徐龍飛，沈華韻，魏軍俠，曹良志，鄭友琦

(1.北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所，北京 100094；2.西安交通大學(xué)，陜西 西安 710049)

反應(yīng)堆堆外探測器可用于測量反應(yīng)堆功率分布，探測器的響應(yīng)函數(shù)表征了堆芯不同位置處單位強(qiáng)度裂變中子源對探測器讀數(shù)的貢獻(xiàn)。一般，堆外探測器響應(yīng)函數(shù)可通過正向計(jì)算或共軛計(jì)算兩種方式獲得。正向計(jì)算的基本思想是：重復(fù)在堆芯不同位置處設(shè)置單位強(qiáng)度裂變中子源，并通過正向輸運(yùn)計(jì)算得到堆外探測器靈敏區(qū)的中子注量率，最后將不同位置處的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行歸一化處理以得到探測器對各位置的響應(yīng)函數(shù)[1]。正向計(jì)算方法的思想簡單明了，但需對每個(gè)關(guān)心的區(qū)域單獨(dú)進(jìn)行輸運(yùn)計(jì)算，因此過程繁瑣且計(jì)算量巨大。共軛計(jì)算方法則通過在探測器位置處設(shè)置共軛源項(xiàng)，進(jìn)行1次共軛輸運(yùn)計(jì)算即可得到每個(gè)位置處的響應(yīng)函數(shù)[2]。共軛算法由于計(jì)算量小，在工程實(shí)際中得到了廣泛應(yīng)用。中國核動力研究設(shè)計(jì)院[3]、上海核工程研究設(shè)計(jì)院[1]、清華大學(xué)[4]、上海交通大學(xué)[5]、西安交通大學(xué)[6]等單位均基于共軛輸運(yùn)算法對堆外探測器響應(yīng)函數(shù)的計(jì)算展開了研究。目前，共軛輸運(yùn)計(jì)算主要采用SN方法和蒙特卡羅方法。SN方法具有計(jì)算速度快且可一次性獲得全局共軛通量的優(yōu)點(diǎn)，但射線效應(yīng)[7]嚴(yán)重影響了SN方法的計(jì)算精度。西安交通大學(xué)鄭友琦等[8]在利用二維綜合SN方法計(jì)算堆外探測器響應(yīng)函數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)射線效應(yīng)對不同組件響應(yīng)函數(shù)帶來的計(jì)算偏差可高達(dá)50%。蒙特卡羅方法具有良好的幾何適應(yīng)性且不存在射線效應(yīng)問題，但堆外探測器響應(yīng)函數(shù)計(jì)算屬于深穿透問題，蒙特卡羅方法要獲得可靠的計(jì)算結(jié)果需投入大量的粒子進(jìn)行模擬，因此計(jì)算效率較低[9]。

基于以上分析可發(fā)現(xiàn)，克服SN方法在共軛計(jì)算中的射線效應(yīng)問題對于改善堆外探測響應(yīng)函數(shù)的計(jì)算精度和計(jì)算效率具有重要的工程實(shí)際意義。本文基于首次碰撞源射線效應(yīng)消除方法[10]研究共軛輸運(yùn)計(jì)算中的射線效應(yīng)消除策略，并針對首次碰撞源方法在工程實(shí)際中應(yīng)用時(shí)所面臨的計(jì)算量大、內(nèi)存需求高等問題研究相應(yīng)的并行化計(jì)算方法與動態(tài)內(nèi)存管理方法。

1 堆外探測響應(yīng)函數(shù)的共軛計(jì)算方法

1.1 響應(yīng)函數(shù)定義

假定某堆外探測器靈敏區(qū)的中心位置為r0，靈敏區(qū)的有效體積為Vd，靈敏區(qū)對中子的響應(yīng)截面為σd，那么探測器靈敏區(qū)的響應(yīng)Rd可表示成：

(1)

現(xiàn)考慮在堆芯活性區(qū)ri位置處有一各向同性的單位強(qiáng)度裂變中子源，由該位置處裂變產(chǎn)生的中子到達(dá)堆外探測器靈敏區(qū)的中子通量密度記為ψi(r,E,Ω)，那么由ri位置處裂變產(chǎn)生的中子對探測器響應(yīng)的貢獻(xiàn)可寫成：

Rd(ri→r0)=

(2)

一般，探測器的讀數(shù)是探測器對堆芯功率分布的響應(yīng)，即：

(3)

其中：P(r)為堆芯三維功率分布；V為堆芯活性區(qū)的體積；W(r)為探測器對功率的空間響應(yīng)函數(shù)。根據(jù)反應(yīng)堆功率與中子通量密度之間的關(guān)系，探測器的空間響應(yīng)函數(shù)可表示為：

(4)

1.2 共軛輸運(yùn)方程

為簡明表達(dá)，首先定義如下內(nèi)積算符：

(5)

現(xiàn)以σd(r,E)為共軛源，則共軛輸運(yùn)方程可寫成如下形式：

L*ψ*(r,E,Ω)=σd(r,E)δ(r-r0)

(6)

其中，L*為共軛輸運(yùn)算子。式(2)中的ψi(r,E,Ω)需滿足如下正向輸運(yùn)方程：

(7)

其中：δ為狄拉克算符；χ(E)為裂變譜。根據(jù)共軛輸運(yùn)方程的性質(zhì)[11]：

〈ψ*Lψ〉=〈ψL*ψ*〉

(8)

可推導(dǎo)出：

(9)

其中，φ*為共軛標(biāo)通量。因此，只需知道堆芯的共軛標(biāo)通量分布和裂變譜并結(jié)合式(4)與式(9)便可計(jì)算出探測器的響應(yīng)函數(shù)。

2 共軛輸運(yùn)射線效應(yīng)消除理論

2.1 共軛首次碰撞源方法

系統(tǒng)中任一位置處的粒子均可看成由兩部分組成：一部分是由源項(xiàng)發(fā)射出來未經(jīng)碰撞而直接到達(dá)該位置處的；另一部分則是由非源項(xiàng)位置散射到該位置處的[12]。依據(jù)這個(gè)原則，共軛通量可表示成：

(10)

將式(10)代入共軛輸運(yùn)方程中可得：

(11)

(12)

(13)

(14)

由于式(12)不包含散射源項(xiàng)，因此可解析求解。當(dāng)共軛外源為各向同性時(shí)，式(12)的解析解可表示為：

(15)

(16)

其中：rp為未碰撞共軛源所在位置；-Ω為從位置r到rp的方向向量。將式(15)求得的未碰撞共軛通量代入式(13)，并作為已知共軛散射源項(xiàng)，即可求解出碰撞共軛通量，最后將兩部分相加即可得到真實(shí)共軛通量。

2.2 快速徑跡追蹤方法

在求解未碰撞共軛通量時(shí)，需計(jì)算總截面沿追蹤路徑的積分τ。而τ的計(jì)算需對每條從點(diǎn)源到網(wǎng)格點(diǎn)的射線進(jìn)行追蹤，求出射線依次與每個(gè)網(wǎng)格的相交長度。為快速求解τ，本文研究了射線與網(wǎng)格相交的幾何關(guān)系(圖1)。對于方向?yàn)棣?μ,η,ξ)的某射線，它必從網(wǎng)格的某個(gè)面穿出，穿出面取決于網(wǎng)格寬度在射線上投影長度的大小。當(dāng)射線從X面穿出時(shí)，則必有|OA|<|OB|成立，即Δx/μ<δz/ξ(圖1a)。同理，當(dāng)射線從Y面穿出時(shí)，則必有Δy/η<Δz/ξ成立(圖1b)。而當(dāng)射線從Z面穿出時(shí)，有Δz/ξ<Δx/μ成立(圖1c)。因此，只需求出(Δx/μ,Δy/η,Δz/ξ)中的最小值就可判斷射線將從哪個(gè)網(wǎng)格面穿出，而射線與網(wǎng)格的相交弦長也可通過網(wǎng)格各方向的寬度在射線上的投影求得。

2.3 并行化計(jì)算方法與動態(tài)內(nèi)存管理

式(15)與(16)的求解是相互獨(dú)立的，因此具有天生的并行性。采用空間區(qū)域分解的方式對未碰撞共軛通量的求解進(jìn)行并行化。以圖2所示的二維網(wǎng)格為例，在左下角網(wǎng)格中心處放置1個(gè)共軛外源，現(xiàn)假定對該二維網(wǎng)格做2×2空間區(qū)域分解。那么，每個(gè)核只需計(jì)算各自子區(qū)內(nèi)對應(yīng)網(wǎng)格角點(diǎn)的未碰撞共軛角通量，同時(shí)每個(gè)核仍需保存全局網(wǎng)格的材料號以及所有材料的總截面。圖2中的實(shí)網(wǎng)格即為每個(gè)核對應(yīng)的子區(qū)域，虛網(wǎng)格即為每個(gè)核需額外存儲的網(wǎng)格材料號和每種材料的總截面。本文采用MPI[13]對首次碰撞源進(jìn)行并行計(jì)算，當(dāng)式(15)求解結(jié)束時(shí)，存儲全局網(wǎng)格材料號和每種材料總截面所占用的內(nèi)存立即釋放。

圖1 射線與網(wǎng)格相交的幾何關(guān)系Fig.1 Geometry relationship between tracer and computational mesh

圖2 并行計(jì)算區(qū)域分解示意圖Fig.2 Spatial domain decomposition in parallel calculation

由于τ與點(diǎn)源數(shù)、網(wǎng)格數(shù)以及能群數(shù)相關(guān)，其所需要的存儲是巨大的。假設(shè)某一問題的網(wǎng)格數(shù)為6×106、點(diǎn)源數(shù)為50、能群數(shù)為50，τ的類型為雙精度浮點(diǎn)數(shù)，那么其所需的內(nèi)存約為：

6×106×50×50×8byte≈112G

(17)

若不進(jìn)行射線效應(yīng)消除，即便散射源的展開階數(shù)為P3，存儲通量矩所需的內(nèi)存也僅為：

6×106×50×(3+1)2×8byte≈36G

(18)

因此，進(jìn)行射線效應(yīng)修正所需的計(jì)算內(nèi)存至少為148G。隨著外源數(shù)量的增多，所需內(nèi)存將線性增加。個(gè)人計(jì)算機(jī)和中、小型工作站通常難以滿足這樣的內(nèi)存需求。觀察式(15)可發(fā)現(xiàn)，每個(gè)τ在計(jì)算完對應(yīng)的未碰撞共軛通量后就不會再被使用?；谶@一特性，本文在并行計(jì)算時(shí)計(jì)算出每個(gè)核存儲τ所需的內(nèi)存，當(dāng)每個(gè)核的τ內(nèi)存需求大于1G時(shí)，便以二進(jìn)制格式將其并行寫入磁盤中，待到需使用時(shí)再以并行方式讀入到內(nèi)存。由于每個(gè)τ只需讀寫1次，因此不會消耗大量的時(shí)間?；谶@樣的內(nèi)存管理，程序?qū)⒕邆漭^好的魯棒性。

3 Kori-1壓水堆探測器響應(yīng)函數(shù)計(jì)算

3.1 模型簡介

Kori-1是由西屋公司設(shè)計(jì)的壓水堆[14]，共含有121盒燃料組件，組件寬度約19.41 cm，堆芯活性區(qū)的直徑和高度分別約250.00 cm和365.76 cm。Kori-1的整體結(jié)構(gòu)[6]如圖3所示，4對BF3探測器分別布置在1/8對稱線上的堆腔處，每對探測器由上、下兩個(gè)完全相同的圓柱形探測器組成，探測器中軸線距堆芯中心點(diǎn)的距離約211.93 cm，探測器半徑約3.90 cm，單根探測器的高度約150.49 cm，每根探測器的外壁上均涂有0.07 cm厚的鋁層。

圖3 Kori-1的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Configuration of Kori-1

由于該堆沿x軸和y軸對稱，因此只需計(jì)算1/4堆芯即可?；谖墨I(xiàn)[8]采用二維SN程序DORT[15]對該問題所作的角度空間網(wǎng)格敏感性分析的結(jié)果，本文在計(jì)算時(shí)采用了S16全對稱求積組，空間網(wǎng)格劃分為174×174×192。文獻(xiàn)[8]將BUGLE-96數(shù)據(jù)庫[16]的p1截面轉(zhuǎn)化為MCNP的多群截面，并將整個(gè)堆芯活性區(qū)沿軸向分成16層，利用多群MCNP統(tǒng)計(jì)了每層上燃料組件的共軛通量密度，同時(shí)給出了第2、5、9層的堆外探測器響應(yīng)函數(shù)。為使計(jì)算結(jié)果具有可比性，本文也采用了BUGLE-96數(shù)據(jù)庫的p1截面，同時(shí)給出了相應(yīng)燃料層的響應(yīng)函數(shù)計(jì)算結(jié)果。

3.2 結(jié)果分析

本文首先以1對上、下對稱的堆外探測器為共軛源，分別采用三維SN方法(SN)、首次碰撞源修正SN方法(SN-FC)以及多群蒙特卡羅方法(MCNP)對其進(jìn)行共軛輸運(yùn)計(jì)算，并比較圖4a中所示的A、B以及C組件的軸向共軛通量密度分布，結(jié)果分別如圖5、6、7所示。當(dāng)以1對探測器為共軛源時(shí)，堆芯中平面的共軛通量密度最大，此時(shí)SN、SN-FC的計(jì)算結(jié)果與MCNP的偏差也達(dá)到最大。SN-FC的計(jì)算結(jié)果相對于SN的計(jì)算結(jié)果均有所改善，距探測器越遠(yuǎn)的組件改善效果越明顯。

圖4 組件排布示意圖(a)及單個(gè)探測器下由MCNP程序計(jì)算所得的各層燃料區(qū)域的歸一化響應(yīng)函數(shù)值(b)Fig.4 Lattices distribution (a) and normalized response function value obtained by MCNP code (b)

圖5 A組件軸向共軛通量密度分布Fig.5 Axial adjoint flux density distribution of lattice A

圖6 B組件軸向共軛通量密度分布Fig.6 Axial adjoint flux density distribution of lattice B

圖7 C組件軸向共軛通量密度分布Fig.7 Axial adjoint flux density distribution of lattice C

以上部探測器為共軛源，SN-FC和SN計(jì)算得到的第2、5、9層燃料區(qū)(距堆芯活性區(qū)中平面的高度分別為148.59、80.01、11.43 cm)歸一化響應(yīng)函數(shù)值如圖8所示。以文獻(xiàn)[8]的計(jì)算結(jié)果(圖4b)為參考解，圖9示出了SN-FC和SN兩種方法在第2、5、9層燃料區(qū)中歸一化響應(yīng)函數(shù)值大于0.000 01的各區(qū)計(jì)算偏差。對于圖4a中紅色外圍組件，SN-FC和SN的最大計(jì)算偏差分別為5.21%與19.91%，SN-FC的計(jì)算精度有了明顯的提高。共軛SN方法的誤差主要來源于射線效應(yīng)和輸運(yùn)方程的離散化，SN-FC方法能有效消除射線效應(yīng)所帶來的誤差。同時(shí)，SN-FC方法在求解未碰撞通量時(shí)需將體源轉(zhuǎn)化為點(diǎn)源，這一過程也會引入相應(yīng)的誤差。但堆芯活性區(qū)距堆外探測器較遠(yuǎn)，點(diǎn)源近似引入的誤差幾乎可忽略。另外，由于蒙特卡羅方法的統(tǒng)計(jì)漲落，在對稱排布的組件上，MCNP的計(jì)算結(jié)果并不完全相等，而SN-FC和SN的計(jì)算結(jié)果在對稱組件上完全相等。因此，圖9中每一燃料區(qū)的計(jì)算偏差均是對稱燃料區(qū)取代數(shù)平均后的結(jié)果。計(jì)算過程中，SN-FC和SN均采用72核并行，計(jì)算時(shí)間分別為20.65 min和14.07 min。MCNP在36核下的計(jì)算時(shí)間為2 731.02 min，SN-FC的計(jì)算效率約為MCNP的66倍。

圖8 SN-FC與SN計(jì)算所得的歸一化響應(yīng)函數(shù)值Fig.8 Normalization response function value obtained by SN-FC and SN

圖9 歸一化響應(yīng)函數(shù)值大于0.000 01的各燃料區(qū)的計(jì)算偏差Fig.9 Calculation deviation of fuel regions with normalization response function value of higher than 0.000 01

圖10示出了A組件各群共軛通量的MCNP統(tǒng)計(jì)誤差，從圖10可看出，隨著能量的降低，MCNP的統(tǒng)計(jì)誤差越來越大。圖11示出了A組件各群共軛通量占總共軛通量的比值，隨著能量的降低，各群比值近似呈指數(shù)衰減。這主要是因?yàn)橹凶拥哪芰吭降?，越難以到達(dá)堆外探測器靈敏區(qū)。另外，前10群的共軛通量之和占據(jù)總共軛通量的95.60%，而A組件前10群的共軛通量在第1層和第8層的統(tǒng)計(jì)誤差均在3%以內(nèi)，因此，可認(rèn)為MCNP的計(jì)算結(jié)果是可靠的。SN-FC對A組件的響應(yīng)函數(shù)的計(jì)算偏差略大于MCNP的統(tǒng)計(jì)誤差，而SN方法對A組件響應(yīng)函數(shù)的計(jì)算偏差則遠(yuǎn)大于MCNP的統(tǒng)計(jì)誤差，進(jìn)一步表明射線效應(yīng)嚴(yán)重影響堆外探測器響應(yīng)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果。

圖10 MCNP程序?qū)組件各群共軛通量的統(tǒng)計(jì)誤差Fig.10 MCNP code’s statistical fluctuations of each group adjoint flux for lattice A

圖11 A組件各群共軛通量占總共軛通量的比值Fig.11 Ratios of each group adjoint flux over total adjoint flux

4 結(jié)論

本文基于共軛首次碰撞源射線效應(yīng)修正的三維SN方法計(jì)算了韓國Kori-1壓水堆的堆外探測器響應(yīng)函數(shù)，計(jì)算結(jié)果表明：射線效應(yīng)嚴(yán)重降低了傳統(tǒng)三維SN方法對堆芯活性區(qū)響應(yīng)函數(shù)的計(jì)算精度。以MCNP的計(jì)算結(jié)果為參考解，SN-FC方法相比于傳統(tǒng)SN方法有效地改善了壓水堆堆外探測器響應(yīng)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果，SN-FC方法對外圍組件探測器響應(yīng)函數(shù)的計(jì)算偏差均在6%以內(nèi)，同時(shí)SN-FC方法的計(jì)算效率相對于MCNP提高了66倍。SN-FC方法對于工程實(shí)際中的堆外探測器響應(yīng)函數(shù)計(jì)算具有重要意義。此外，本文提出的動態(tài)內(nèi)存管理方法與并行化算法，有效解決了首次碰撞源方法在大規(guī)模問題中的內(nèi)存需求與計(jì)算效率問題，相比于未做射線效應(yīng)修正的SN方法，計(jì)算效率只降低了46%。