肖雅文 嚴(yán)沁蔚

摘要：以有限元法為理論基礎(chǔ)，建立簡支梁受力模型，分析簡單的簡支梁在不同負(fù)載條件下所受應(yīng)力，求解結(jié)果與公認(rèn)分析結(jié)果一致。通過不同負(fù)載分布的比較，可以用于尋找最優(yōu)化設(shè)計(jì)以降低梁的危險(xiǎn)。有限元分析方法的精確度受所選試探函數(shù)和劃分精度影響。合理的微分建?？梢允褂邢拊ǔ蔀闊o損檢測的有效模擬手段。

關(guān)鍵詞：有限元分析;懸梁;無損檢測

0 引言

無損檢測是指在不損壞或不影響被檢測對象使用性能，不傷害被檢測對象內(nèi)部組織的前提下，檢測零件和設(shè)備中的損傷。但是無損檢測方法的準(zhǔn)確性往往需要大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)支撐，而在被檢材料中不斷改變裂紋損傷信息及裂紋位置和深度顯然是不容易的。對于求解復(fù)雜的工程問題，數(shù)值計(jì)算方法的通用性較強(qiáng)，有限元法是其中一種常用方法。（基于有限元模型）以有限元法為基礎(chǔ)，通過求解偏微分方程或偏微分方程組實(shí)現(xiàn)對真實(shí)物理現(xiàn)象的仿真。利用該仿真對實(shí)際進(jìn)行仿真建模，不僅可以方便地更改裂紋損傷信息，而且不受周圍環(huán)境噪聲的影響，仿真結(jié)果更加精確[3]本文基于有限元理論，對于有限元法在工程中的重要性進(jìn)行初探，并以簡單的簡支梁為例，研究仿真方法的準(zhǔn)確性。[1]

1 理論基礎(chǔ)

當(dāng)桿受到垂直變形時(shí)會(huì)發(fā)生彎曲變形，即直線變成曲線。以彎曲變形為主的桿件稱為梁。梁在彎曲時(shí)會(huì)受到彎矩和剪力的作用，其中剪力時(shí)材料的橫截面沿外力作用方向發(fā)生相對錯(cuò)動(dòng)變形，彎矩即力偶矩，作用使梁發(fā)生彎曲。如圖一所示為簡支梁，q為梁上所加負(fù)載，M為梁所受彎矩，V為桿所受的剪力。圖中所示為均勻載荷的情況下簡支梁的分析圖。

根據(jù)工程力學(xué)，梁所受剪力，彎矩以及載荷之間有以下關(guān)系：

恒成立，其中v（x）稱為試探函數(shù)，取值范圍限于多項(xiàng)式空間內(nèi)，試探函數(shù)的選取需要滿足在0以及L處其值為0。利用有限元分析方法（FEM）將研究區(qū)域分為M個(gè)元素區(qū)域，每個(gè)元素區(qū)域選取K+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，針對各個(gè)節(jié)點(diǎn)選取試探函數(shù)，并利用加權(quán)余量的方法可以對方程（3）進(jìn)行求解。其中節(jié)點(diǎn)數(shù)對試探函數(shù)的多項(xiàng)式空間進(jìn)行限制，即多項(xiàng)式的最高次冪為K，加權(quán)余量方法限制試探函數(shù)僅在最多兩個(gè)節(jié)點(diǎn)處的值為1，其余節(jié)點(diǎn)值為0。具體求解過程可以參考引文。[2]以上是針對于邊界條件為狄利克雷條件，對于邊界條件為非均勻狄利克雷條件：M（z）=MD（x）on OзΩ，可以設(shè)置

M=V+U（x）

U（X）= MD

將M代入方程（1）可以得到關(guān)于V的狄利克雷條件下的泊松方程。此方程的求解過程依然可以按照FEM進(jìn)行數(shù)值模擬，并最終解得函數(shù)M（x）。

2 結(jié)果與討論

為簡單起見，設(shè)置梁長為1，載荷均勻分布為1，求解圖1簡支梁。求解結(jié)果如圖2所示。圖中彎矩呈拋物線型分布，在梁中間取最大值;剪力沿桿呈現(xiàn)線性分布，在梁的固定處取最大值;FEM模擬梁的分布圖1結(jié)果基本相同。為模擬顯示生活中貨物擺放規(guī)律，載重應(yīng)選擇拋物線形式。為了與前面的均勻

載荷進(jìn)行比較，所加載荷總重量應(yīng)當(dāng)相等，即q（x）=6*x（x-1）形式，此時(shí)解出彎矩以及剪力分布如圖3所示。與圖2相比，此時(shí)梁所受玩具明顯變大，剪力分布也呈現(xiàn)出非線性的分布。從圖2和圖3的對比我們可以看出載荷分布對梁的受力分布起著很大的影響，實(shí)際工程當(dāng)中應(yīng)該優(yōu)化載荷分布使工件的關(guān)鍵部位應(yīng)力達(dá)到最小以改善質(zhì)量。接下來我們對于影響有限元分析的精度的參數(shù)進(jìn)行了研究，在考慮均勻載荷的情況下，分別考慮了試探函數(shù)的次數(shù)K以及劃分區(qū)間的寬度作為變量，將解析解與數(shù)值解進(jìn)行比較計(jì)算了數(shù)值模擬偏離解析解的方差。k=1時(shí)結(jié)果如圖4所示。圖中顯示隨著選取元素的間隔的減小，數(shù)值解的偏差也呈現(xiàn)數(shù)量級的減小。當(dāng)選取試探函數(shù)次數(shù)k=2時(shí)，偏差的數(shù)量級到達(dá)IE-IO以下，圖中并未標(biāo)出。由此可以看出FEM在檢測方面的應(yīng)用范圍廣泛，并且精度較高。對于本例來說，僅需測量或估算出所受載荷的分布就可以通過數(shù)值模擬的方法對梁的受力和受彎矩情況進(jìn)行精準(zhǔn)分析，從而實(shí)現(xiàn)了無損檢測的功能。

3 結(jié)束語

本文對有限元法在檢測中的應(yīng)用做了初步探索。對于簡支梁建立了微分方程模型，并對模型進(jìn)行了數(shù)值求解，在梁受均勻負(fù)載情況下模擬結(jié)果與書中分析相符。進(jìn)一步又對梁受拋物線型載荷的情況進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)梁受剪力及彎矩都增加。有限元法可以用于尋找最優(yōu)分配方案，以減輕現(xiàn)實(shí)生活中的使用風(fēng)險(xiǎn)。最后，發(fā)現(xiàn)試探函數(shù)的選擇與元素劃分方法均對有限元法的準(zhǔn)確度產(chǎn)生影響。總的來說，有限元法可以用于實(shí)際檢測中，通過邊界條件的正確測量，以及合適的模型搭建即可以對設(shè)備所受應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行無損評估。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳振華，王燕，謝長鴻等.超聲cofd檢測的有限元分析及其試驗(yàn)驗(yàn)證應(yīng)用聲學(xué)，2015，34（3）：272277

[2][ finite element method in ld ].https：//github.com/dwshin/basic—fem—tutorial/tree/ master/fem一1d.

[3]劉靜，柳成，曲永印等.基于有限元法的電渦流無損檢測可靠性分析北華大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2018.19（6）：836.