戴忠華，周穗華，單 珊

（海軍工程大學(xué) 兵器工程學(xué)院，湖北 武漢 430033）

0 引言

對(duì)運(yùn)動(dòng)鐵磁性目標(biāo)的跟蹤定位，可利用磁傳感器測(cè)量的目標(biāo)磁異常來進(jìn)行。磁傳感器測(cè)量獲得目標(biāo)隨位置改變的磁場(chǎng)強(qiáng)度信號(hào)。與有源跟蹤定位系統(tǒng)不同，在對(duì)磁性目標(biāo)的跟蹤中不能直接測(cè)量得到目標(biāo)與磁傳感器的位置信息，而只能從目標(biāo)的磁場(chǎng)信息中通過提取技術(shù)間接獲得。

目前，應(yīng)用于磁性目標(biāo)的跟蹤定位中的磁傳感器，按照磁場(chǎng)測(cè)量的類型可以分為標(biāo)量磁傳感器、矢量磁傳感器以及由矢量磁傳感器構(gòu)成的磁梯度儀[1]。標(biāo)量磁傳感器測(cè)量的是總場(chǎng)，大多用于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)對(duì)靜止目標(biāo)的定位中，如文獻(xiàn)[2]中分別建立了單個(gè)運(yùn)動(dòng)標(biāo)量和2個(gè)運(yùn)動(dòng)標(biāo)量的定位模型；文獻(xiàn)[3]中設(shè)計(jì)了標(biāo)量磁傳感器定位陣列，利用陣列測(cè)量數(shù)據(jù)解決磁性目標(biāo)的定位問題。矢量磁場(chǎng)傳感器大多用于靜止平臺(tái)對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的定位，例如文獻(xiàn)[4]-[6]中使用多個(gè)矢量磁場(chǎng)傳感器，利用批量的測(cè)量數(shù)據(jù)，基于磁性目標(biāo)的等效數(shù)學(xué)模型，采用最小二乘進(jìn)行求解；文獻(xiàn)[7]-[10]中同樣是使用 2個(gè)或者2個(gè)以上的矢量磁傳感器的觀測(cè)數(shù)據(jù)，建立系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型，通過跟蹤濾波算法進(jìn)行目標(biāo)的跟蹤。利用磁梯度儀對(duì)磁性目標(biāo)的定位是近些年研究的熱點(diǎn)，因?yàn)樵摲椒梢酝茖?dǎo)出定位封閉解形式，能夠較好地實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的實(shí)時(shí)跟蹤定位，并且可用于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的目標(biāo)跟蹤。無論是標(biāo)量還是矢量傳感器，使用多個(gè)傳感器定位時(shí)，首先需要考慮的是磁傳感器的布置問題。在一定的傳感器分辨率下，2個(gè)矢量傳感器之間的距離必須滿足一定的范圍，并且，對(duì)于多個(gè)矢量傳感器，還需解決傳感器之間的對(duì)準(zhǔn)問題，文獻(xiàn)[11]-[12]中分別討論了矢量陣分布和對(duì)準(zhǔn)誤差對(duì)定位的影響。同時(shí)，在許多現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，受測(cè)量平臺(tái)結(jié)構(gòu)尺寸約束和定位系統(tǒng)低功耗要求，例如水雷引信系統(tǒng)、車輛磁檢測(cè)系統(tǒng)等，往往無法滿足多傳感布置，因此，需要研究單矢量傳感器的定位問題，這里的單個(gè)矢量傳感器是指單個(gè)三分量磁傳感器。文獻(xiàn)[13]中詳細(xì)討論了單標(biāo)量磁傳感器的定位問題，證明了單標(biāo)量磁傳感器定位模型是不可觀測(cè)的。對(duì)于單個(gè)三分量磁傳感器的定位問題，由于單個(gè)三分量傳感器無法克服運(yùn)動(dòng)平臺(tái)晃動(dòng)引起的地磁干擾，單個(gè)三分量磁傳感器只適用于靜止平臺(tái)的定位問題，而靜止單個(gè)三分量磁傳感器的定位研究很少。

本文將對(duì)單個(gè)三分量磁傳感器的定位問題進(jìn)行研究。建立單個(gè)三分量磁傳感器定位理論模型，借助可觀測(cè)性理論，通過考察Fisher信息矩陣的奇異性，對(duì)定位系統(tǒng)的可觀測(cè)性進(jìn)行分析。之后，根據(jù)現(xiàn)實(shí)應(yīng)用環(huán)境，推導(dǎo)系統(tǒng)可觀測(cè)的充分條件。

1 定位模型建立

1.1 單個(gè)三分量磁傳感器量測(cè)模型

統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理中，傳感器量測(cè)模型為

式中：yk為傳感器輸出；xk為系統(tǒng)狀態(tài)；ek為測(cè)量過程中的噪聲。

通常將磁性目標(biāo)可以看成點(diǎn)磁偶極子，如圖1所示，以傳感器坐標(biāo)系建立跟蹤參考坐標(biāo)系，位于r處的磁性目標(biāo)在傳感器處的磁場(chǎng)可由式（2）計(jì)算：

式中：μ0=4π×10-7H/m為真空磁導(dǎo)率；r=（x,y,z）T為目標(biāo)相對(duì)于磁傳感器的位置矢量；m=（mx,my,mz）T為目標(biāo)磁矩。

圖1 磁傳感器測(cè)量坐標(biāo)Fig. 1 Magnetic sensor measuring coordinate

如圖 1所示，目標(biāo)的磁矩參數(shù)m通常由固有磁矩和感應(yīng)磁矩m組成。固有磁s矩是目標(biāo)在建造期間形成的磁化，在目標(biāo)的體坐標(biāo)系中是一個(gè)不變的矢量；感應(yīng)磁矩是目標(biāo)在運(yùn)動(dòng)過程中受外部磁場(chǎng)磁化而產(chǎn)生，該部分磁矩的大小與外部磁場(chǎng)的大小相關(guān)，可表示為

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；h0為地磁場(chǎng)矢量；V為目標(biāo)的磁化體積系數(shù)。

因此，目標(biāo)磁矩m可表示為

由式（1）-（4），可得目標(biāo)運(yùn)動(dòng)過程中，k時(shí)刻時(shí)，位于參考坐標(biāo)系原點(diǎn)處的單矢量磁傳感器的量測(cè)模型為

1.2 目標(biāo)勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程

由磁偶極子磁場(chǎng)計(jì)算公式（2）可知，目標(biāo)的磁場(chǎng)強(qiáng)度隨著距離的3次方衰減，對(duì)磁性目標(biāo)的跟蹤只能在目標(biāo)經(jīng)過傳感器的有限范圍內(nèi)進(jìn)行。同時(shí)，對(duì)于跟蹤的對(duì)象通常為艦船、汽車等一些低動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)磁性目標(biāo)，在目標(biāo)經(jīng)過傳感器的有限范圍內(nèi)，可將目標(biāo)運(yùn)動(dòng)視為勻速直線運(yùn)動(dòng)。因此，磁性目標(biāo)跟蹤過程中，可將目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為勻速直線運(yùn)動(dòng)。

目標(biāo)勻速運(yùn)動(dòng)模型可表示為

式中：Ts為采樣時(shí)間；是目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度。

在目標(biāo)勻速經(jīng)過傳感器過程中，假設(shè)目標(biāo)在運(yùn)動(dòng)過程中不會(huì)發(fā)生自身的偏轉(zhuǎn)，即目標(biāo)體坐標(biāo)系的相對(duì)于參考坐標(biāo)系的姿態(tài)角不變，即；且在目標(biāo)經(jīng)過傳感器有限范圍內(nèi)，地磁矢量可以看成不變量，即。因此，目標(biāo)磁矩隨目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)移模型為

根據(jù)量測(cè)方程（5），定義k時(shí)刻目標(biāo)狀態(tài)變量為

由式（6）-（8），可建立目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)方程：

式中狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程A為

則式（9）也可表示為

因此，單矢量量測(cè)模型（5）和狀態(tài)方程（11）可建立單矢量磁傳感器定位模型：

定位時(shí)，使用有限時(shí)間[t0,tk]內(nèi)的批量量測(cè)數(shù)據(jù)[y0,y1,…,yk]，建立k+1個(gè)方程，求解方程組便能估計(jì)目標(biāo)初始狀態(tài)x0。

2 系統(tǒng)可觀測(cè)性分析

2.1 單個(gè)三軸矢量磁傳感器量測(cè)模型

系統(tǒng)可觀測(cè)即使用[t0,tk]上的觀測(cè)數(shù)據(jù)可以唯一確定系統(tǒng)的初值x0。對(duì)于任意給定時(shí)刻t0的系統(tǒng)狀態(tài)變量其可觀測(cè)性可以通過Fisher信息矩陣I（tn,t0）來衡量[14-15]，定義如下：

由于系統(tǒng)狀態(tài)變量x0是根據(jù)在給定時(shí)間[t0,tn]上的y0:n求解出來的，而x0由式（8）可知為9維的，因此，給定時(shí)間[t0,tn]上必須要多于9個(gè)觀測(cè)量，構(gòu)造多于9個(gè)的方程組，才有可能唯一求解出系統(tǒng)狀態(tài)x0，即n≥8。

根據(jù)式（12）可得：

根據(jù)ek～N（0,σ2）的獨(dú)立高斯分布，則聯(lián)合條件概率密度可以表示為

式中，K為標(biāo)準(zhǔn)化常數(shù)；A（k,0）為

將式（16）代入式（13）求解條件均值，并利用ek的零均值特性，則式（13）化簡(jiǎn)表示為

式中：hk（x0）為h（A（k,0 ）x0）=h（xk）；?hk（x0）為求雅克比矩陣，可以表示為

由式（5）-（7）可得：

式中rk=r0+kTsv0。

系統(tǒng)的可觀測(cè)性隱含在信息矩陣之中。當(dāng)Fisher信息矩陣I（tn,t0）矩陣滿秩時(shí)，系統(tǒng)是可觀測(cè)的，等價(jià)于對(duì)于任意的n≥8，時(shí)式（18）不存在0特征值。由此可知，系統(tǒng)可觀測(cè)的充分必要條件是：對(duì)于任意給定的 9×1維非零向量x，式（22）恒成立：

命題 1：存在 9×1維非零向量，使得，其中，，k1、k2、k3不全為0。

所以，當(dāng)3k1=3k2=k3，式（25）成立，即式（22）成立；同樣，當(dāng) 3k1=3k1=k3≠0，式（22）成立，即存在非零可使得即命題1得證。

由命題1可知，F(xiàn)isher信息矩陣I（tn,t0）存在非零的零特征值，信息矩陣是奇異的，系統(tǒng)是不可觀測(cè)的，即單個(gè)三分量磁傳感器定位模型是不可觀測(cè)的。

對(duì)于一個(gè)不可觀測(cè)點(diǎn)來說，其不可觀測(cè)的物理意義是由批量測(cè)量值無法唯一確定狀態(tài)參數(shù)，也就是由同樣的輸出可獲得多個(gè)不同狀態(tài)值，即存在狀態(tài)的多解性。當(dāng)真實(shí)狀態(tài)參數(shù)為根據(jù)輸出可獲得多個(gè)狀態(tài)參數(shù)，除了真實(shí)狀態(tài)參數(shù)，其他的狀態(tài)參數(shù)解由其信息矩陣的零特征向量擴(kuò)張成，零特征向量可看成是狀態(tài)參數(shù)多解點(diǎn)在真實(shí)狀態(tài)點(diǎn)上的梯度。從以上推導(dǎo)可知，零特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為由該特征量可獲得多解空間。假設(shè)多解狀態(tài)參數(shù)為其中u為尺度參數(shù)，則：

令u=λ（u）-1，則可得狀態(tài)參數(shù)為的多解空間為

將式（28）代入式（12）可知，輸出與參數(shù)u是無關(guān)的，即當(dāng)真實(shí)參數(shù)的輸出y1:k與其不可觀測(cè)多解點(diǎn)的輸出是一樣的，也就是說由輸出y1:k對(duì)狀態(tài)參數(shù)的估計(jì)可以是真實(shí)狀態(tài)也可能是造成上述系統(tǒng)不可觀測(cè)的原因是系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)的估計(jì)不是由傳感器測(cè)量直接獲得，而是利用傳感器測(cè)量間接完成的，從而使得系統(tǒng)狀態(tài)出現(xiàn)多解。由式（27）給出的多解條件，其物理解釋為小目標(biāo)（磁矩m較?。⒙\(yùn)動(dòng)、近距離和大目標(biāo)（磁矩m較大）、快運(yùn)動(dòng)、大距離在傳感器處產(chǎn)生的磁場(chǎng)是一樣的。

2.2 部分參數(shù)先驗(yàn)已知下的單個(gè)靜止三分量磁傳感器模型可觀測(cè)性

在磁性目標(biāo)跟蹤應(yīng)用中，磁性目標(biāo)跟蹤的對(duì)象通常為汽車、水面艦艇、潛艇等。這些應(yīng)用場(chǎng)景中狀態(tài)參數(shù)中的部分參數(shù)是先驗(yàn)已知的，例如，汽車跟蹤過程中位置參數(shù)的正橫已知；水面艦艇跟蹤過程中，置于水底的傳感器測(cè)量深度已知。下面，在狀態(tài)參數(shù)中部分已知的條件下，分析系統(tǒng)的可觀測(cè)性。

2.2.1 位置參數(shù)r0中y0已知時(shí)系統(tǒng)的可觀測(cè)性

在汽車的跟蹤過程中時(shí)，磁傳感器通常是布放在道路的兩側(cè)。對(duì)于汽車運(yùn)動(dòng)模型中，傳感器相對(duì)于道路的距離是已知的，假若以傳感器矢量三軸方向建立跟蹤坐標(biāo)系，則狀態(tài)參數(shù)x0的位置參數(shù)r0中部分是已知的，即r0=（x0,y0,z0）T中的y0已知。下面將對(duì)y0已知時(shí)，單矢量磁傳感器定位模型的可觀測(cè)性進(jìn)行分析。

由于狀態(tài)估計(jì)解中已知y0，即r中的y=y0，又r=ur0，所以，y=y0=uy0，求解得u=1。由上可知，對(duì)于真實(shí)解r0=（x0,y0,z0）T的多解點(diǎn)x（u）=x（1）=x0，多解點(diǎn)與真實(shí)解重合，不存在其他解，即在y0已知的條件下，單矢量傳感器模型是可觀測(cè)的。

2.2.2 位置參數(shù)r0中z0已知時(shí)系統(tǒng)的可觀測(cè)性

對(duì)于水面艦艇的磁定位中，磁測(cè)系統(tǒng)通常能夠已知自身相對(duì)于水面的深度。假若以傳感器矢量三軸方向建立跟蹤坐標(biāo)系，則狀態(tài)參數(shù)x0的位置參數(shù)r0中部分是已知的，即r0=（x0,y0,z0）T中的z0已知，且z0≠0。下面，將對(duì)z0已知時(shí)，單矢量磁傳感器定位模型的可觀測(cè)性進(jìn)行分析。

同理，由 3.2.1節(jié)的證明步驟，可得x（u）=x（1）=x0，多解點(diǎn)與真實(shí)解重合，不存在其他解，即在z0已知的條件下，單矢量傳感器模型是可觀測(cè)的。對(duì)于靜止放置于水底的磁傳感器，對(duì)水面艦艇的跟蹤，深度已知z0，狀態(tài)參數(shù)的估計(jì)不會(huì)存在多解性，單矢量傳感器模型是可觀測(cè)的。

3 仿真驗(yàn)證

3.1 部分參數(shù)先驗(yàn)已知下的單個(gè)靜止三分量磁傳感器模型可觀測(cè)性

由第2節(jié)可知，單矢量磁傳感器定位模型是不可觀測(cè)的，對(duì)于初值狀態(tài)的估計(jì)存在多解，即利用相同的觀測(cè)值對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)，會(huì)出現(xiàn)多解，或者說當(dāng)由 2個(gè)不同初始狀態(tài)值生成的觀測(cè)數(shù)據(jù)是一樣的，只要初始狀態(tài)值滿足式（28）。

設(shè)置初始狀態(tài)值x0如表 1所示，采樣周期Ts=1 s，采樣點(diǎn)數(shù)N=21，生成觀測(cè)數(shù)據(jù)。再根據(jù)式（28），令u=2，則。由x（u）作為設(shè)置初始狀態(tài)值，同樣的采樣周期和采樣點(diǎn)數(shù)，生成觀測(cè)數(shù)據(jù)。如圖2所示，為x0和x（2）生成的觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，從圖中可知，2個(gè)初始狀態(tài)值生成的觀測(cè)數(shù)據(jù)是相同的，即當(dāng)利用該觀測(cè)值估計(jì)初始狀態(tài)值時(shí)，無法唯一估計(jì)狀態(tài)參數(shù)x0，會(huì)出現(xiàn)多解，即系統(tǒng)不可觀測(cè)。

表1 初始狀態(tài)參數(shù)設(shè)置Table 1 Initial state parameter setting

圖2 x0和x（2）生成的觀測(cè)數(shù)據(jù)Fig. 2 Observation data generated byx0and x（2）

為進(jìn)一步驗(yàn)證多解性，由式（12）可利用上述的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)狀態(tài)x0估計(jì)，這里可使用加權(quán)最小二乘估計(jì)：

式中，σ2為測(cè)量系統(tǒng)的噪聲方差。這里，為了驗(yàn)證系統(tǒng)的不可觀測(cè)性，暫時(shí)認(rèn)為測(cè)量系統(tǒng)不存在噪聲，則式（30）改寫為

式（29）可使用尋優(yōu)算法求解。目前，磁性目標(biāo)定位中使用較多的是文獻(xiàn)[4]中的遺傳算法。遺傳算法具有較好的全局最優(yōu)，這里將使用該方法進(jìn)行求解。

表2 單個(gè)三分量磁傳感器定位結(jié)果Table 2 Positioning results of a single three-component magnetic sensor

3.2 部分先驗(yàn)已知時(shí)系統(tǒng)可觀測(cè)性驗(yàn)證

由 2.2.2節(jié)的討論可知，在部分先驗(yàn)（參數(shù)y0或者z0）已知的條件下，系統(tǒng)是可觀測(cè)的?，F(xiàn)以水面艦艇目標(biāo)定位為例，按照3.1節(jié)中表1的初始數(shù)據(jù)生成的結(jié)果，估計(jì)過程中同樣利用式（29）-（31）進(jìn)行最小二乘估計(jì)，在求解式（29）時(shí)，使用遺傳算法進(jìn)行。得到的估計(jì)結(jié)果如表3所示，圖3為公式（31）的值隨遺傳算法迭代的變化情況。

表3 部分先驗(yàn)已知時(shí)的估計(jì)結(jié)果Table 3 Estimated results with partial priors known

從圖 3的結(jié)果可以看到，隨著迭代次數(shù)的增加，V（x0）的值逐漸收斂，越來越小，說明遺傳算法求解的值是在不斷向真實(shí)值靠近的。從表3的估計(jì)結(jié)果可知，對(duì)比真實(shí)狀態(tài)值（如表1所示），估計(jì)值和真實(shí)x0的偏差很小，幾乎相等，表明在先驗(yàn)已知的條件下，單個(gè)三分量磁傳感器定位模型是可觀測(cè)的。

圖3 V（x0）隨迭代次數(shù)的變化情況Fig. 3 V（x0）’s changes with the number of iterations

4 結(jié)束語

本文主要對(duì)單個(gè)三分量磁傳感器的定位模型建立及系統(tǒng)可觀測(cè)性 2個(gè)重要的理論問題進(jìn)行了研究，通過推導(dǎo)得到了單個(gè)三分量磁傳感器的定位模型。對(duì)于系統(tǒng)可觀測(cè)性問題，通過考察 Fisher信息矩陣的奇異性，證明了單個(gè)三分量磁傳感器的定位系統(tǒng)的不可觀測(cè)性；根據(jù)現(xiàn)實(shí)應(yīng)用情景，推導(dǎo)了在部分先驗(yàn)條件已知下的可觀測(cè)性。最后，通過仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了本文結(jié)論的正確性：1）單矢量傳感器定位模型是不可觀測(cè)；2）在部分先驗(yàn)已知的條件下，例如已知位置參數(shù)中的部分量，系統(tǒng)是可觀測(cè)的。

雖然在理論上建立了單個(gè)三分量磁傳感器定位模型并推導(dǎo)了系統(tǒng)可觀測(cè)性，但這只是解決了單矢量磁傳感器是否可觀測(cè)的問題。從本文的仿真試驗(yàn)中可以看出，利用遺傳算法對(duì)位置參數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，盡管剔除了觀測(cè)噪聲，但估計(jì)結(jié)果都會(huì)存在一定程度的偏差。這是由于遺傳算法并不能保證每次求解都能準(zhǔn)確得到高維、強(qiáng)非線性函數(shù)的最優(yōu)解。因此，需要研究針對(duì)本定位模型的適用的求解算法。本文提出的定位模型稍作修改后，便可應(yīng)用跟蹤濾波算法進(jìn)行磁性目標(biāo)的實(shí)時(shí)跟蹤。利用濾波算法跟蹤，可以在一定程度上避免觀測(cè)噪聲的影響，但是需要考慮觀測(cè)模型的高維非線性問題。要對(duì)一般的非線性濾波算法進(jìn)行改進(jìn)，才能應(yīng)用到磁性目標(biāo)跟蹤上。接下來，也將著力研究適用于單個(gè)三分量磁性目標(biāo)實(shí)時(shí)跟蹤的濾波算法。