楊小輝

（廣東工業(yè)大學機電工程學院，廣州 510006）

0 引言

拓撲優(yōu)化是一種根據給定的負載情況，約束和性能指標，優(yōu)化給定區(qū)域中的材料分布的數學方法。拓撲優(yōu)化的出現最初只是為了解決一般的機械設計問題。但是，隨著對拓撲優(yōu)化的深入研究，其已被廣泛用于許多物理學科，包括固體力學、流體力學、熱傳導、電磁學等。此外，拓撲優(yōu)化也已用于許多工程領域，例如運輸、建筑設計、復合材料等。

從Bends?e 和Kikuchi[1]提出均質化方法這一重要的拓撲優(yōu)化方法到現在，拓撲優(yōu)化領域已經出現了許多有效可行的方法，如帶懲罰的固體各向同性材料（SIMP）方法、演化方法、移動可變形成分（MMC）方法和漸進結構方法（MMA）[2]。

由于FEM幾乎可以用于描述所有復雜的工程問題，所以目前大多數關于拓撲優(yōu)化和拓撲優(yōu)化方法的研究都是基于有限元結構分析的，只有很少的研究集中在用其他有效的數值求解方法來代替FEM。因此，在這一領域中仍然需要大量的更深入的研究。

最近X.-W.Gao等[3-4]提出一種新的、強形式的數值求解方法，來求解二階偏微分方程的邊值問題。該方法分別借鑒了FEM[5-6]，有限塊體法（FBM）[7-8]和無網格法（MFM）[9-10]的部分思想，能快速有效得到穩(wěn)定解。而且與FEM 相比，EDM具有兩個較為顯著的特點：（1）不需要任何數學原理或機械原理來構成方程組，因此EDM非常易于編寫；（2）無需任何積分。

本文將基于5 節(jié)點單元的EDM[11]，運用于基于SIMP 法的拓撲優(yōu)化[12]，并用MATLAB 進行仿真計算，最后分析討論其拓撲結果，驗證其有效性和準確性。

1 理論基礎

1.1 單元微分法

EDM用于解決二階偏微分方程（PDEs）的邊值問題。其關鍵思想是用節(jié)點形函數的一階、二階偏導數來表示問題中的相關物理變量，并將問題計算域中的節(jié)點分為3類，不同的節(jié)點配置不同的平衡方程。具體步驟如下。

（1）用一系列5 節(jié)點等參單元劃分問題計算域，如圖1所示。

（2）推導節(jié)點形函數，并得出其一階、二階偏導數公式。

（3）用所推導的表達式表示問題中的相關物理變量，如節(jié)點坐標，節(jié)點位移等。

（4）進行節(jié)點分析，并將其分為內部節(jié)點、邊界節(jié)點、界面節(jié)點3類，如圖2所示。在不同的節(jié)點上配置不同的平衡方程（以彈性力學為例）：

①在內部節(jié)點配置應力平衡方程：

②在界面節(jié)點配置牽引力平衡方程（節(jié)點合力為0）：

tij＝ σijηj＝ 0

③在邊界節(jié)點配置牽引力平衡方程（節(jié)點受力平衡）：

tij＝ σijηj＝ ˉt

（5）統計所有節(jié)點，進行最終方程的組裝，其最終形式為： Ax ＝b ，并對其進行求解，得出結果。

圖1 2維5節(jié)點四邊形等參元素

圖2 節(jié)點的類型

1.2 拓撲優(yōu)化

本文使用的拓撲優(yōu)化理論是基于SIMP的結構拓撲優(yōu)化理論，在SIMP 方法中，引入了相對密度為0～1 的偽可變材料。假設材料的宏觀彈性常數與其密度之間存在非線性關系，則介于0～1之間的元素會受到懲罰因子的約束。在一定數量的材料的條件下，找到具有最大剛度（結構的最小柔韌性）的結構材料的最佳分布形式。結構的順應性被視為目標函數，體積作為約束。則拓撲優(yōu)化模型如下：

式中：X為單元密度；C( X )為結構順應性；F為載荷；U為節(jié)點位移；V ( X )為結構體積；V*為體積約束；K為整體剛獨矩陣。

結構的整體剛度矩陣由單元剛度矩陣組裝而成，即：

所以，對于結構順應性有：

1.3 基于EDM的拓撲優(yōu)化

將EDM與基于SIMP的結構拓撲優(yōu)化結合，其目標函數，即結構順應性可由以下等式表示：

式中：S為結構的受力面積；A為結構的整體系數矩陣；ae為單元的系數矩陣。

所以，拓撲優(yōu)化目標函數，即結構的順應性可由如下等式表示：

2 數值案例

2.1 橋梁結構

圖3 所示為拱橋模型，長寬比設為4∶1，材料彈性模量E ＝1，泊松系數ν＝ 0.3。約束條件是結構的材料的體積不超過設計區(qū)域的體積的30%，以獲得滿足結構的最小順應性目的的最佳拓撲結構。計算域網格規(guī)模分別為80×20、240×60、320×80、400×100、480×120，并使用MATLAB 進行計算。對于EDM 的，使用上文中介紹的2 種計算方法分別計算結構的順應性，并與FEM 所得的結果進行比較。最終拓撲結構如圖4所示，具體的數值結果如表1 所示。從圖中可以看出，基于EDM 的拓撲優(yōu)化得到的拓撲結構和基于FEM的拓撲優(yōu)化得到的基本一致。而表中的數據顯示，在網格規(guī)模較小的時候，前者所需的迭代次數要多于后者，但是當網格規(guī)模較大時結果相反。

圖3 拱橋模型

圖4 拱橋最終拓撲結構圖

表1 拓撲優(yōu)化數值結果

2.2 懸臂梁

如圖5 所示，用左側固定的懸臂梁模型簡單代表具有矩形立面的高層建筑物，該建筑物在左右兩邊高度方向上承受水平風荷載。該模型的長寬比為5∶1，材料彈性模量E ＝1，泊松系數ν＝0.3。約束條件是結構材料的體積不超過設計區(qū)域的體積的20%，以獲得滿足結構的最小順應性目的的最佳拓撲結構。計算網格分別為100×20、200×40、300×60、400×80 和500×100，由MATLAB 計算拓撲結構。在這個案例中下，僅使用EDM（3）進行計算，并將其結果與FEM 計算結果進行比較。最終拓撲結構如圖6所示，結果的具體數值如表2所示。

圖5 受對稱載荷的懸臂梁

圖6 懸臂梁最終拓撲結構圖

表2 拓撲優(yōu)化數值結果

從上述結果可以看出，基于EDM的拓撲優(yōu)化與基于FEM的拓撲優(yōu)化的拓撲結構基本一致，但是前者所需的迭代次數要少于后者。

以上兩個拓撲優(yōu)化案例證明了EDM的拓撲優(yōu)化運用上的有效性和準確性，并且案例中基于EDM的拓撲優(yōu)化所需的迭代次數要普遍少于基于FEM的拓撲優(yōu)化所需的迭代次數。

3 結束語

本文將基于5 節(jié)點單元的EDM 運用于拓撲優(yōu)化，并通過一系列數值案例進行數值仿真求解與分析。可以得到如下結論：

（1）案例中基于EDM的拓撲優(yōu)化得到的拓撲結構和基于FEM的拓撲優(yōu)化得到的基本一致；

（2）案例中基于EDM的拓撲優(yōu)化所需的迭代次數普遍要少于基于FEM的拓撲優(yōu)化；

（3）將EDM運用于拓撲優(yōu)化是可行且有效的。

盡管當前的工作只是以少數的SIMP模型為例，但在將來基于EDM的拓撲優(yōu)化工作會拓展到其他不同的模型和其他類型的拓撲優(yōu)化方法中。