羅 佳，孫 亮，喬印虎

(1.池州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電技術(shù)系，安徽 池州 247000；2.安徽科技學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 鳳陽(yáng) 233100 )

憶阻器是一種表征電荷和磁通內(nèi)在關(guān)系的電子元件，被認(rèn)為是繼電阻、電感和電容之后的第4種基本電路元件[1]。由于具有納米級(jí)、非線性和記憶性等特性，憶阻器在非線性電路[2-3]、記憶存儲(chǔ)[4-5]以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6-7]等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。自2008年美國(guó)惠普實(shí)驗(yàn)室發(fā)現(xiàn)HP憶阻器模型以來[8]，各種數(shù)學(xué)和物理憶阻模型逐漸被提出[9-10]。局部有源被認(rèn)為是復(fù)雜性的起源[11], 與生物神經(jīng)突觸具有密切聯(lián)系。2015年蔡少棠教授首次提出局部有源憶阻概念并實(shí)現(xiàn)了第一個(gè)蝴蝶結(jié)局部有源憶阻器模型[12]。2017年局部有源憶阻器在實(shí)驗(yàn)室被物理證實(shí)[13]。近年來，一些局部有源憶阻器模型已經(jīng)被開發(fā)和利用。例如，2017年王光義等[14]使用一個(gè)局部有源憶阻器設(shè)計(jì)了一種最簡(jiǎn)單的混沌電路。2018年一種雙穩(wěn)態(tài)雙局部有源憶阻器被提出[15]。然而，這些局部有源憶阻器模型仍然存在數(shù)學(xué)模型復(fù)雜、電路實(shí)現(xiàn)困難和無法在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中應(yīng)用等缺點(diǎn)。FHN (Fitzhugh-Nagumo) 神經(jīng)元具有簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型[16]，能夠模擬多種神經(jīng)元放電，但是它無法模擬神經(jīng)系統(tǒng)的混沌行為[17]，即使是多個(gè)FHN神經(jīng)元組成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也很難產(chǎn)生混沌。

本文設(shè)計(jì)了一種新的簡(jiǎn)單的局部有源憶阻器模型，不僅數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單，電路實(shí)現(xiàn)容易，而且憶導(dǎo)有界，非常適合用于模擬生物突觸。此外，基于該憶阻器模型，構(gòu)建了一種局部有源憶阻突觸耦合FHN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。這種憶阻突觸耦合FHN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有豐富的動(dòng)力學(xué)特性，在一定的參數(shù)和初始條件下，能夠產(chǎn)生混沌和復(fù)雜的共存吸引子。

1 雙穩(wěn)態(tài)局部有源憶阻器的提出

根據(jù)憶阻器理論，一個(gè)廣義的壓控或磁控憶阻器可以表示為[12]：

i=W(x)v

(1)

dx/dt=f(x,v)

(2)

式(1)～(2)中，W(x)是一個(gè)以x為變量的連續(xù)函數(shù)，被稱為憶導(dǎo)；i,v,x分別表示通過憶阻器的電流、電壓和狀態(tài)變量。

基于式(1)和式(2),設(shè)計(jì)一個(gè)新的局部有源憶阻器模型，其表達(dá)式為：

i=W(x)v=tanh(x)v

(3)

dx/dt=f(x,v)=x(α-β|x|)+v

(4)

式(3)～(4)中，α和β是2個(gè)憶阻參數(shù)；tanh(x)是憶導(dǎo)。顯然，該憶阻器的憶導(dǎo)是具有上下界閾值的，與生物神經(jīng)突觸權(quán)重閾值特性非常類似。

為證明所提出的數(shù)學(xué)模型是局部有源憶阻器，在此引入憶阻器的基本定義。如果一個(gè)器件模型同時(shí)滿足以下3個(gè)特征：①當(dāng)由雙極性周期信號(hào)驅(qū)動(dòng)時(shí)，該器件必須在V-I平面表現(xiàn)出過原點(diǎn)的緊磁滯回線；②從某個(gè)臨界頻率開始，緊磁滯波瓣面積應(yīng)隨著激勵(lì)頻率的增加而單調(diào)減??；③當(dāng)頻率趨于無窮大時(shí)，緊磁滯回線縮小為單值函數(shù)，那么該元器件就可以認(rèn)為是憶阻器[12]。而根據(jù)局部有源理論[12]，如果一個(gè)憶阻器的直流V-I曲線存在負(fù)斜率部分，那么該憶阻器就是局部有源的。

當(dāng)α=5，β=1，輸入電壓v=Asin(2πFt)時(shí)，分析在不同的信號(hào)幅度A、頻率F和初始狀態(tài)x(0)下憶阻器的特性。

1)當(dāng)F=0.2 kHz,x(0)=-2時(shí)，不同信號(hào)幅度A下所得到的伏安特性曲線如圖1所示。由圖1可見，3個(gè)緊磁滯回線都通過V-I平面的零點(diǎn)。

圖1 F=0.2 kHz,x(0)=-2時(shí)，不同信號(hào)幅度A下的伏安特性曲線

2)當(dāng)A=14 V,x(0)=-2時(shí)，不同信號(hào)頻率F下所得到的伏安特性曲線如圖2所示。由圖2可見，3個(gè)緊磁滯回線都通過V-I平面的零點(diǎn)，且隨著信號(hào)頻率的增加，憶阻器的緊磁滯回線面積越來越小，逐漸趨向于一條直線。顯然，所設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型符合憶阻器的3個(gè)特征，是一個(gè)憶阻器模型。

圖2 A=14 V,x(0)=-2時(shí)，不同信號(hào)頻率F下的伏安特性

3)當(dāng)A=14 V,F=0.5 kHz時(shí)，不同的初始狀態(tài)x(0)所得到的伏安特性曲線及時(shí)序圖如圖3所示。由圖3可見，不同的初始狀態(tài)輸出電流時(shí)間軌跡并不相同。因此，該憶阻器在不同初始條件下具有2個(gè)不同的緊磁滯回線，即雙穩(wěn)態(tài)特性。

(a) 伏安特性曲線

圖3 A=14 V,F=0.5 kHz時(shí)，不同初始狀態(tài)下的伏安特性曲線及時(shí)序圖

4)憶阻器的局部有源特性可以采用直流V-I軌跡圖證明。為了得到憶阻器的直流V-I曲線，首先令dx/dt=0，可以得到它的平衡點(diǎn)狀態(tài)方程：

V=X|X|-5X

(5)

式(5)中，V表示直流輸入電壓；X是滿足dx/dt=0時(shí)x的解。然后把式(5)替換到式(3)中，得到輸出電流為：

I=(X|X|-5X)tanh(X)

(6)

基于式(5)和式(6)可以得到憶阻器的直流V-I曲線。在-10

圖4 在-10

5)不同局部有源憶阻器模型性能參數(shù)比較見表1。從表1中可以明顯看出，本文所提出的局部有源憶阻器模型不僅具有簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)表達(dá)式，易于電路實(shí)現(xiàn)，而且憶導(dǎo)值有界，適合模擬生物突觸應(yīng)用。

表1 不同局部有源憶阻器模型性能參數(shù)比較

2 憶阻突觸耦合FHN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

2.1 模型建立

一種改進(jìn)的FHN神經(jīng)元模型可以表示為[16]：

(7)

式(7)中，x是神經(jīng)元的膜電位；y是恢復(fù)變量；a,b是神經(jīng)元參數(shù)。

突觸是連接不同神經(jīng)元之間的重要橋梁，突觸耦合可有效實(shí)現(xiàn)神經(jīng)元之間的電信號(hào)交換。大量生物和物理實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)2個(gè)耦合的神經(jīng)元通過突觸傳遞信號(hào)時(shí)，流經(jīng)突觸的電流信號(hào)是一種由神經(jīng)元膜電位變化引起的電磁感應(yīng)電流。從物理的角度來看，突觸電流是由于神經(jīng)元膜電位波動(dòng)產(chǎn)生變化的磁場(chǎng)導(dǎo)致。因此，可以用憶阻器的磁通量來描述神經(jīng)元內(nèi)變化的磁場(chǎng)。神經(jīng)元膜電位變化引起的感應(yīng)電流用通過憶阻器的電流表示，從而能夠有效模擬生物神經(jīng)突觸行為?；诖死碚?，與突觸具有同樣納米尺寸和記憶特性的憶阻器常常被用于模擬人工突觸[18-19]。當(dāng)使用上述閾值局部有源憶阻器作為連接2個(gè)FHN神經(jīng)元的耦合突觸時(shí)，可對(duì)憶阻突觸耦合FHN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模。憶阻突觸耦合FHN神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)示意圖如圖5所示。圖5中，k表示憶阻突觸耦合強(qiáng)度；I是憶阻突觸產(chǎn)生的感應(yīng)電流。

圖5 憶阻突觸耦合FHN神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)示意圖

憶阻突觸耦合FHN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)方程式如下：

(8)

式(8)中，x1和x2分別表示神經(jīng)元1和神經(jīng)元2的膜電位；x1-x2表示2個(gè)神經(jīng)元的膜電位差；y1和y2分別表示2個(gè)神經(jīng)元的恢復(fù)電位。

2.2 動(dòng)力學(xué)分析

保持模型參數(shù)a1=a2=5.5,b1=0.9,b2=0.05，k=0.21,β=1不變，α作為可調(diào)參數(shù)，研究憶阻耦合的FHN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為。憶阻突觸耦合FHN神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的混沌現(xiàn)象如圖6所示。首先設(shè)α=5， 初值條件為(0, 0, 0, 0, 1), 其在x1-y1平面上的混沌吸引子相圖與2個(gè)神經(jīng)元膜電壓時(shí)序圖分別如圖6(a)和圖6(b)所示。顯然，在局部有源憶阻突觸的作用下，F(xiàn)HN耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生了復(fù)雜的混沌行為。

(a) 混沌吸引子相圖

圖6 憶阻突觸耦合FHN神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的混沌現(xiàn)象

當(dāng)初始條件分別設(shè)為 (0, 0, 0, 0, 1) 和 (0, 0, 0, 0, 0)，系統(tǒng)隨參數(shù)α變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜如圖7所示。在圖7(a)中，紅色表示初值 (0, 0, 0, 0, 1) 條件下系統(tǒng)產(chǎn)生的分岔結(jié)果，藍(lán)色表示初值 (0, 0, 0, 0, 0) 條件下系統(tǒng)產(chǎn)生的分岔結(jié)果。由圖7(a)可以發(fā)現(xiàn)，在初值條件(0, 0, 0, 0, 1)下，隨著參數(shù)α從0開始正向增大，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)軌跡由混沌通過混沌危機(jī)，在α=1.1處演變成周期行為，在α=1.9后又發(fā)展為準(zhǔn)周期行為，直到α=3.2。隨后，通過正向倍周期分岔從準(zhǔn)周期行為快速進(jìn)入到混沌狀態(tài)，然后穩(wěn)定在混沌狀態(tài)。然而在初值條件(0, 0, 0, 0, 0)下，隨著參數(shù)α從0開始正向增大，除了α=0.2,α=0.5 ，α=1這3個(gè)窗口為混沌，其他范圍內(nèi)均表現(xiàn)為周期現(xiàn)象。由此可見，局部有源憶阻突觸引發(fā)了共存吸引子的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。圖7(b)給出了初值 (0, 0, 0, 0, 1) 條件下，系統(tǒng)隨參數(shù)α變化的Lyapunov指數(shù)譜，當(dāng)α在 (0, 1) 與 (3.3, 10) 范圍內(nèi)，系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)分布為 (+, 0, -)。根據(jù)李雅普諾夫指數(shù)判定定理，系統(tǒng)是混沌的。Lyapunov指數(shù)譜所表現(xiàn)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)分布與分岔圖基本一致。

(a) 分岔圖

圖7 系統(tǒng)隨參數(shù)α變化的分岔圖和 Lyapunov指數(shù)譜

使用Matlab2017a進(jìn)行數(shù)值仿真，基于ODE45算法，設(shè)置時(shí)間步長(zhǎng)為0.01，最大時(shí)長(zhǎng)為2 000，憶阻突觸耦合FHN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)于參數(shù)α取不同值，初始狀態(tài)下的共存吸引子相圖如圖8所示。由圖8可以看出，當(dāng)α=2時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生了共存周期吸引子和準(zhǔn)周期吸引子；當(dāng)α=4時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生了共存周期吸引子和混沌吸引子。因此，該憶阻突觸耦合FHN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在不同初始狀態(tài)下產(chǎn)生了共存吸引子，具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。

(a) α=2共存周期與準(zhǔn)周期吸引子

圖8 不同參數(shù)α，初始狀態(tài)下的共存吸引子相圖

3 電路設(shè)計(jì)與仿真驗(yàn)證

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的電路實(shí)現(xiàn)對(duì)于實(shí)際工程應(yīng)用極其重要[20]。利用模擬運(yùn)算放大器、模擬乘法器、電阻、電容對(duì)提出的局部有源憶阻器和耦合FHN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(式(8))進(jìn)行電路設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)。

1)引入2個(gè)基本單元電路，即雙曲正切函數(shù)電路和絕對(duì)值函數(shù)電路。2個(gè)基本單元電路如圖9所示。其中，在圖9(a)中，當(dāng)直流供電電壓為±15 V,R=10 kΩ,RF=520 Ω,RC=1 kΩ,I0=1.1 mA時(shí)，電路能夠?qū)崿F(xiàn)v0=-tanh(vi)。在圖9(b)中，當(dāng)直流供電電壓為±15 V,Rm=3 kΩ,Rn=10 kΩ, 乘法器增益g=0.1時(shí)，電路能夠?qū)崿F(xiàn)v0=-|vi|。

(a) 雙曲正切函數(shù)電路

圖9 2個(gè)基本單元電路

2)結(jié)合雙曲正切函數(shù)電路和絕對(duì)值函數(shù)電路,設(shè)計(jì)一個(gè)局部有源憶阻電路模擬器。局部有源憶阻器電路圖如圖10所示。其中，RC=10 μs,R=10 kΩ,RA=R/α,RB=gR/β,RS=10 kΩ,RL=R/k。

圖10 局部有源憶阻器電路圖

3)根據(jù)局部有源憶阻突觸耦合FHN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(式(8))，實(shí)現(xiàn)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電路。局部有源憶阻突觸耦合FHN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電路如圖11所示。系統(tǒng)狀態(tài)變量x1,y1,x2,y2,z通過5個(gè)積分器的輸出電壓表示。基于基爾荷夫電路定律，系統(tǒng)電路的等效電路方程為：

圖11 局部有源憶阻突觸耦合FHN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電路

根據(jù)式(8)，部分電路元件阻抗值能夠被導(dǎo)出：R=10 kΩ,R1=R/a1,R2=Rg2/3a1,R3=10 kΩ,R4=R/a2,R5=Rg2/3a2,R6=10 kΩ,RL=Rg/k。為了驗(yàn)證數(shù)值仿真結(jié)果，在Multisim電路仿真軟件中創(chuàng)建圖12～13所示電路。當(dāng)α=5,β=1時(shí), 設(shè)置RA=2 kΩ,RB=1 kΩ,輸入正弦電壓幅度為10 V,頻率分別為1 kHz與5 kHz，局部有源憶阻器Multisim仿真結(jié)果如圖12所示。

(a) F=1 kHz

(b) F=5 kHz

當(dāng)k=0.21,α=4,β=1，a1=a2=5.5,b1=0.9,b2=0.05時(shí)，設(shè)置RL=4.76 kΩ,RA=2.5 kΩ,R1=R4=1.82 kΩ,R2=R5=54.8 Ω,I1=90 μA,I2=5 μA。對(duì)于不同的5個(gè)電容初始電壓為(0 V,0 V,0 V,0 V,0 V)和(0 V,0 V,0 V,0 V,1 V)，憶阻突觸耦合FHN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)Multisim仿真結(jié)果如圖13所示。

(a) 周期吸引子 (0 V,0 V,0 V,0 V,0 V)

圖13 憶阻突觸耦合FHN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)Multisim仿真結(jié)果

4 結(jié)論

設(shè)計(jì)了一種簡(jiǎn)單的閾值局部有源憶阻器，并使用該模型模擬生物神經(jīng)突觸行為，得到了一種局部有源憶阻突觸耦合FHN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。通過理論分析、數(shù)值仿真和電路驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)該憶阻突觸耦合FHN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在一定的系統(tǒng)參數(shù)下能夠產(chǎn)生復(fù)雜的混沌行為，在不同的初始狀態(tài)下能夠產(chǎn)生共存吸引子，具有豐富的動(dòng)力學(xué)特性。