻尼層、經(jīng)典約束阻尼層和經(jīng)典自由阻尼層，如圖5所示。其中，控制復(fù)合板的基板厚為1 mm，板總厚3.2 mm保持不變。

圖5 對(duì)比算例幾何示意圖Fig.5 Geometric sketch of a comparative example

對(duì)比計(jì)算結(jié)果如表3、圖6所示。可以看出復(fù)合阻尼層的減振效果遠(yuǎn)大于經(jīng)典自由阻尼層，效果接近經(jīng)典約束阻尼。復(fù)合阻尼層綜合了約束阻尼的剪切耗能和自由阻尼的拉伸彎曲耗能，其減振效果也介于兩者之間。由圖6可看出，模態(tài)越高，結(jié)構(gòu)損耗因子減小。其第3階損耗因子特別小，初步分析為復(fù)合阻尼層敷設(shè)位置的影響。

表3 對(duì)比算例板計(jì)算結(jié)果比較

圖6 不同結(jié)構(gòu)下模態(tài)損耗因子對(duì)比曲線(xiàn)Fig.6 Contrast curve of modal loss factor under different structures

3 不同參數(shù)下的振動(dòng)耗能變化

設(shè)復(fù)合阻尼層厚度hf=hv1+hc+hv2，令基板、阻尼層厚度保持不變，研究不同hv1/hv2配比下夾層板耗能變化。夾層板的固有頻率變化甚小，故只討論模態(tài)損耗因子的變化。

如表4、圖7所示，隨著比值的增大，每階的模態(tài)損耗因子均增大，即復(fù)合阻尼層中v1層比重越大，減振效果越好，這也說(shuō)明了約束阻尼層的減振性能大于自由阻尼層。

圖7 不同厚度比下模態(tài)損耗因子對(duì)比曲線(xiàn)Fig.7 Contrast curve of modal loss factor under different thickness ratios

表4 hv1/hv2不同比值下的損耗因子

如表5所示，研究復(fù)合阻尼層在不同材料參數(shù)下的損耗因子可以看出：增大上層v2層材料剛度，阻尼效果越好，即v2層剛度越大，拉伸彎曲耗能更多；對(duì)于兩相黏彈性材料，下層v1層材料的變化對(duì)整體復(fù)合阻尼性能影響最大，其材料的損耗因子越大，減振性能越好。

表5 不同材料參數(shù)下的損耗因子

由于敷設(shè)位置沒(méi)變，第3階模態(tài)損耗因子依然很小。進(jìn)一步分析，在將復(fù)合阻尼層的厚度及總面積保持不變的前提下，依據(jù)板前5階模態(tài)振型形狀，將夾層塊變形、切分敷設(shè)在特定位置處。其敷設(shè)形狀與對(duì)應(yīng)階模態(tài)振型如圖8所示。

圖8 不同敷設(shè)形狀位置與對(duì)應(yīng)階模態(tài)振型圖Fig.8 Modal shapes of different laying shapes, positions and corresponding orders

表6、表7和圖9、圖10列出了Ⅰ，Ⅴ型敷設(shè)下模態(tài)頻率與損耗因子計(jì)算結(jié)果，敷設(shè)的形狀位置如圖8所示，可以看出其針對(duì)第1階和第5階振型敷設(shè)。結(jié)合Ⅰ型、Ⅴ型分析，Ⅴ型敷設(shè)下第1階模態(tài)損耗因子最小，這是因?yàn)樽枘岱笤O(shè)位置避開(kāi)了1階振型變形密集區(qū)，1階減振效果差，損耗因子小。Ⅴ型敷設(shè)下雖然整體減振效果不佳，但2，3，4，5階模態(tài)下減振比重上升。由此可知，在相應(yīng)模態(tài)應(yīng)變能大的位置敷設(shè)阻尼有更好的減振效果，這也為局部敷設(shè)阻尼層的結(jié)構(gòu)位置優(yōu)化提供了一定的支持。

表6 Ⅰ型的模態(tài)頻率和損耗因子

表7 Ⅴ型的模態(tài)頻率和損耗因子

圖9 Ⅰ型的各階模態(tài)損耗因子曲線(xiàn)圖Fig.9 Curves of mode loss factor of type Ⅰ

圖10 Ⅴ型的各階模態(tài)損耗因子曲線(xiàn)圖Fig.10 Curves of mode loss factor of type Ⅴ

4 結(jié) 論

1) 建立了含彈性約束的復(fù)合阻尼板動(dòng)力學(xué)模型，揭示了其剪切和彎曲復(fù)合耗能機(jī)制，分析了復(fù)合阻尼層結(jié)構(gòu)參數(shù)與阻尼耗能的特性與規(guī)律。

2) 復(fù)合阻尼層的減振性能優(yōu)于經(jīng)典的自由阻尼層，其性能與彈性約束層的位置有關(guān)，隨著彈性層位置的上移，減振性能越好。對(duì)于單一黏彈性材料，在其極限位置時(shí)復(fù)合阻尼層為約束層，減振性能達(dá)到最大。

3) 復(fù)合阻尼層中彈性層起分層作用，上層材料剛度越大，減振效果越好。對(duì)于整體復(fù)合層，下層材料對(duì)整體阻尼特性影響最大。

4) 復(fù)合板的敷設(shè)位置影響其耗能效果，基于模態(tài)振型，在相應(yīng)階模態(tài)應(yīng)變能大的位置敷設(shè)復(fù)合阻尼層具有更好的減振效果。