董曼紅，胡正根，劉觀日，李 斌，阮小鵬

（北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076）

0 引 言

貯箱作為貯存燃料的部段，同時(shí)又承受軸向載荷，在火箭設(shè)計(jì)中起到至關(guān)重要的作用。貯箱由前短殼、前底、筒段、后底和后短殼組成，前底、筒段和后底焊接成一個(gè)封閉的容器用來(lái)貯存燃料，與前后短殼焊接，再通過(guò)前后短殼與相鄰部段連接[1]。

本文對(duì)正置正交網(wǎng)格及等邊三角形網(wǎng)格加筋殼筒段在不同直徑和內(nèi)壓的承載能力進(jìn)行分析，得出工程計(jì)算方法以及計(jì)算結(jié)果分析。

1 不同網(wǎng)格加筋殼在運(yùn)載火箭上的應(yīng)用

因?yàn)榛鸺Y(jié)構(gòu)的特點(diǎn)和載荷方式，貯箱筒段會(huì)受到內(nèi)壓、軸向力和彎矩的作用。在貯箱設(shè)計(jì)中，會(huì)對(duì)載荷進(jìn)行綜合分析來(lái)確定貯箱筒段的設(shè)計(jì)載荷，以?xún)?nèi)壓作為設(shè)計(jì)載荷時(shí)，筒段會(huì)采用光筒結(jié)構(gòu)形式；以軸壓為設(shè)計(jì)載荷，筒段會(huì)采用網(wǎng)格形式。

目前國(guó)外常用的網(wǎng)格形式主要有正置正交、斜置正交和正置等邊三角形網(wǎng)格等。20世紀(jì)70年代美國(guó)麥道宇航公司針對(duì)正置正交網(wǎng)格加筋殼結(jié)構(gòu)的抗扭剛度低、斜置正交加筋殼結(jié)構(gòu)的軸壓剛度低等缺點(diǎn)，率先提出了正置等邊三角形網(wǎng)格加筋殼結(jié)構(gòu)，其后世界各國(guó)開(kāi)始研究和應(yīng)用正置等邊三角形加筋殼體，例如美國(guó)德?tīng)査?、宇宙神5火箭，歐洲阿里安5和日本H2系列運(yùn)載火箭貯箱均廣泛采用三角形網(wǎng)格加筋結(jié)構(gòu)。目前，Φ5 m直徑及以下的國(guó)外普遍采用正置等邊三角形網(wǎng)格，Φ9 m級(jí)左右的網(wǎng)格加筋殼普遍采用正置正交網(wǎng)格加筋殼。

中國(guó)運(yùn)載火箭設(shè)計(jì)中，以軸壓為設(shè)計(jì)載荷的筒段，傳統(tǒng)型號(hào)一般采用化銑的斜置正交結(jié)構(gòu)，隨著技術(shù)的發(fā)展，在新型運(yùn)載火箭設(shè)計(jì)中，為了提高結(jié)構(gòu)承載效率，降低結(jié)構(gòu)質(zhì)量，火箭貯箱殼段網(wǎng)格加筋殼的選擇主要集中在正置正交網(wǎng)格殼和等邊三角形網(wǎng)格殼[1,2]。

為了給貯箱筒段設(shè)計(jì)提供正確的設(shè)計(jì)依據(jù)，需要對(duì)正置正交網(wǎng)格殼和等邊三角形網(wǎng)格殼進(jìn)行計(jì)算方法的確認(rèn)以及分析。貯箱及筒段結(jié)構(gòu)如圖1、2所示。

圖1 貯箱結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Tank Structure

圖2 筒段結(jié)構(gòu)示意Fig.2 Tube Structure

2 不同網(wǎng)格加筋殼承載能力計(jì)算方法

2.1 計(jì)算方法

等效剛度法（Equivalent Stiffness Method，ESM）是一種針對(duì)加筋筒殼結(jié)構(gòu)的解析等效方法，是傳統(tǒng)的加筋筒殼結(jié)構(gòu)抹平方法，對(duì)于加筋單胞構(gòu)型復(fù)雜的情況難以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確解析公式，而且筋條只能承受軸向載荷的假設(shè)導(dǎo)致其分析結(jié)果誤差較大。針對(duì)軸內(nèi)壓工況網(wǎng)格加筋筒殼，為了獲得高效率、高精度的承載能力工程計(jì)算方法，通過(guò)商業(yè)軟件實(shí)現(xiàn)的快速數(shù)值求解方法—漸近均勻化方法（Novel Numerical Imрlementation of Asymрtotic Homogenization Method, NIAH），在計(jì)算三維和二維周期性微結(jié)構(gòu)的材料等效性質(zhì)方面已經(jīng)具有成熟的理論和算法，計(jì)算方法的有效性已被蔡園武和程耿東等人驗(yàn)證[4]。本文采用漸近均勻化方法作為工程計(jì)算方法，對(duì)網(wǎng)格加筋殼筒段進(jìn)行分析計(jì)算。這種計(jì)算方法針對(duì)于加筋筒殼結(jié)構(gòu)，計(jì)算流程為：

a）從加筋筒殼中劃分出代表性單胞結(jié)構(gòu)，建立其有限元模型；

b）基于漸近均勻化方法計(jì)算單胞結(jié)構(gòu)的等效剛度系數(shù)Aij、Bij和Dij；

c）將上述等效剛度系數(shù)代入瑞利-里茲公式，計(jì)算得出整體型屈曲載荷值和屈曲模態(tài)波數(shù)。

傳統(tǒng)計(jì)算方法[5]計(jì)算A、B、D矩陣是簡(jiǎn)化后的計(jì)算結(jié)果，而這種快速數(shù)值求解方法利用有限元強(qiáng)大的計(jì)算程序。把網(wǎng)格按照循環(huán)對(duì)稱(chēng)劃分，只精確計(jì)算局部單胞的A、B、D矩陣，再代入工程計(jì)算，優(yōu)點(diǎn)有：a）A、B、D矩陣精確；b）適合各種循環(huán)網(wǎng)格，可以把正置正交網(wǎng)格、豎三角形網(wǎng)格和橫三角形網(wǎng)格合成集合計(jì)算，同時(shí)可以計(jì)算筋條不等寬的網(wǎng)格加筋殼的承載能力。

2.2 快速數(shù)值求解方法精度驗(yàn)證

2.2.1 算例驗(yàn)證

以典型豎置三角網(wǎng)格加筋殼為例，驗(yàn)證這種計(jì)算方法的精度。模型幾何參數(shù)如下：網(wǎng)格加筋殼直徑為Φ4000 mm，網(wǎng)格加筋殼高度L=6000 mm，蒙皮厚度ts=5.5 mm，壁板高度H=50 mm，筋條寬度tw=13 mm，筋條間距bs=135 mm。基于商用軟件AВAQUS建立網(wǎng)格加筋殼有限元模型，采用四節(jié)點(diǎn)殼體減縮積分單元S4R進(jìn)行離散，蒙皮處的單元尺寸選為50 mm，筋條高度方向劃分兩個(gè)單元。設(shè)置簡(jiǎn)支邊界條件，并基于子空間法計(jì)算線性屈曲載荷。有限元算法所得失穩(wěn)波形如圖3所示，快速數(shù)值求解方法、線性有限元方法和等效剛度法的承載力計(jì)算結(jié)構(gòu)的對(duì)比如表1所示。

圖3 整體失穩(wěn)示意Fig.3 Вucking Instability

表1 失穩(wěn)模式及計(jì)算時(shí)間對(duì)比Tab.1 Table of Instability Mode and Calculation Time

由表1可知，針對(duì)該模型，有限元法計(jì)算耗時(shí)960.37 s，得出的屈曲載荷為146 834 kN，環(huán)向半波數(shù)為9，縱向半波數(shù)為4；快速屈曲分析方法耗時(shí)21.92 s，計(jì)算得出的屈曲載荷為152 572 kN，其相較于有限元法的等效誤差為3.76%，環(huán)向半波數(shù)為9，縱向半波數(shù)為4；采用等效剛度分析方法耗時(shí)3.18 s，計(jì)算得出的屈曲載荷為157 029 kN，其相較于有限元法的等效誤差為6.94%，環(huán)向半波數(shù)為10，縱向半波數(shù)為2。

對(duì)比這 3種算法可知：快速數(shù)值求解方法相較于有限元方法，屈曲載荷計(jì)算結(jié)果僅差 3.76%（等效剛度分析方法等效誤差為 6.94%），計(jì)算效率提高了 44倍，同時(shí)捕捉到軸向屈曲半波數(shù)與環(huán)向屈曲半波數(shù)與有限元結(jié)果相同；快速數(shù)值求解方法相較于等效剛度法，計(jì)算精度更高，同時(shí)捕捉到的軸向屈曲半波數(shù)與環(huán)向屈曲半波數(shù)更精準(zhǔn)。

快速數(shù)值求解方法與傳統(tǒng)的等效剛度法的等效剛度陣中的A陣基本一樣，B陣和D陣相差較大。這是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的等效剛度法對(duì)筋條進(jìn)行等效，難以準(zhǔn)確描述筋條與蒙皮之間的耦合關(guān)系?？焖贁?shù)值求解方法與傳統(tǒng)等效剛度法的A、B、D陣誤差分析如表2所示。

表2 快速數(shù)值求解方法與傳統(tǒng)等效剛度法的ABD陣誤差分析Tab.2 AВD Matrix Error of NIAH and ESM

2.2.2 樣本比較

針對(duì)數(shù)值模型的設(shè)計(jì)變量，抽取 100個(gè)采樣點(diǎn)計(jì)算，運(yùn)用快速數(shù)值方法和等效剛度法對(duì)其進(jìn)行計(jì)算，快速數(shù)值求解方法較有限元方法的相對(duì)誤差均在 10%以?xún)?nèi)，其中81個(gè)樣本點(diǎn)的相對(duì)誤差在5%以?xún)?nèi)；等效剛度法較有限元方法有94個(gè)樣本點(diǎn)的相對(duì)誤差在10%以?xún)?nèi)，有6個(gè)采樣點(diǎn)的相對(duì)誤差超過(guò)10%，最大誤差可達(dá)40.23%。說(shuō)明快速數(shù)值求解方法更能準(zhǔn)確地計(jì)算網(wǎng)格加筋殼的承載能力，可以用于新型運(yùn)載火箭中貯箱筒段的設(shè)計(jì)。

3 不同網(wǎng)格加筋殼直徑和內(nèi)壓對(duì)承載能力的影響

3.1 不同網(wǎng)格加筋殼算例確定

網(wǎng)格加筋殼優(yōu)化條件為：a）彈性模量E=68 246 MPa，泊松比υ=0.33，屈服強(qiáng)度σs=363 MPa，極限強(qiáng)度σb=435 MPa，密度ρ=2.7×103kg/m3；b）載荷為純軸壓載荷；c）直徑為Φ9500 mm。

快速數(shù)值求解方法的優(yōu)化目標(biāo)：筒段長(zhǎng)度12 000 mm，質(zhì)量8000 kg左右，承載能力最大。有限元分析方法的優(yōu)化目標(biāo)：筒段長(zhǎng)度12 000 mm，質(zhì)量14 700 kg左右，承載能力最大。網(wǎng)格加筋殼的優(yōu)化結(jié)果如表3、4所示，后文的計(jì)算結(jié)果均基于這組網(wǎng)格參數(shù)。

表3 正交正置網(wǎng)格優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Oрtimization Results of Orthogonal Mesh

表4 等邊三角形網(wǎng)格優(yōu)化結(jié)果Tab.4 Oрtimization Results of Eрuilateral Triangular Mesh

3.2 快速分析方法計(jì)算結(jié)果

正交正置網(wǎng)格筒段各個(gè)直徑筒段在網(wǎng)格參數(shù)相同的情況下，純軸壓作用下，承載能力相當(dāng)，直徑關(guān)系不大；內(nèi)壓對(duì)承載力有好處，內(nèi)壓越大，承載能力越大，而且隨著直徑減小，內(nèi)壓的好處隨著減小。

三角形網(wǎng)格筒段在純軸壓載荷作用下，豎置三角型網(wǎng)格筒段相對(duì)橫置三角形網(wǎng)格筒段有優(yōu)勢(shì)，但是優(yōu)勢(shì)不大；在網(wǎng)格參數(shù)相同的情況下，內(nèi)壓和直徑對(duì)承載能力影響不大，與純軸壓承載能力相當(dāng)。

3.3 有限元分析結(jié)果

a）模型說(shuō)明。

貯箱包括前后底、筒段和前后短殼，筒段只是貯箱的一部分，為了準(zhǔn)確模擬邊界條件，有限元模型由前后底、前后短殼和筒段組成。筒段作為關(guān)鍵模型，高度為12000 mm；前后短殼高500 mm，前后底為橢球結(jié)構(gòu)，短殼和前后底給出足夠剛度，保證不先與筒段失穩(wěn)，筒段材料為鋁合金2219。

b）模型邊界條件。

有限元模型為4節(jié)點(diǎn)殼單元（單元節(jié)點(diǎn)有3個(gè)平動(dòng)自由度和3個(gè)轉(zhuǎn)角自由度），采用顯式動(dòng)力學(xué)對(duì)筒殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性后屈曲分析。

軸壓作用時(shí)，約束下端面所有自由度和上端面除軸向外的其他5個(gè)自由度；內(nèi)壓和軸壓作用時(shí)，約束下端面所有自由度和上短殼除軸向其他5個(gè)自由度，內(nèi)壓和軸壓分兩個(gè)步驟施加：a）施加內(nèi)壓，內(nèi)壓初步取 0.1 MPa；b）以位移的形式施加軸壓，總位移為120 mm，根據(jù)軸壓時(shí)筒殼力位移曲線獲得網(wǎng)格加筋筒殼結(jié)構(gòu)的極限承載力，從而計(jì)算得到承載效率。

c）結(jié)果分析。

正交正置網(wǎng)格筒段：在網(wǎng)格參數(shù)相同的情況下，純軸壓作用下，承載能力隨直徑的減小而減??；直徑不大于Φ3350 mm時(shí)，內(nèi)壓對(duì)承載能力幾乎沒(méi)有影響；直徑大于Φ3350 mm時(shí)，承載能力隨內(nèi)壓的增加先增加后減小，直徑不小于Φ7000 mm時(shí)，下降速度加快；快速分析方法計(jì)算中給的是整體失穩(wěn)，所以失穩(wěn)載荷幾乎不變，而有限元中給的是蒙皮筋條整體先失穩(wěn)的載荷，隨直徑增加而增大，與前文分析一致。

三角形網(wǎng)格筒段，豎置和橫置變化趨勢(shì)一致：在網(wǎng)格參數(shù)相同的情況下，純軸壓作用下，承載能力隨直徑的減小而減小；當(dāng)直徑不大于Φ3350 mm時(shí)，內(nèi)壓對(duì)承載能力幾乎沒(méi)有影響；當(dāng)直徑大于 Φ3350 mm時(shí)，承載能力隨內(nèi)壓得增加而下降，當(dāng)直徑不小于Φ7000 mm時(shí)，下降速度加快；三角形網(wǎng)格與正交正置網(wǎng)格筒段相比較，除正交正置網(wǎng)格筒段在直徑大于Φ3350 mm時(shí)隨著內(nèi)壓增加有一段先升后降的趨勢(shì)外，其余變化趨勢(shì)一致，而這個(gè)內(nèi)壓在0～0.3 MPa之間。

3.4 直徑和內(nèi)壓對(duì)不同網(wǎng)格加筋殼承載能力的影響

3.4.1 純軸壓作用

工程計(jì)算結(jié)構(gòu)承載能力與直徑關(guān)系不大，而有限元與直徑關(guān)系密切，這是因?yàn)椋篴）工程計(jì)算中計(jì)算結(jié)果是總體失穩(wěn)載荷，而有限元計(jì)算的是整體失穩(wěn)載荷、蒙皮失穩(wěn)載荷、筋條失穩(wěn)載荷的最小值。有限元模型Φ9500 mm直徑，對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，整體先失穩(wěn)，蒙皮和筋條后失穩(wěn)，而隨著直徑的減小，網(wǎng)格參數(shù)沒(méi)有變化，導(dǎo)致蒙皮和筋條先失穩(wěn)，這樣，隨著直徑的減小，承載能力減??；b）工程計(jì)算是線性計(jì)算，而有限元給的是非線性計(jì)算結(jié)果。

為此，選取正交正置網(wǎng)格筒段進(jìn)行各個(gè)直徑下的承載能力計(jì)算：a）利用快速分析方法計(jì)算整體失穩(wěn)載荷、蒙皮失穩(wěn)載荷、筋條失穩(wěn)載荷。在網(wǎng)格參數(shù)不變的情況下，整體失穩(wěn)載荷隨直徑變化不大，而蒙皮和筋條失穩(wěn)載荷隨直徑的減小而減小。取最小承載能力后，結(jié)果與有限元結(jié)果趨勢(shì)一致。b）對(duì)相同網(wǎng)格參數(shù)進(jìn)行有限元的線性計(jì)算，當(dāng)直徑大于Φ6000 mm時(shí)，工程方法與線性有限元法的結(jié)果基本相同；當(dāng)直徑在Φ3350～5000 mm之間，計(jì)算結(jié)果相差10%以?xún)?nèi)；當(dāng)直徑小于Φ3350 mm時(shí)，相差較大。這是因?yàn)楦鱾€(gè)直徑下，筒殼長(zhǎng)一致保持12 m，直徑過(guò)小會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)由中長(zhǎng)殼變?yōu)殚L(zhǎng)殼而使結(jié)果不夠準(zhǔn)確，這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)更改模型長(zhǎng)度解決。c）結(jié)果進(jìn)一步證明，快速分析方法應(yīng)用于初步設(shè)計(jì)是合理的，大直徑加筋殼筒段更適合這種快速分析方法。

3.4.2 軸壓和內(nèi)壓聯(lián)合作用

正置正交網(wǎng)格網(wǎng)格加筋殼筒段快速數(shù)值求解方法計(jì)算結(jié)果是：內(nèi)壓對(duì)軸壓承載能力有好處，直徑越大，好處越大；有限元計(jì)算當(dāng)直徑小于等于Φ3350 mm時(shí)，內(nèi)壓對(duì)承載能力幾乎沒(méi)有影響，直徑大于Φ3350 mm時(shí)，承載能力隨內(nèi)壓的增加先增加后減小；在小內(nèi)壓大直徑時(shí)，工程計(jì)算和有限元計(jì)算結(jié)果變化趨勢(shì)一致。

三角形網(wǎng)格加筋殼筒段，豎置和橫置三角形網(wǎng)格變化趨勢(shì)一致?？焖俜治龇椒ㄓ?jì)算結(jié)果是：內(nèi)壓和直徑對(duì)承載能力影響不大，與純軸壓承載能力相當(dāng)；有限元分析結(jié)果是當(dāng)直徑小于等于Φ3350 mm時(shí)，內(nèi)壓對(duì)承載能力幾乎沒(méi)有影響，當(dāng)直徑大于Φ3350 mm時(shí)，承載能力隨內(nèi)壓得增加而下降，當(dāng)直徑大于等于Φ7000 mm 時(shí)，下降速度加快；也就是說(shuō)，在小直徑時(shí)，工程計(jì)算和有限元計(jì)算結(jié)果變化趨勢(shì)一致。

為了比較兩種計(jì)算方法計(jì)算結(jié)果，確保計(jì)算結(jié)果正確。對(duì)Φ9500 mm直徑下的正置正交網(wǎng)格加筋殼筒段進(jìn)行線性有限元計(jì)算，并與快速數(shù)值求解方法進(jìn)行比較，如圖4所示。

圖4 正置正交網(wǎng)格快速分析方法和線性有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.4 Load-bearing Ability of Orthogonal Grid NIAH and Linear Finite Element

由圖4可知，有限元線性計(jì)算結(jié)果與工程計(jì)算結(jié)果變化一致。因?yàn)樵诩冚S壓下結(jié)構(gòu)已發(fā)生塑性失穩(wěn)，隨著內(nèi)壓增加，內(nèi)壓帶來(lái)的初始應(yīng)力越大，快速分析方法只能考慮線性屈曲，無(wú)法識(shí)別非線性塑性失穩(wěn)，導(dǎo)致兩種方法對(duì)規(guī)律總結(jié)不一致。因此建議采用快速數(shù)值求解方法確認(rèn)結(jié)構(gòu)初步網(wǎng)格參數(shù)，根據(jù)各工況設(shè)計(jì)載荷進(jìn)行非線性有限元計(jì)算復(fù)核結(jié)構(gòu)承載能力。

3.5 扭矩對(duì)不同網(wǎng)格加筋殼承載能力的影響

正置正交網(wǎng)格及等邊三角形網(wǎng)格加筋殼承載力隨扭矩的變化如圖5所示。在扭矩逐漸增大的過(guò)程中，加筋筒的承載力都在減?。徽谜痪W(wǎng)格承載能力直線下降，等邊三角形網(wǎng)格加筋殼筋殼在小于 20 kN·m時(shí)，下降緩慢。因此，在扭距小于20 kN·m時(shí)，推薦采用三角形網(wǎng)格加筋殼設(shè)計(jì)。

圖5 網(wǎng)格加筋筒承載力隨扭矩的影響Fig.5 Load-bearing Ability of Grid Reinforced Shell with Rejection

3.6 不同網(wǎng)格加筋殼承載能力比較

網(wǎng)格參數(shù)是在純軸壓Φ9500 mm直徑下進(jìn)行優(yōu)化的，因此，對(duì)Φ9500 mm直徑3種網(wǎng)格的承載能力進(jìn)行數(shù)值分析?？焖贁?shù)值求解方法計(jì)算結(jié)果和有限元計(jì)算結(jié)果都表明：純軸壓作用下，三角形網(wǎng)格加筋承載力優(yōu)于正置正交網(wǎng)格加筋筒，其中豎置等邊三角形網(wǎng)格加筋殼承載效率稍?xún)?yōu)于橫置等邊三角網(wǎng)格加筋筒的承載效率。但根據(jù)有限元計(jì)算，正置正交網(wǎng)格加筋殼在小內(nèi)壓作用下，承載能力會(huì)有較小的增加，而等邊三角形網(wǎng)格加筋殼承載能力下降，因此，小內(nèi)壓作用下，正置正交網(wǎng)格及等邊三角形網(wǎng)格加筋殼承載能力的大小，還需要根據(jù)具體載荷進(jìn)行進(jìn)一步的確認(rèn)。

4 結(jié) 論

為了對(duì)大直徑貯箱筒段工程計(jì)算方法進(jìn)行確認(rèn)分析，本文對(duì)正置正交網(wǎng)格及等邊三角形網(wǎng)格加筋殼筒段計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析研究，分析了直徑和內(nèi)壓對(duì)網(wǎng)格筒段承載能力的影響：a）直徑小于等于Φ3350 mm，工程計(jì)算采用線性計(jì)算：正置正交網(wǎng)格內(nèi)壓對(duì)承載能力有好處，但變化趨勢(shì)緩慢，非線性有限元計(jì)算結(jié)果內(nèi)壓增加承載能力變化不大；豎直和橫置等邊三角形網(wǎng)格工程計(jì)算和非線性有限元計(jì)算結(jié)果都是內(nèi)壓增加承載能力變化不大。b）直徑大于Φ3350 mm，工程計(jì)算采用線性計(jì)算，正置正交網(wǎng)格內(nèi)壓對(duì)承載能力有好處，但變化趨勢(shì)緩慢，三角形網(wǎng)格幾乎不變；而非線性有限元計(jì)算中隨著內(nèi)壓的增加，正置正交網(wǎng)格先升后降，三角形網(wǎng)格則下降。進(jìn)而說(shuō)明，通常認(rèn)為的內(nèi)壓對(duì)承載能力有好處是存在一定的條件的。c）正置正交網(wǎng)格及等邊三角形網(wǎng)格加筋殼承載力隨扭矩的增加而減小，但等邊三角形網(wǎng)格加筋在扭距小于 20 kN·m時(shí)下降趨勢(shì)緩慢，因此在扭距較小時(shí)，推薦采用等邊三角形網(wǎng)格加筋殼設(shè)計(jì)。