張成龍, 張 輝,2,*, 江代文

(1. 南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 210094; 2. 帝國理工學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 倫敦 SW7 2AZ, 英國)

0 引 言

飛行器、艦船等航行體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，黏性流體在其表面形成的邊界層可產(chǎn)生較大的阻力、振動(dòng)和噪聲，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致航行體失穩(wěn)。為了減少此類情況的發(fā)生，對(duì)邊界層加以適當(dāng)?shù)目刂?，通過改變其結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到減阻、減振、降噪的效果[1-4]。目前的主動(dòng)控制方法雖能取得顯著的控制效果，但輸入的能量較大，甚至比減阻節(jié)約的能量高一個(gè)數(shù)量級(jí)以上，因此減少輸入能量、提高控制效率成為制約主動(dòng)流動(dòng)控制發(fā)展的瓶頸問題。

電磁力流動(dòng)控制方法作為主動(dòng)流動(dòng)控制方法之一，有響應(yīng)速度快、控制效果好、靈活性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在層流和湍流的流動(dòng)控制中都有廣泛應(yīng)用[5-6]。英國學(xué)者Gailitis最早利用電磁力進(jìn)行流動(dòng)控制，將電磁激活板置入弱電解質(zhì)溶液中，通電后產(chǎn)生的電磁力可以改變邊界層結(jié)構(gòu)。隨著電磁流動(dòng)控制的發(fā)展，其控制效率問題逐漸受到越來越多的關(guān)注。其中槽道流動(dòng)作為一種典型流動(dòng)，由于其流向和展向滿足周期性邊界條件，從而在計(jì)算量不大的情況下即可進(jìn)行層流和湍流的直接數(shù)值模擬，但卻也是因此不能直接利用此方法進(jìn)行轉(zhuǎn)捩流動(dòng)的研究。Berger[7]等對(duì)槽道湍流的電磁力控制進(jìn)行直接數(shù)值模擬，討論了電磁力的控制效率問題。他將控制效率定義為：減阻節(jié)約的能量與施加電磁力所使用的能量之比。研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)較低雷諾數(shù)下的槽道湍流施加展向電磁力，減阻率可達(dá)到40%，但是所需電磁力的能量比減阻節(jié)省的能量大一個(gè)數(shù)量級(jí)以上。當(dāng)雷諾數(shù)增加時(shí)，控制效率進(jìn)一步減小。O’Sullivan[8]等在類似的研究中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)施加的電磁力很小時(shí)，很難對(duì)湍流流場產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性的影響。而逐漸增大施加的電磁力，產(chǎn)生電磁力輸入的能量始終比減阻節(jié)約的能量大。后來，Shatrov[9]等同樣利用直接數(shù)值模擬，用時(shí)變電磁力和恒定電磁力分別對(duì)槽道湍流進(jìn)行控制。結(jié)果表明，研究的所有參數(shù)組合中，輸入能量均大于減阻節(jié)約的能量。Gadel-Hak[10]利用了閉環(huán)反饋控制方法，但并未顯著提高槽道湍流的電磁力控制效率。Rogers[11]、Sankar[12]等對(duì)電磁力控制翼型繞流分離的增升減阻效率進(jìn)行研究，分析了電磁力控制過程及不同工況條件下的電磁力控制效率。陳耀慧[13]等數(shù)值研究了翼型繞流電磁力控制過程，發(fā)現(xiàn)電磁力控制能量的損耗主要體現(xiàn)在流體動(dòng)能上。Chen[14]等比較了全包覆和局部包覆的電磁力控制方法，結(jié)果表明，在特殊位置施加局部電磁力控制流動(dòng)的效果與全包覆電磁力的控制效果相當(dāng)，但輸入能量仍大于減阻節(jié)約的能量。

綜上，目前的電磁力控制方法雖能取得很好的控制效果，但控制效率很低。本文作者也曾對(duì)電磁力的優(yōu)化控制進(jìn)行過相關(guān)研究[5-6]，但僅通過參數(shù)優(yōu)化、局部作用、反饋控制等方法，收效甚微，其根源在于輸入的能量較大，即施加較大的電磁力才能在流場中誘導(dǎo)出足夠大的響應(yīng)。因此，若能以較小的電磁力便可誘導(dǎo)出大的響應(yīng)，這將為大幅提高控制效率提供可能。

本文以層流槽道流動(dòng)作為研究對(duì)象，在槽道的下壁面施加沿展向余弦分布的展向電磁力，推導(dǎo)了線性條件下流向響應(yīng)速度的解析解，并通過直接數(shù)值模擬對(duì)非線性條件下的響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算。結(jié)合解析解和數(shù)值解，揭示了流場中速度響應(yīng)的放大機(jī)制，討論了電磁力和流場參數(shù)對(duì)響應(yīng)放大效果的影響。

1 理論模型

以弱電解質(zhì)溶液在槽道中的層流流動(dòng)為研究對(duì)象，模型如圖1所示。直角坐標(biāo)系原點(diǎn)位于下壁面，其中x、y、z分別代表流向、法向和展向。槽道在這三個(gè)方向的尺寸為Lx×Ly×Lz=(4π/3)×2×(2π/3)。

圖1 槽道模型示意圖Fig.1 Diagrammatic sketch of channel flow

對(duì)此不可壓縮三維槽道流，將電磁力作為源項(xiàng)，無量綱化N-S方程為：

(1)

·u=0

(2)

f=(0,0,fz)

(3)

fz=Ae-y/Δcos(kz)

(4)

1.1 線性條件下的解析解

將式(1)、式(2)寫成直角坐標(biāo)系下的形式，有

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

考慮到槽道流的特點(diǎn)，式(1)和式(2)，沿流向和展向滿足周期性邊界條件，法向滿足壁面無滑移邊界條件[6]。初始條件為基本流UB(y)=1-(1-y)2=2y-y2，(0

當(dāng)電磁力振幅0

(10)

(11)

(12)

2e-y/Δ}sin(kz)

(13)

1.2 數(shù)值解

隨著電磁力的增大，流場的響應(yīng)逐漸進(jìn)入非線性范圍，因此需要通過數(shù)值計(jì)算去求解。本文采用直接數(shù)值模擬，對(duì)方程(1)和(2)利用Fourier-Chebyshev譜方法進(jìn)行空間離散。時(shí)間項(xiàng)采用三階精度的半隱式向后差分格式求解。線性項(xiàng)和壓力項(xiàng)，通過影響矩陣法和Chebyshev-tau方法聯(lián)立求解，以消除殘余散度。非線性項(xiàng)，利用3/2規(guī)則消除混淆誤差。槽道沿流向和展向均采用均勻網(wǎng)格周期性邊界條件，沿法向?yàn)榉蔷鶆蚓W(wǎng)格壁面無滑移條件[6]。文中使用的上述算法基于槽道湍流的算例驗(yàn)證已在文獻(xiàn)[6]中詳細(xì)討論，層流時(shí)的速度響應(yīng)將在下文中與解析解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。計(jì)算過程中流向流量保持不變，并選取雷諾數(shù)Re=500～2000的算例進(jìn)行研究。

2 結(jié)果與討論

2.1 流向響應(yīng)速度的算例驗(yàn)證

(a) 數(shù)值解

(a) A=1×10-5

2.2 流向速度響應(yīng)隨電磁力和流場參數(shù)的變化

(a) Kz=1

圖5 最大響應(yīng)速度隨滲透深度和波數(shù)的變化Fig.5 Variations of the response with effective penetration and wave number

圖6 流向最大響應(yīng)速度放大倍數(shù)隨波數(shù)和振幅的變化Fig.6 Variations of the amplification along the streamwise direction with wave number and amplitude

圖7 流向最大響應(yīng)速度隨波數(shù)和振幅的變化Fig.7 Variations of the response with wave number and amplitude

圖8 流向最大響應(yīng)速度放大倍數(shù)隨滲透深度和振幅的變化Fig.8 Variations of the amplification along the streamwise direction with effective penetration and amplitude

圖9 流向最大響應(yīng)速度隨滲透深度和振幅的變化Fig.9 Variations of the response with effective penetration and amplitude

圖10 流向最大響應(yīng)速度放大倍數(shù)隨雷諾數(shù)和振幅的變化Fig.10 Variations of the amplification along the streamwise direction with Reynolds number and amplitude

圖11 流向最大響應(yīng)速度隨雷諾數(shù)和振幅的變化Fig.11 Variations of the response with Reynolds number and amplitude

3 結(jié) 論

本文以層流槽道流動(dòng)作為研究對(duì)象，在槽道的下壁面施加沿展向分布的電磁力，推導(dǎo)了線性條件下流向響應(yīng)速度的解析解，并通過直接數(shù)值模擬對(duì)非線性條件下的響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算。結(jié)果表明：

1) 當(dāng)振幅較小時(shí)(A≤1×10-4)，速度響應(yīng)處于線性范圍，其放大倍數(shù)與Re2成正比；隨著Δ的增大，先迅速增大后緩慢減?。浑S著展向波數(shù)Kz的增大單調(diào)減小。此時(shí)最大響應(yīng)的放大倍數(shù)在102～ 103量級(jí)。

2)隨著振幅的增大，放大倍數(shù)進(jìn)入非線性范圍，其值逐漸減小，但速度響應(yīng)值先增大后減小。在振幅處于10-3～10-2量級(jí)時(shí)，速度響應(yīng)可達(dá)到最大值超過0.2，此時(shí)的放大倍數(shù)在102量級(jí)。

利用流場的放大效果與Re2的相關(guān)性，將電磁力的響應(yīng)先進(jìn)行放大，再用來控制流場的流動(dòng)，為目前的主動(dòng)流動(dòng)控制理論和技術(shù)提供了新的方法。本文基于大響應(yīng)的研究是實(shí)現(xiàn)高效流動(dòng)控制的重要環(huán)節(jié)。

附 錄

線性條件下解析解的詳細(xì)推導(dǎo)如下。

對(duì)本文中不可壓縮三維槽道流，將電磁力作為源項(xiàng)，其無量綱化N-S方程為：

(1)

·u=0

(2)

f=(0,0,fz)

(3)

fz=Ae-y/Δcos(kz)

(4)

將方程(1)、(2)寫成直角坐標(biāo)系下的形式，有

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

在槽道流中沿z方向滿足周期性條件，因此方程組解的形式如下：

(18)

式(4)中的電磁力可寫為:

fz=Ae-y/Δcos(kz)

=Ae-y/Δeikz/2+Ae-y/Δe-ikz/2

(19)

將式(18)、式(19)的等號(hào)右端第一項(xiàng)代入式(14)～式(17)可得:

(20)

(21)

(22)

(23)

同樣，將第二項(xiàng)代入式(14)～式(17)可得:

(24)

(25)

(26)

(27)

求解方程組，可得

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)