王春華

(江蘇省啟東市大江中學(xué) 226200)

一、二元一次方程組的常見解法

1.消元法及其應(yīng)用

消元法是求解二元一次方程組中比較常用的一種求解方法，主要適用于同一未知數(shù)的系數(shù)相等或相反時(shí)，將兩個(gè)方程通過相加或相減的方式消除掉該未知數(shù)，以此就可以通過“消元”處理的方式得到一個(gè)一元一次方程.歸結(jié)起來，消元法的應(yīng)用主要包括如下幾個(gè)步驟：其一，對(duì)二元一次方程組中的兩個(gè)方程進(jìn)行仔細(xì)地觀察，看是否兩個(gè)方程某一未知數(shù)的系數(shù)保持相等或相反；其二，如果存在上述情況，那么可以采取相加或相減的方式對(duì)兩個(gè)方程進(jìn)行處理，以此可以獲得一個(gè)一元一次方程；其三，通過求解“消元”后的一元一次方程，求解出一個(gè)未知數(shù)；其四，將求解出的未知數(shù)代入原方程組中，求解出另一個(gè)未知數(shù).

解析通過觀察該方程組，發(fā)現(xiàn)未知數(shù)y的系數(shù)互為相反數(shù)，所以可以通過①+②消除y，之后可以列出只包含x的一元一次方程，即：(2x+5y)+(3x-5y)=9+6，求解可得x=3，之后將其代入式①或式②，可求得y=0.6.如此一來，就可以求出最終答案.

除了消元法之外，還有一種類似的求解方法，那么就是消常數(shù)項(xiàng)法，即在求解二元一次方程組的時(shí)候兩個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)保持一致，此時(shí)可以直接將常數(shù)項(xiàng)消除掉，之后可以依照系數(shù)相反或相同的特殊情況，將系數(shù)消除掉.然后可以將方程中的某個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知參數(shù)進(jìn)行替代后代入方程組中進(jìn)行求解.

解析通過觀察方程組，發(fā)現(xiàn)①和②式中的常數(shù)項(xiàng)保持一致，此時(shí)可以通過做差的方式求得x和y之間的關(guān)系式，然后可以通過加減消元或代入消元的方式進(jìn)行求解.比如，通過式①-式②，可得y=3x/5，之后將其代入式①可得x=5,y=3.

2.換元法及其應(yīng)用

換元法主要是首先假定一個(gè)未知參數(shù)，以其對(duì)二元一次方程組中的兩個(gè)未知數(shù)的值進(jìn)行表示，這樣就可以將待求解的方程組相應(yīng)地轉(zhuǎn)換成一元一次方程組進(jìn)行求解.在應(yīng)用換元法求解二元一次方程組時(shí)，主要步驟如下：其一，對(duì)二元一次方程組進(jìn)行仔細(xì)地觀察，首先假定一個(gè)恰當(dāng)?shù)奈粗獏?shù)；其二，用假定的未知參數(shù)對(duì)二元一次方程組中的兩個(gè)未知數(shù)(x和y)進(jìn)行分別表達(dá)；其三，將用假定未知參數(shù)表達(dá)的x與y分別代入二元一次方程組中進(jìn)行求解，這樣最終就可以得出待求的未知參數(shù)x與y.

3.對(duì)稱法及其應(yīng)用

對(duì)稱法主要適用于那些二元一次方程組中兩個(gè)方程中的形式保持對(duì)稱的問題求解中，即將其中某一個(gè)方程組中的x，y兩個(gè)未知參數(shù)進(jìn)行對(duì)換后可以得到另一個(gè)方程，或者說這兩個(gè)方程處于等價(jià)狀態(tài).基于該種方程的對(duì)稱性特性，可以直接令x=y，之后代入求解即可.

解析由于該方程組中①與②兩個(gè)方程中的x與y保持對(duì)稱狀態(tài)，所以可以直接利用對(duì)稱法進(jìn)行求解，令x=y，代入式①可得x=y=22.5.

二、二元一次方程組在應(yīng)用題求解中的應(yīng)用

在應(yīng)用題求解中，二元一次方程組比較常見，具體的求解步驟如下：(1)認(rèn)真審題.搞清楚題目中涉及到的數(shù)量關(guān)系，用x和y對(duì)未知數(shù)進(jìn)行表達(dá)；(2)找出應(yīng)用題中有關(guān)x和y兩個(gè)未知數(shù)的全部等量關(guān)系；(3)基于兩個(gè)未知數(shù)的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的二元一次方程組；(4)求解二元一次方程組；(5)對(duì)其答案的合理性進(jìn)行檢驗(yàn).

例5現(xiàn)在有大小兩種運(yùn)貨卡車，3輛小卡車和2輛

大卡車每次可以運(yùn)送15.50t貨物，6輛小卡車和5輛大卡車每次可以運(yùn)送35t貨物.試求5輛小卡車和3輛大卡車每次可以運(yùn)送多少噸貨物.

解析針對(duì)該道應(yīng)用題的求解，主要是要確定出每輛小卡車和大卡車每次運(yùn)送貨物的噸數(shù)，所以可以分別將其假設(shè)為x和y，之后根據(jù)題目?jī)?nèi)容可以得到有關(guān)這兩個(gè)未知參數(shù)的等量關(guān)系：(1)3x+2y=15.5；(2)6x+5y=35.通過聯(lián)立這兩個(gè)方程，求解即可得出x=2.5，y=4，所以可以求得5輛小卡車和3輛大卡車每次可以運(yùn)送為5×2.5+3×4=24.5t.

總之，二元一次方程組是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，也是中考數(shù)學(xué)考試的熱點(diǎn)內(nèi)容.為了幫助學(xué)生順利地突破這部分學(xué)習(xí)重點(diǎn)，教師要重點(diǎn)將消元法、換元法與對(duì)稱法等常用的二元一次方程組求解方法傳授給學(xué)生，并要結(jié)合具體的應(yīng)用題幫助學(xué)生理解與掌握二元一次方程組的應(yīng)用步驟，力求不斷提升學(xué)習(xí)效果.