盧源

鋼琴的琴鍵設(shè)計(jì)，每一組都由7個(gè)白鍵和5個(gè)黑鍵組成。白鍵對(duì)應(yīng)的就是哆來咪發(fā)唆拉西，那為什么還要有黑鍵呢？

話說在古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)，當(dāng)琴弦的長(zhǎng)度成較小的整數(shù)之比時(shí)，彈撥琴弦會(huì)出現(xiàn)和聲。弦的長(zhǎng)度比為2：1時(shí)，是最和諧的八度音程;長(zhǎng)度比為3：2時(shí)，是第二和諧的五度音程;長(zhǎng)度比為4：3時(shí)，是四度音程。八度音程如此和諧，以至于我們對(duì)相差八度的高音音符與低音音符的感覺是“相同”的。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還發(fā)現(xiàn)，音調(diào)相加對(duì)應(yīng)的是比例相乘。例如，他們知道一個(gè)五度加上一個(gè)四度就等于一個(gè)八度，這是因?yàn)?/2×4/3=2。

那么，能不能通過將八度分成相等的音級(jí)來使五度、四度都包括在內(nèi)呢？畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信徒們不斷嘗試，但一直沒有成功?？磥?，這個(gè)問題的答案是——不可能。

我們現(xiàn)在知道，他們的嘗試注定會(huì)失敗。因?yàn)?/2的整數(shù)次方不可能等于2的整數(shù)次方，所以無論將多少個(gè)五度相加，永遠(yuǎn)不可能得到八度。將四度相加也一樣。

傳統(tǒng)的中國(guó)音樂將八度音程分為宮商角徵羽5個(gè)音級(jí)，相當(dāng)于哆來咪唆拉，而中國(guó)音樂人也曾經(jīng)嘗試用純五度的循環(huán)來構(gòu)建音階，結(jié)果陷入了同樣的困境。可以說，這個(gè)問題同時(shí)困擾了中外音樂界。

令人驚奇的是，16世紀(jì)末，中國(guó)的朱載堉和荷蘭的西蒙·斯蒂文幾乎同時(shí)提出了相同的折中解決方案，就是用一個(gè)八度的12等分（半音）來構(gòu)建音階。其中的五度是2的7/12次方，約等于1.498，與純五度的3：2（就是1.5）非常接近。12個(gè)這樣的五度，恰好能構(gòu)成7個(gè)八度，這個(gè)由相等半音構(gòu)成的體系，就是十二平均律。

回過頭再看看鋼琴琴鍵，每一組的7白5黑12個(gè)鍵就是12個(gè)音級(jí)。從哆往后7個(gè)鍵是唆，它就是剛才說的2的7/12 次方，對(duì)應(yīng)一個(gè)五度;從哆往后12個(gè)鍵就是下一個(gè)哆，對(duì)應(yīng)一個(gè)八度。

如今，在吉他等樂器的琴格布局中，也可以看到十二平均律的應(yīng)用。將手指從一個(gè)琴格滑到下一個(gè)琴格，就會(huì)將振動(dòng)琴弦的長(zhǎng)度改變一個(gè)八度的12等分。

從數(shù)學(xué)的角度來看，十二平均律的基本比例2的1/12次方是一個(gè)無理數(shù)。但是，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派不承認(rèn)無理數(shù)，他們認(rèn)為這樣的數(shù)是“無理的”“荒謬的”。難怪他們搞不出十二平均律。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為不可能的無理數(shù)，解決了困擾人們多年的一個(gè)音樂問題。