黃種亮，徐啟福，來定國，邱孟通

(1.清華大學(xué) 工程物理系，北京 100084；2.粒子技術(shù)與輻射成像教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084；3.西北核技術(shù)研究院 強(qiáng)脈沖輻射環(huán)境模擬與效應(yīng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710024)

陰極是脈沖硬X射線負(fù)載、強(qiáng)流電子束二極管及高功率微波系統(tǒng)中的關(guān)鍵部件，常用的陰極結(jié)構(gòu)有平面陰極、半球頭陰極、針狀陰極和環(huán)形陰極等[1-3]。大量研究表明提高陰極表面電場上升速率能減弱電子微發(fā)射點(diǎn)的屏蔽作用，有效提高陰極電子發(fā)射均勻性。宏觀場增強(qiáng)型陰極可在加載功率源參數(shù)不變的情況下，提高陰極表面電場上升速率，改善電子發(fā)射情況[4-6]。環(huán)形陰極是一種典型的場增強(qiáng)型陰極，被廣泛應(yīng)用于高功率脈沖技術(shù)領(lǐng)域。在串級二極管和軔致輻射反射三極管中，環(huán)形陰極提供強(qiáng)流電子束用于打靶產(chǎn)生脈沖硬X射線輻射場，從而開展輻射效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究[7-8]。高功率微波系統(tǒng)中，使用環(huán)形陰極設(shè)計(jì)O型微波產(chǎn)生器件，實(shí)現(xiàn)較高的微波轉(zhuǎn)換率[9-11]。因此，對環(huán)形陰極的宏觀場增強(qiáng)因子開展計(jì)算研究具有重要意義。陰極宏觀場增強(qiáng)因子不僅與陰極的形狀有關(guān)，而且與負(fù)載整體尺寸和結(jié)構(gòu)有關(guān)。文獻(xiàn)[12-16]對平板陰極、半球頭陰極和同軸筒狀陰極的宏觀場增強(qiáng)因子開展了一些研究，獲得了針對特定結(jié)構(gòu)參數(shù)的宏觀場增強(qiáng)因子估算公式，對陰極的設(shè)計(jì)優(yōu)化具有一定借鑒意義。本文針對環(huán)形陰極的宏觀場增強(qiáng)因子進(jìn)行理論計(jì)算研究。

1 細(xì)圓環(huán)的電勢分布求解

假設(shè)空間中有一理想的均勻帶電細(xì)圓環(huán)，其位于xOy平面上，圓心位于原點(diǎn)O，半徑為r，線電荷密度為λ，計(jì)算圓環(huán)對空間中任意位置處的電勢貢獻(xiàn)。由于圓環(huán)的電勢分布圍繞z軸存在軸對稱，所以只需考察xOz平面上任意點(diǎn)的電勢分布，計(jì)算坐標(biāo)系如圖1所示。

定義無窮遠(yuǎn)處的電勢為0，取細(xì)圓環(huán)上一無限小的微元rdθ，則該微元對空間中P(x,z)的電勢貢獻(xiàn)UP為：

(1)

其中，ε0為真空介電常數(shù)。

圖1 均勻帶電細(xì)圓環(huán)電勢分布計(jì)算Fig.1 Electric potential computation of uniformly charged ring

根據(jù)電勢疊加原理，細(xì)圓環(huán)對空間中任意點(diǎn)P(x,z)的電勢貢獻(xiàn)為所有微元的電勢貢獻(xiàn)總和。將式(1)在整個圓環(huán)上進(jìn)行積分，求得圓環(huán)對P點(diǎn)的電勢貢獻(xiàn)為：

(2)

(3)

其中，K(m)為第一類橢圓積分。

2 環(huán)形陰極場分布求解

在環(huán)形陰極二極管中，加載到陰陽極間隙的電壓為V0，假設(shè)陰極厚度近似為0，陰極內(nèi)徑為Ri，外徑為Ro，電勢為-V0，陽極近似無窮大，電勢為0，陰陽極間隙為d。由鏡像法可知，存在鏡像陰極與原陰極關(guān)于陽極對稱，其電勢為V0，陰陽極間電勢分布可通過求解兩陰極間的電勢分布獲得。由于空間電勢的軸對稱分布，可將三維問題簡化為xOz平面上的二維問題(圖2)。

圖2 二極管電場強(qiáng)度分布計(jì)算模型Fig.2 Computation model for electric field intensity distribution of diode

電子發(fā)射前，空間中任意位置的電勢本質(zhì)上由陰極表面的電荷分布決定，因此電勢問題轉(zhuǎn)化為求解陰極表面的電荷分布。將陰極均勻分為2N個細(xì)圓環(huán)，上下各N個。當(dāng)N足夠大時可認(rèn)為每個細(xì)圓環(huán)上電荷均勻分布，第i個圓環(huán)的線電荷密度為λi，圓環(huán)半徑為ri，圓環(huán)寬度中心位置的坐標(biāo)為(xi,zi)。由式(3)可知，第i個圓環(huán)在空間任意位置P(x,z)的電勢貢獻(xiàn)UPi為：

(4)

UPi(x,z)=G(ri,z-zi,x)λi

(5)

由電勢疊加原理可知，xOz平面內(nèi)任一位置處的電勢可由2N個細(xì)圓環(huán)在該處電勢疊加求得：

(6)

設(shè)第i個圓環(huán)寬度中心位置的電勢為Vi，由式(6)可得：

(7)

令Gi,j=G(ri,zi-zj,xi)，可得到2N個線性方程：

(8)

以下就特定算例進(jìn)行計(jì)算，取Ri=0.055 m、Ro=0.06 m、d=0.05 m、V0=1 V、N=1 000，用Matlab編程求解式(8)獲得陰極表面電荷密度分布(圖3)，進(jìn)而求出陰陽極間隙中電勢和電場強(qiáng)度空間分布，如圖4所示。由圖3可知，陰極表面的電荷強(qiáng)烈集中在陰極環(huán)的兩個棱邊上，陰極環(huán)正中間位置處的電荷密度最小，最大電荷密度是最小電荷密度的16倍。由圖4可知，陰陽極間隙中，陰極環(huán)內(nèi)外棱邊附近的等勢線分布最為密集，對應(yīng)棱邊附近的電場最強(qiáng)，與陰極表面電荷密度分布情況相符合。

圖3 電荷密度分布Fig.3 Distribution of charge density

圖4 電勢和電場強(qiáng)度分布Fig.4 Distribution of potential and electric field intensity

3 宏觀場增強(qiáng)因子計(jì)算研究

定義平均宏觀場增強(qiáng)因子βE為：

(9)

從式(9)可知，求解宏觀場增強(qiáng)因子需已知陰極表面電場分布，因此采用理論模型計(jì)算出陰極表面電場分布，并將其與Ansoft軟件模擬結(jié)果進(jìn)行比較(圖5)。從圖5可知，理論模型計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果符合得較好，且陰極表面電場分布強(qiáng)烈集中于陰極環(huán)的棱邊，與圖3、4所示分布規(guī)律相符。其中，最大電場是最小電場的7.2倍。

圖5 環(huán)形陰極表面電場分布Fig.5 Electric field distribution of annulus cathode surface

改變環(huán)形陰極二極管的結(jié)構(gòu)參數(shù)，計(jì)算出不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對應(yīng)的宏觀場增強(qiáng)因子，研究宏觀場增強(qiáng)因子隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化關(guān)系，結(jié)果如圖6所示。由圖6可知：1) 宏觀場增強(qiáng)因子由陰陽極間隙與陰極環(huán)寬之比(d/w)所決定，與陰極半徑無關(guān)，當(dāng)陰極半徑不同，但d/w相同時，則所對應(yīng)的宏觀場增強(qiáng)因子也相同；2) 宏觀場增強(qiáng)因子βE與d/w呈線性正相關(guān)，其擬合公式可表示為：

(10)

圖6 宏觀場增強(qiáng)因子變化規(guī)律Fig.6 Change law of macroscopic field enhancement factor

選取5種結(jié)構(gòu)參數(shù)的環(huán)形陰極二極管進(jìn)行模擬計(jì)算，將擬合結(jié)果和模擬結(jié)果進(jìn)行比較(表1)。比較結(jié)果表明，當(dāng)d/w<5時，擬合公式能較準(zhǔn)確地計(jì)算出環(huán)形陰極的宏觀場增強(qiáng)因子，相對誤差小于10%。

表1 宏觀場增強(qiáng)因子的擬合結(jié)果和模擬結(jié)果比較Table 1 Comparison between fitting βE and simulation βE

4 結(jié)論

在均勻帶電細(xì)圓環(huán)空間電勢分布理論公式的基礎(chǔ)上，建立了環(huán)形陰極二極管中電場強(qiáng)度分布的理論計(jì)算模型，研究了環(huán)形陰極宏觀場增強(qiáng)因子隨二極管結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律。計(jì)算結(jié)果表明，在d/w<5的情況下，環(huán)形陰極宏觀場增強(qiáng)因子與d/w呈線性關(guān)系，并給出了宏觀場增強(qiáng)因子的經(jīng)驗(yàn)估算公式，與數(shù)值模擬結(jié)果的相對誤差小于10%。該計(jì)算方法已應(yīng)用于軔致輻射反射三極管的束流損失特性研究中[17]，后續(xù)可為其他類型負(fù)載的環(huán)形陰極結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)優(yōu)化提供借鑒和參考。