李繼猛，楊甲山

（1.邵陽(yáng)學(xué)院理學(xué)院， 湖南 邵陽(yáng)422004； 2.梧州學(xué)院大數(shù)據(jù)與軟件工程學(xué)院， 廣西梧州543002）

0 引 言

微分系統(tǒng)的定性理論在物理學(xué)、生物種群動(dòng)力學(xué)、機(jī)械控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及生物制藥等領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用背景。由于科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，進(jìn)入20世紀(jì)90 年代， 微分系統(tǒng)的一個(gè)新分支——時(shí)間測(cè)度鏈上的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)誕生了。其一出現(xiàn)就引起了國(guó)內(nèi)外廣大學(xué)者的高度關(guān)注， 研究成果也非常豐富， 發(fā)表了大量有關(guān)時(shí)間測(cè)度鏈上動(dòng)態(tài)系統(tǒng)理論的研究論文和專著[1-15]。基于這些實(shí)際應(yīng)用背景， 本文研究了時(shí)間測(cè)度鏈T 上具非正中立項(xiàng)的二階非線性非自治延遲動(dòng)態(tài)系統(tǒng):

的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，其中，z(t)=x(t)-p(t)x(τ(t))。系統(tǒng)(1)的解及其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)(振動(dòng)性)的定義可參見文獻(xiàn)[1-11]。假設(shè):

(H1) T 為任意時(shí)間測(cè)度鏈，且 sup T= ∞;α＞ 0是實(shí)常數(shù);Δ 表示時(shí)間測(cè)度鏈T 上的Δ-導(dǎo)數(shù)記號(hào)，詳細(xì)敘述可參考文獻(xiàn)[1]。

(H2) 函 數(shù)r，p，q∈Crd(T，R)， 且r(t)＞ 0， 0 ≤p(t)≤p0＜1(p0是常數(shù))，q(t)＞ 0。

(H3)τ∈Crd(T，T)是延遲函數(shù)，且。

(H4)δ∈Crd(T，T)是Δ-可微的延遲函數(shù)， 且0＜δ(t)≤t，δΔ(t)＞ 0，limt→∞δ(t)= ∞。

(H5) 函數(shù)f∈C(R，R)，且當(dāng)u≠0時(shí)，(常數(shù)k＞0)。

考慮系統(tǒng)(1)是正則的情形， 即系統(tǒng)(1)滿足條件

最近，中外學(xué)者發(fā)表了許多有關(guān)時(shí)間測(cè)度鏈上動(dòng)態(tài)系統(tǒng)理論(特別是振動(dòng)理論等)的研究成果[1-15]，但在各類一階及二階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)討論中，其中立項(xiàng)系數(shù)都是非負(fù)的[2-6]，對(duì)中立項(xiàng)為非正函數(shù)的研究成果很少。作為特殊情形，當(dāng)T=R 時(shí)，文獻(xiàn)[7-9]研究了一類具非正中立項(xiàng)的二階微分方程:

其中z(t)=x(t)-p(t)x(τ(t))， 在 條 件下得到了上述方程振動(dòng)的若干充分條件。其主要結(jié)果如下:

定理 A[7]設(shè)r(t)＞ 0，-p≤p(t)≤ 0(常數(shù) 0＜p＜1)， 當(dāng)x≠0時(shí)，f(t，x)sgnx≥q(t)|x|α， 并且方程(E1)滿足進(jìn)一步，如果有函數(shù)ρ(t)∈C1([t0，∞ )，(0，∞ ))，使得

此為文獻(xiàn)[7]中的定理3.1， 此判別準(zhǔn)則簡(jiǎn)單便捷，但不夠細(xì)膩。之后，文獻(xiàn)[8]改進(jìn)了此定理，結(jié)果如下:

定理 B[8]設(shè)r(t)＞ 0，r'(t)≥ 0，-p≤p(t)≤0(常數(shù)0＜p＜1)， 當(dāng)x≠0時(shí)，f(t，x)sgnx≥q(t)|x|α， 并且方程 (E1)滿足且進(jìn)一步，如果有函數(shù)ρ(t)∈C1([t0，∞ )，(0，∞ ))，使得

則方程(E1)的每個(gè)解x(t)或者振動(dòng)或者。

此為文獻(xiàn)[8]中的定理3.1， 也是文獻(xiàn)[9]中的定理 2。只可惜定理 B 中增加了條件“r'(t)≥ 0”， 使用時(shí)會(huì)受到一些約束。

當(dāng)T 為任意時(shí)間測(cè)度鏈時(shí)， 文獻(xiàn)[10]研究了一類具非正中立項(xiàng)的二階動(dòng)態(tài)系統(tǒng):

的振動(dòng)性，得到了上述系統(tǒng)振動(dòng)的一些充分條件，結(jié)論如下:

定理 C[10]設(shè)條件(H1)～(H4)及(C)成立，α≥1是2個(gè)正奇數(shù)之商，δ([t0，∞ )T)=[δ(t0)，∞ )T， 如果

定理C要求“α≥1是2個(gè)正奇數(shù)之商 ，δ([t0，∞ )T)=[δ(t0)，∞ )T”， 而且條件(C3)驗(yàn)證較麻煩， 當(dāng)α為任意正實(shí)數(shù)時(shí)得不到系統(tǒng)的振動(dòng)結(jié)果。

以上說(shuō)明，現(xiàn)有文獻(xiàn)中的關(guān)于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)振動(dòng)理論的研究成果是不完善的。本文利用Riccati(黎卡提)變換技術(shù)及各種分析技巧研究系統(tǒng)(1)， 獲得了系統(tǒng)(1)的 2 個(gè)新的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)(振動(dòng)準(zhǔn)則)， 改進(jìn)并豐富了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的振動(dòng)理論。

1 引 理

引理 1設(shè)條件(H1)～(H5)及(C)成立，x(t)是系統(tǒng)(1)的最終正解， 則函數(shù)z(t)最終必是下列2 種情形之一:

證明由引理?xiàng)l件知， 存在t1∈[t0，∞ )T，使得x(t)＞ 0，x(τ(t))＞ 0，x(δ(t))＞ 0，t∈[t1，∞ )T。由系統(tǒng)(1)，當(dāng)t∈[t1，∞ )T時(shí)， 有

由定理2 知，系統(tǒng)(16)的每個(gè)解x(t)或者振動(dòng)或者。

注 1 由例1 和例2 可知，驗(yàn)證本文所得到的充分條件非常便捷。此外，由于方程(15)和(16)的中立項(xiàng)系數(shù)是負(fù)的，因此，文獻(xiàn)[1-12]中的定理都不適合方程(15)和(16)。

由于本文定理要求 0 ≤p(t)≤p0＜1， 且函數(shù)z(t)的符號(hào)是無(wú)法確定的， 因此，得到的結(jié)論只能是“系統(tǒng)的每個(gè)解x(t)或者振動(dòng)或者漸近于0”，此結(jié)果在一定程度上具有不確定性。 能否將條件0 ≤p(t)≤p0＜1放寬為0≤p(t)≤p0＜∞、能 否 尋 找到新的條件確保系統(tǒng)(1)的每個(gè)解都振動(dòng)，是值得進(jìn)一步研究的課題。