張 鈺
(海軍研究院,上海 200235)
艦船在海上行駛時(shí),由于受到復(fù)雜海況的影響,會(huì)不斷發(fā)生搖蕩運(yùn)動(dòng),尤其是在高海況下,將對(duì)艦船的航行安全性、舒適性和作業(yè)能力有著重要影響。其中,縱搖運(yùn)動(dòng)指的是船體繞橫軸的回轉(zhuǎn)振蕩運(yùn)動(dòng),是艦船耐波性分析中的一個(gè)重要指標(biāo),是造成艦船失速、抨擊、上浪、船體結(jié)構(gòu)損傷和船員暈船的主要原因[1]。為了掌握高海況下艦船的縱搖運(yùn)動(dòng)規(guī)律并對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)報(bào),本文將基于譜分析原理和頻率響應(yīng)法對(duì)艦船的縱搖運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行分析。
本文將隨機(jī)海浪看作不同單元波的疊加,而單元諧波的組成情況可以用海浪譜來(lái)表示。在海浪理論中,譜分析主要應(yīng)用于預(yù)報(bào)海浪的運(yùn)動(dòng)、確定波浪對(duì)物體的響應(yīng)以及模擬波浪運(yùn)動(dòng)等方面[2]。
譜密度函數(shù)是運(yùn)用譜分析原理進(jìn)行海浪預(yù)報(bào)時(shí)的重要參考依據(jù),其定義方法如下:
x(t)表示隨機(jī)過(guò)程,xT(t)為其限定了定義域的函數(shù),并令其滿(mǎn)足:
根據(jù)傅里葉變換,可以將式(1)寫(xiě)為
其中,本文定義
為雙邊譜密度函數(shù),其定義域?yàn)椋?∞,∞)。由于譜密度函數(shù)與相關(guān)函數(shù)相互關(guān)聯(lián),其中從頻域角度來(lái)描寫(xiě)隨機(jī)過(guò)程的為譜密度函數(shù),而從時(shí)域角度描寫(xiě)隨機(jī)過(guò)程為相關(guān)函數(shù)。由維納-辛欽定理可知,運(yùn)用傅里葉變換可以實(shí)現(xiàn)雙邊譜密度函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的相互轉(zhuǎn)換
然而在實(shí)際應(yīng)用中,變量ω?zé)o法實(shí)現(xiàn)在(-∞,∞)內(nèi)取值,只能在(0,∞)上對(duì)雙邊譜密度函數(shù)進(jìn)行取值,此時(shí)譜密度函數(shù)即為單邊譜密度,二者關(guān)系如下:
本文中研究的譜密度函數(shù)為單邊譜密度函數(shù)。根據(jù)函數(shù)曲線(xiàn)下的面積等于隨機(jī)過(guò)程的方差這一特性,已知一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的譜密度,就可求其方差值,并根據(jù)其分布特征得到隨機(jī)過(guò)程的數(shù)據(jù),使隨機(jī)過(guò)程的預(yù)報(bào)具有確定性[3]。
海面上的艦船在不規(guī)則波浪的作用下發(fā)生運(yùn)動(dòng)的過(guò)程,可以從物理學(xué)中的能量轉(zhuǎn)換概念對(duì)其進(jìn)行解釋說(shuō)明。這種方法的基本原理為:將艦船看成一個(gè)能量轉(zhuǎn)換器,將海浪造成的不規(guī)則波ζ(t)視為輸入信號(hào),經(jīng)過(guò)其轉(zhuǎn)化為作為輸出信號(hào)y(t)的艦船的機(jī)械能,其中縱搖運(yùn)動(dòng)參數(shù)可以作為輸出信號(hào)y(t)。圖1給出了該轉(zhuǎn)換關(guān)系的示意圖。
圖1 輸入與輸出的轉(zhuǎn)換Fig. 1 Conversion of input and output
其中,一個(gè)系統(tǒng)響應(yīng)如果是可疊加的并且是齊次的,那么這個(gè)系統(tǒng)為線(xiàn)性系統(tǒng)。在分析艦船在不規(guī)則平波浪中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí),通常將船舶視為一個(gè)時(shí)間恒定的線(xiàn)性系統(tǒng)。因此當(dāng)風(fēng)浪為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程時(shí),風(fēng)浪引起艦船的運(yùn)動(dòng)也是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。由正態(tài)分布的特點(diǎn)可知,經(jīng)線(xiàn)性變換得到正態(tài)隨機(jī)過(guò)程同樣也是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。那么,如果艦船作為時(shí)間恒定的線(xiàn)性系統(tǒng),當(dāng)風(fēng)浪是正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的情況下,由此造成的船舶運(yùn)動(dòng)也是正態(tài)隨機(jī)過(guò)程,其幅值符合瑞利分布。
由于隨機(jī)海浪的影響,艦船運(yùn)動(dòng)可以用頻域范圍內(nèi)的頻率響應(yīng)法來(lái)表示。該線(xiàn)性系統(tǒng)中的輸入信號(hào)x(t)和輸出信號(hào)y(t)之間的關(guān)系,可以用常系數(shù)線(xiàn)性微分方程來(lái)表示
本文假定n≥m,-∞<t<+∞。將其進(jìn)行拉普拉斯變換可得
其中
將上式整理得
其中
H(S)為線(xiàn)性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),其特點(diǎn)為傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的特性有關(guān),而與輸入信號(hào)、輸出信號(hào)等其他因素?zé)o關(guān)。當(dāng)S為純虛數(shù)時(shí),即S=jω時(shí),式(11)可改寫(xiě)如下:
由譜分析的特點(diǎn)可知,當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)為線(xiàn)性系統(tǒng)時(shí),其中輸出的譜密度函數(shù)為輸入的譜密度函數(shù)與系統(tǒng)的響應(yīng)幅值算子的乘積,如下式所示
根據(jù)式(13)即可求得輸出信號(hào)的譜密度函數(shù),通過(guò)對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)的推導(dǎo),就可以得到作為輸出信號(hào)的艦船的縱搖運(yùn)動(dòng)規(guī)律。
這種運(yùn)動(dòng)分析方法的優(yōu)點(diǎn)為:可以通過(guò)譜密度來(lái)表示隨機(jī)過(guò)程的能量,利用頻率響應(yīng)法的原理,可以將隨機(jī)過(guò)程中的隨機(jī)海浪與其引起的艦船隨機(jī)運(yùn)動(dòng)之間的不確定關(guān)系轉(zhuǎn)化為一個(gè)確定關(guān)系,這種確定關(guān)系可以用頻率響應(yīng)函數(shù)表示。
為得到高海況下艦船縱搖運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,本文分別選取4級(jí)海況、5級(jí)海況以及6級(jí)海況3種高海況進(jìn)行分析。
為了更好地分析海上風(fēng)浪,人們根據(jù)蒲福(Beaufort)風(fēng)級(jí)表將海面風(fēng)速大小分為0-12共13個(gè)風(fēng)級(jí),將海況等級(jí)按照海面特征分為 0-9共 10級(jí)。其中4級(jí)、5級(jí)以及6級(jí)的海況等級(jí)參數(shù)見(jiàn)表1,根據(jù)這3個(gè)海況等級(jí)對(duì)應(yīng)的海面征象,根據(jù)蒲福風(fēng)級(jí)表(Beaufort)可以得出與之相對(duì)應(yīng)的海面風(fēng)級(jí),如表2所示[5]。
表1 海況等級(jí)表Table 1 Sea state scale
表2 蒲福風(fēng)級(jí)表Table 2 Beaufort scale
利用頻率響應(yīng)法來(lái)預(yù)測(cè)艦船在不規(guī)則風(fēng)浪中的縱搖特性時(shí),首先需要對(duì)艦船航行海區(qū)的風(fēng)浪譜密度進(jìn)行估算。由于實(shí)際測(cè)量某個(gè)海區(qū)的海浪譜較為困難,因此一些海洋領(lǐng)域以及船舶制造領(lǐng)域的專(zhuān)家學(xué)者根據(jù)大量的海上觀測(cè)和理論工作得到了各種海浪譜的公式,其中包括P-M譜、ITTC譜、JONSWAP譜以及方向譜等。由于目前采用的大多數(shù)標(biāo)準(zhǔn)波譜主要是基于P-M譜的形式建立,因此本文采用P-M譜對(duì)海浪進(jìn)行分析[6]。該譜由皮爾遜和莫斯克維奇根據(jù)在海上測(cè)得的大量數(shù)據(jù)分析而成,兩人于1964年提出了如下的譜公式[7]:
式中:A=0.008 1g2;B=0.74(g/U)4;g為重力加速度;U為離海面19.5 m處的風(fēng)速。本文采用式(13)作為海浪譜密度公式。
運(yùn)用切片法[8]對(duì)船舶在波中的縱搖和垂蕩的耦合運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析。
在分析船體某切片的受力前,首先對(duì)其切片的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析,當(dāng)船體作為小幅度縱搖和垂蕩運(yùn)動(dòng)時(shí),可以認(rèn)為船體切片作垂向運(yùn)動(dòng)。對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系G-XYZ中X處船體橫剖面的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析,見(jiàn)圖2所示。
切片隨重心上升了z,由于縱搖下降了-Xsinθ,近似為-Xθ。此時(shí)剖面出的波面坐標(biāo)為ζ,根據(jù)式(15)求得該剖面與波面的垂向相對(duì)位置為
圖2 船體橫剖面切片的運(yùn)動(dòng)Fig. 2 Motion of the hull cross section
當(dāng)波浪運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致切片受到外力并引起切片運(yùn)動(dòng)時(shí),在對(duì)其進(jìn)行分析時(shí)需要考慮流場(chǎng)內(nèi)史密斯效應(yīng)的影響因素[9]。本文使用等效波對(duì)其進(jìn)行計(jì)算,而不是直接用表面波的升高來(lái)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。實(shí)際應(yīng)用中,通常將等效波的深度用其切片平均的吃水深度來(lái)表示[10]。因此,若水線(xiàn)以下切片面積為S,切片寬度為2b,則平均吃水為
可知其等效波面方程為
對(duì)于切片來(lái)說(shuō),有3種流體動(dòng)力作用在垂向運(yùn)動(dòng)的切片上,其中包括流體靜力、興波阻力以及附加慣性力。
首先,考慮流體靜力,由于切片吃水的變化,單位長(zhǎng)度的上浮力為
其次,考慮興波阻力,對(duì)式(15)進(jìn)行微分可以得到切片垂向速度
當(dāng)船在以速度V在水中前進(jìn)時(shí),在半固定坐標(biāo)系上觀察船的運(yùn)動(dòng)就相當(dāng)于觀察該剖面通過(guò)空間某固定位置時(shí)的情況,即
可推導(dǎo)出
這里的阻尼力為與速度成正比的力,當(dāng)阻尼系數(shù)NH時(shí),切片上的阻尼力如下
同時(shí),還需要考慮附加慣性力對(duì)其產(chǎn)生的影響。當(dāng)切片發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí),附加質(zhì)量產(chǎn)生的動(dòng)力為
式中MH為單位切面的附加質(zhì)量。
由于動(dòng)量的變化率即為附加慣性力,因此
垂蕩力Fz以及縱搖力矩Mθ由船舶運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生,并作用在船體本身上,因此將以上計(jì)算的力沿著船體的方向從船尾至船頭做積分計(jì)算,可以求得垂蕩力Fz以及縱搖力矩Mθ的表達(dá)式:
由于物體加速度的大小與作用力成正比,同時(shí)已知船舶的慣性力與外力平衡,因此船體垂蕩和縱搖運(yùn)動(dòng)方程如下:
式中:D為排水量;IYY為縱向慣性矩。
將各力的表達(dá)式代入上式,可以得到其運(yùn)動(dòng)方程
各系數(shù)算式如下:
式中:D為排水量;V為航速;ρ為水的密度;g為重力加速度;MH為各切片的附加質(zhì)量;NH為各切片的阻尼系數(shù);b為水下面半寬;IYY為船體縱向慣性矩。
波浪對(duì)船體的水動(dòng)力系數(shù)和擾動(dòng)力矩系數(shù)如下[11]:
式中:Tm=S/2b;S為切片水下面積;k*=kcosβ,k=ω2/g表示波數(shù);∫L表示在忽略端處影響時(shí)的沿船長(zhǎng)積分。此外,在上述各表達(dá)式中假定波幅為1。
設(shè)此方程的解具有如下形式:
解得:
其中參數(shù)表達(dá)式為
當(dāng)海浪波幅為單位波幅時(shí),方程的解表示單位波幅引起的縱搖和垂蕩運(yùn)動(dòng)特性,船舶縱搖運(yùn)動(dòng)與船舶垂蕩運(yùn)動(dòng)的頻率響應(yīng)函數(shù)可以分別用幅值θ0和z0表示。
由于只需要分析船舶在漂泊狀態(tài)下的縱搖情況,因此取該狀態(tài)下的船速V=0。同時(shí)切片的附加質(zhì)量以及各切片的阻尼系數(shù)此種狀態(tài)下不是影響船舶縱搖情況的主要因素,因此對(duì)其做簡(jiǎn)化分析,取MH=0,NH=0。將上式整理化簡(jiǎn)得:
設(shè)縱搖運(yùn)動(dòng)時(shí)域函數(shù)為Sp(t),譜密度函數(shù)為Sp(ω),基于頻率響應(yīng)法可以得到輸入譜密度與輸出譜密度函數(shù)之間的關(guān)系
可推導(dǎo)出縱搖譜密度函數(shù)為
本文假定艦船縱搖角度是一個(gè)各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,切均值為0。由縱搖譜密度得出縱搖時(shí)域函數(shù)的核心為快速傅里葉變換,由于縱搖譜密度函數(shù)與其離散采樣點(diǎn)的信號(hào)頻譜具有確定關(guān)系,因此,在譜密度函數(shù)上進(jìn)行離散采樣,即可構(gòu)造出縱搖運(yùn)動(dòng)的頻譜函數(shù),再通過(guò)對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換,即可得到縱搖運(yùn)動(dòng)的時(shí)域函數(shù)。劉獻(xiàn)棟等[12]給出了譜密度與離散形式的時(shí)間信號(hào)之間的關(guān)系,如式(41)所示。
縱搖運(yùn)動(dòng)時(shí)域函數(shù)為
在選取Δt時(shí)應(yīng)注意滿(mǎn)足(其中f為最t大采樣頻率),以避免發(fā)生頻率混疊效應(yīng)。可以得到離散傅里葉變換的模值
式中:ωk=kΔω(0ω0為參考空間頻率,取ω0=0.1 s-1)。由于Xk為復(fù)數(shù),設(shè)相位角為φk,則可以得出
式中φk可以再[0,2π]內(nèi)隨機(jī)取值。對(duì)式(43)中得到的進(jìn)行補(bǔ)齊,可以得到對(duì)X進(jìn)行離散k傅里葉變換即可得到母船縱搖幅度函數(shù)ψ(t)/rad,再對(duì)其進(jìn)行弧度與角度轉(zhuǎn)換即可得到縱搖幅度的角度變化規(guī)律。
根據(jù)已知資料,某船的參數(shù)如下:船體排水量D=512 t=5 120 000 N,水的密度ρ=1 000 kg/m3,重力加速度g=9.8 m/s2,船體縱搖慣性矩IYY=1.1428×1013kg·mm2,水線(xiàn)面寬度b=50 m。在考慮波動(dòng)引起切片的受力時(shí),在工程計(jì)算中,一般取切片平均吃水作為等效波的深度。由該船參數(shù)可知Tm=2.464 m,浪向角β=0°,波數(shù)k=k*=ω2/g,船長(zhǎng)L=55.15 m。
根據(jù)上述海況條件,基于MATLAB軟件對(duì)某型艦船進(jìn)行縱搖運(yùn)動(dòng)仿真。取采樣頻率f=50 Hz,分別對(duì)4級(jí),5級(jí)和6級(jí)海況下UUV的縱搖幅度進(jìn)行隨機(jī)仿真,得到如下結(jié)果,如圖3-5所示。其橫坐標(biāo)為時(shí)間t/s,縱坐標(biāo)為縱搖幅度的角度值Ψ(t)/(°)。
圖3 4級(jí)海況下艦船縱搖幅度Fig. 3 UUV pitch amplitude at sea state 4
圖4 5級(jí)海況下艦船縱搖幅度Fig. 4 UUV pitch amplitude at sea state 5
圖5 6級(jí)海況下艦船縱搖幅度Fig. 5 UUV pitch amplitude at sea state 6
為了驗(yàn)證縱搖運(yùn)動(dòng)仿真的準(zhǔn)確性,本文利用由圖 3-5中縱搖幅度時(shí)域函數(shù)求得的縱搖譜密度函數(shù)與根據(jù)相關(guān)參數(shù)計(jì)算得到的縱搖譜密度函數(shù)Sp1(ω)、Sp2(ω)、Sp3(ω)進(jìn)行對(duì)比。對(duì)比結(jié)果如圖 6-8所示。其中直線(xiàn)表示由已知參數(shù)求出的縱搖譜密度函數(shù),星號(hào)表示由縱搖時(shí)域函數(shù)得到的縱搖運(yùn)動(dòng)譜密度函數(shù)??梢?jiàn):在 3組對(duì)比圖中,2種方法得到的縱搖譜密度函數(shù)擬合程度較高,因此可以驗(yàn)證 3組仿真具有準(zhǔn)確性。
圖6 4級(jí)海況下縱搖譜密度對(duì)比圖Fig. 6 Roll spectrum density contrast chart at sea state 4
圖7 5級(jí)海況下縱搖譜密度對(duì)比圖Fig. 7 Roll spectrum density contrast chart at sea state 5
圖8 6級(jí)海況下縱搖譜密度對(duì)比圖Fig. 8 Roll spectrum density contrast chart at sea state 6
在高海況下,海況等級(jí)對(duì)艦船縱搖影響顯著。其中,海況等級(jí)越高,艦船縱搖的角度值就越大。該艦船的縱搖預(yù)報(bào)結(jié)果為:在4級(jí)海況下,母船縱搖的幅度在±6°之間;在 5級(jí)海況下,母船縱搖的幅度在±15°之間;在6級(jí)海況下。母船縱搖幅度可以達(dá)到±30°之間。
本文研究了高海況下艦船的縱搖運(yùn)動(dòng)規(guī)律,基于譜分析原理和頻率響應(yīng)法對(duì)艦船的縱搖運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行分析,并對(duì)某型艦船在特定海況等級(jí)下的縱搖幅度進(jìn)行仿真,依據(jù)仿真結(jié)論對(duì)其縱搖幅度進(jìn)行預(yù)報(bào),為分析艦船在復(fù)雜海況下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律提供了一種研究思路??偟膩?lái)說(shuō),本文僅在理論層面對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了初步研究,真實(shí)海況條件遠(yuǎn)比本文所分析的情況復(fù)雜得多,為獲取更全面的復(fù)雜海況下艦船運(yùn)動(dòng)規(guī)律,我們建議通過(guò)實(shí)驗(yàn)室模擬和實(shí)船海試等方式開(kāi)展進(jìn)一步的分析與研究。