王任 劉勝 張默然 王秉中

(電子科技大學(xué)應(yīng)用物理研究所, 成都 610054)

1 引 言

無源麥克斯韋方程組是描述自由空間電磁場(chǎng)的基本方程, 平面波、X 波、貝塞爾波束、高斯脈沖和艾里脈沖等是麥克斯韋方程組的典型解[1?5]. 這些解對(duì)應(yīng)的電磁場(chǎng)是典型的橫波, 即傳播方向的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量均為0. 而且, 這些解具有空時(shí)可分離特性, 即可以寫成獨(dú)立空間函數(shù)和獨(dú)立時(shí)間函數(shù)的乘積[6,7]. 然而, Brittingham[8]和Ziolkowski 等[9,10]發(fā)現(xiàn), 麥克斯韋方程組有一類有限能量解和上述典型解具有明顯區(qū)別, 其空間函數(shù)和時(shí)間函數(shù)因具有內(nèi)在聯(lián)系而無法分離, 被稱為電磁定向能量脈沖串(electromagnetic directed energy pulse trains,EDEPTs). 隨后, 學(xué)者們發(fā)現(xiàn)了一系列EDEPTs,包括調(diào)制功率譜脈沖(modified power spectrum pulses)[9]、方位角依賴脈沖 (pulses with azimuthal dependence)[11]以及單周期電磁脈沖(single-cycle electromagnetic pulses)[12,13]等. 這些有限能量脈沖形態(tài)各異, 但都是麥克斯韋方程組的嚴(yán)格解.

在單周期電磁脈沖中, 有一種脈沖因其奇特的形態(tài)引起了學(xué)者們的關(guān)注, 即電磁飛環(huán)(flying electromagnetic toroid, FET), 也稱飛翔的電磁甜 甜 圈 (flying electromagnetic doughnut)或 聚焦的電磁甜甜圈(focused electromagnetic doughnut)[12?15]. 近期研究表明, 電磁飛環(huán)具有空時(shí)不可分離特性、寬頻譜特性、有限能量非衍射特性及能量回流特性[14?17]. 尤其引人注目的是, 電磁飛環(huán)具有超環(huán)面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu), 該拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有與電磁飛環(huán)傳播方向平行的場(chǎng)分量, 即縱向場(chǎng)分量[14?16]. 因?yàn)槌h(huán)面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和縱向場(chǎng)分量的存在, 電磁飛環(huán)在粒子加速和特殊場(chǎng)激勵(lì)方面具有重要潛在應(yīng)用[12?15].2017 年, Raybould 等[18]發(fā)現(xiàn)電磁飛環(huán)可以在介質(zhì)球內(nèi)同時(shí)激勵(lì)起電偶極子模式和超環(huán)偶極子(toroidal dipole)模 式, 并 由 此 激 勵(lì) 起 著 名 的Anapoles 非輻射模式, 為研究場(chǎng)與物質(zhì)的相互作用提供了有效工具[19,20]. 作為應(yīng)用和產(chǎn)生電磁飛環(huán)的基礎(chǔ), 對(duì)其特性的研究尤為重要. 如前文所述,學(xué)者們已經(jīng)研究了電磁飛環(huán)的基本傳播特性, 發(fā)現(xiàn)了電磁飛環(huán)具有一個(gè)“聚焦范圍”, 在此范圍內(nèi)具有很多新奇特性[12?17].

本文通過理論計(jì)算對(duì)電磁飛環(huán)的傳播特性進(jìn)行了深入研究. 通過討論電磁飛環(huán)橫向和縱向場(chǎng)分量的空間分布和頻譜特征, 發(fā)現(xiàn)電磁飛環(huán)在“聚焦范圍”內(nèi)保持超環(huán)面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)傳播的同時(shí), 也會(huì)緩慢向外發(fā)散, 即電磁飛環(huán)具有緩擴(kuò)散傳播特性. 本文的研究為電磁飛環(huán)的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ).

2 電磁飛環(huán)的緩擴(kuò)散傳播特性

電磁飛環(huán)具有橫磁(TM)和橫電(TE)兩種形式. TM 電磁飛環(huán)的磁場(chǎng)在與傳播方向垂直的面上呈環(huán)形, 其電場(chǎng)繞磁場(chǎng)旋轉(zhuǎn), 整體呈現(xiàn)一種超環(huán)面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu), 如圖1 所示. 在柱坐標(biāo)系下, 沿z方向傳播的TM 電磁飛環(huán)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)可以表示為[12]:

式中,τ=z ?ct,σ=z+ct,q1表示電磁飛環(huán)脈沖的有效波長(zhǎng),q2表示電磁飛環(huán)的聚焦范圍,q1?q2. 有效波長(zhǎng)指的是電磁飛環(huán)在傳播方向上所覆蓋的空間范圍, 聚焦范圍指的是電磁飛環(huán)傳播過程中發(fā)散速度較慢的空間范圍. 當(dāng)|z|>q2時(shí), 電磁飛環(huán)以與高斯脈沖相同的方式傳播, 其有效波長(zhǎng)為q1, 瑞利(Rayleigh)長(zhǎng)度為q2. TM 電磁飛環(huán)的電場(chǎng)既有橫向場(chǎng)分量Eρ, 又有縱向場(chǎng)分量Ez, 而其磁場(chǎng)只有橫向場(chǎng)分量Hφ. TE 電磁飛環(huán)與TM 電磁飛環(huán)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相同, 電場(chǎng)和磁場(chǎng)位置互換. 從(1)式—(3)式可知, 根據(jù)方程的實(shí)部和虛部可以分別構(gòu)建兩種不同的脈沖. 這兩種脈沖都是麥克斯韋方程組的精確解. 實(shí)部對(duì)應(yīng)的脈沖具有周期電場(chǎng)和單周期磁場(chǎng), 虛部對(duì)應(yīng)的脈沖具有單周期電場(chǎng)和周期磁場(chǎng)[14]. 因此, 我們將(1)式—(3)式實(shí)部和虛部對(duì)應(yīng)的脈沖分別稱為周期脈沖和單周期脈沖. 由于古伊相移作用, 單周期脈沖和周期脈沖會(huì)在傳播過程中逐漸相互轉(zhuǎn)化[12,13]. 不失一般性地, 在本文中我們以(1)式—(3)式的實(shí)部為例,對(duì)TM 電磁飛環(huán)的縱向場(chǎng)分量和橫向場(chǎng)分量進(jìn)行理論研究. 通過對(duì)方程中的時(shí)間變量t賦不同的值, 可以計(jì)算出電磁飛環(huán)在傳播到不同位置時(shí)的場(chǎng)分布、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及頻譜分布, 從而在理論上準(zhǔn)確研究電磁飛環(huán)的傳播特性.

圖1 TM 電磁飛環(huán)示意圖Fig. 1. Schematic of TM FET.

考慮參數(shù)為q2= 100q1的TM 電磁飛環(huán), 根據(jù)(1)式—(3)式畫出其在t= 0 時(shí)刻的場(chǎng)分布, 如圖2 所示.電磁飛環(huán)的各場(chǎng)分量在垂直于傳播方向(z方向)的面上(xy面)都是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的. 縱向電場(chǎng)Ez在z= 0 附近沿+z方向, 在r= 0 處(即x= 0,y= 0)場(chǎng)值最大. 隨著r增大, 場(chǎng)值逐漸減小, 而后電場(chǎng)方向反轉(zhuǎn), 變?yōu)檠亘Cz方向. 在z= 0 平面,橫向電場(chǎng)Er與橫向磁場(chǎng)Hq場(chǎng)值均為0. 無論z取何值,Er與Hq在r= 0 處的場(chǎng)值均為零, 隨著r的增大, 場(chǎng)值逐漸增加到最大值, 再逐漸減小為零.

在t= 0 時(shí)刻, 上述電磁飛環(huán)的縱向電場(chǎng)Ez的最大值位于直線r= 0 上, 橫向電場(chǎng)Er的最大值位于柱面r= 4.5q1上, 這兩個(gè)位置上的場(chǎng)分量如圖3 所示. 由圖可知, 在直線r= 0 上,Ez的最大值位于z= 0 處, 此處Er恒為零. 在柱面r=4.5q1上, 橫向電場(chǎng)Er的最大值和最小值分居z= 0兩側(cè), 即橫向電場(chǎng)Er在z= 0 處改變方向; 縱向電場(chǎng)Ez在柱面r= 4.5q1上的最大值仍位于z= 0處, 即Er的0 值位置.

圖2 電磁飛環(huán)在t = 0 時(shí)刻的場(chǎng)分布 (a) y = 0 平面Ez; (b) y = 0 平面Er; (c) y = 0 平面Hq; (d) z = 0 平面Ez; (e) z = –q1 平面Er; (f) z = –q1 平面HqFig. 2. Field distribution of the FET when t = 0: (a) Ez on the y = 0 plane; (b) Er on the y = 0 plane; (c) Hq on the y = 0 plane;(d) Ez on the z = 0 plane; (e) Er on the z = –q1 plane; (f) Hq on the z = –q1 plane.

圖3 在t = 0 時(shí)刻的z 方向上的場(chǎng)分布 (a) 直線r = 0 處; (b) 柱面r = 4.5q1 上直線(x = 4.5q1, y = 0)處Fig. 3. Field distribution along z direction when t = 0: (a) on the line r = 0; (b) on the line (x = 4.5q1, y = 0) of cylindrical surface r = 4.5q1.

圖2和圖3 討論了t= 0 時(shí)刻電磁飛環(huán)的拓?fù)涮卣? 值得說明的是, 電磁飛環(huán)的特性是隨著傳播過程不斷變化的. 當(dāng)上述TM 電磁飛環(huán)沿+z方向傳播時(shí), 其中心(即縱向場(chǎng)Ez最大值所在的位置)以光速向+z方向移動(dòng). 為了研究電磁飛環(huán)傳播過程中結(jié)構(gòu)的發(fā)散情況, 我們根據(jù)(1)式—(3)式理論計(jì)算了電磁飛環(huán)傳播到各位置處的場(chǎng), 并提取了每個(gè)傳播狀態(tài)下電磁飛環(huán)中心平面上的場(chǎng)值. 隨著電磁飛環(huán)的傳播, 即(1)式—(3)式中t 的增加,縱向場(chǎng)Ez和橫向電場(chǎng)Er的變化如圖4 所示. 圖4的縱坐標(biāo)為傳播過程中電磁飛環(huán)中心在z 軸上的位置, 色值表示電磁飛環(huán)中心移動(dòng)時(shí)縱向場(chǎng)Ez和橫向電場(chǎng)Er最大值所在的水平面(xy 面)上的場(chǎng)分布. 從圖中可以看出, 在電磁飛環(huán)傳播過程中,縱向場(chǎng)Ez的最大值始終位于直線r = 0 上, 且隨著傳播過程逐漸減小. 當(dāng)電磁飛環(huán)的中心位于z = 0處時(shí), 橫向場(chǎng)分量Er的最大值在r = 4.5q1處, 隨著電磁飛環(huán)的傳播, Er的最大值逐漸向外移動(dòng). 當(dāng)電磁飛環(huán)傳播到z = q2= 100q1時(shí), 橫向場(chǎng)分量Er的最大值移動(dòng)至大約r = 10q1處. 這表明, 即使在一般認(rèn)為的聚焦區(qū)域q2(或稱非衍射區(qū)域)內(nèi)[12?15], 電磁飛環(huán)也是不斷向外擴(kuò)散的, 只是擴(kuò)散的范圍較小, 即電磁飛環(huán)具有緩擴(kuò)散傳播特性. 以電磁飛環(huán)中心位于z = 0 面上時(shí)其 Eρ分量最大值的 ρ 坐標(biāo)為基準(zhǔn)(擴(kuò)散0%), 電磁飛環(huán)傳輸距離(z 坐標(biāo), 以q1為單位)與環(huán)半徑( ρ 坐標(biāo), 以q1為單位)的擴(kuò)散關(guān)系如表1 所示. 值得說明的是, 電磁飛環(huán)在z < q2范圍內(nèi)雖然會(huì)緩慢擴(kuò)散, 但其各場(chǎng)分量的相對(duì)位置并沒有發(fā)生改變, 也就是說其仍然能夠維持超環(huán)面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).

圖4 電磁飛環(huán)在傳播過程中場(chǎng)分布的演化 (a) 縱向電場(chǎng)Ez; (b)橫向電場(chǎng)Er, 黑線表示電磁飛環(huán)傳播到不同位置時(shí)橫向電場(chǎng)最大值所在位置Fig. 4. Evolution of the field distribution of FET: (a) Longitudinal electric field Ez; (b) transverse electric field Er, the black line indicates the position of maximum transverse electric field when the FET propagates to different positions.

為了更清晰地展示電磁飛環(huán)的緩擴(kuò)散傳輸特性, 我們分別使用線性方程和對(duì)數(shù)方程對(duì)其傳播到不同位置時(shí)橫向電場(chǎng)最大值所在的位置軌跡進(jìn)行了擬合,zq2區(qū)間的線性擬合曲線和對(duì)數(shù)擬合曲線分別為(6)式和(7)式, 擬合的決定系數(shù)記為R2, 擬合曲線與理論計(jì)算曲線的對(duì)比如圖5 所示. 由擬合結(jié)果可知, 當(dāng)zq2時(shí), 電磁飛環(huán)傳播到不同位置時(shí)橫向電場(chǎng)最大值所在的位置軌跡與線性曲線更吻合. 也就是說, 電磁飛環(huán)在初始傳播階段發(fā)散非常緩慢, 在傳播較遠(yuǎn)距離后接近線性發(fā)散.

表1 電磁飛環(huán)傳輸距離z 與環(huán)半徑r 的擴(kuò)散關(guān)系Table 1. Relation between propagation distance and toroid radius of FET.

圖5 電磁飛環(huán)傳播到不同位置時(shí)橫向電場(chǎng)最大值所在位置 (a) z < q2; (b) z > q2Fig. 5. Position of maximum transverse electric field when the FET propagates to different positions: (a) z < q2; (b) z > q2.

前文已經(jīng)從時(shí)域討論了電磁飛環(huán)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和傳播特性, 接下來展示電磁飛環(huán)的頻域特性. 根據(jù)(1)式—(3)式, 在空間中各點(diǎn)提取電磁飛環(huán)傳播過程中經(jīng)過該點(diǎn)的場(chǎng)值, 即獲得該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的電磁飛環(huán)的時(shí)域信號(hào), 然后對(duì)該信號(hào)做傅里葉變換, 即可得到電磁飛環(huán)在該位置處的頻譜. 在z= 0 平面上記錄電磁飛環(huán)各分量對(duì)應(yīng)的時(shí)域場(chǎng)并做傅里葉變換, 得到的頻譜分布如圖6 所示. 由圖可知, 縱向電場(chǎng)Ez的頻譜在所有頻點(diǎn)的最大值均位于r=0 處. 隨著r的增大, 縱向場(chǎng)分量Ez各頻點(diǎn)的譜值先減小后增加, 在頻譜圖上形成一條譜值為零的帶狀區(qū)域. 橫向電場(chǎng)Er的頻譜在r= 0 處為零, 隨著r的增大, 各頻點(diǎn)的值先增大后減小. 比較電磁飛環(huán)的橫向電場(chǎng)和縱向電場(chǎng)的空間分布可以知道,各頻點(diǎn)的電場(chǎng)均在r= 0 附近沿z方向穿過電磁飛環(huán)的中心, 然后沿r方向逐漸變?yōu)闄M向場(chǎng), 再經(jīng)由電磁飛環(huán)外邊緣(即r較大的位置)演變?yōu)檠貁方向的縱向場(chǎng), 由此形成電場(chǎng)閉環(huán), 即形成圖1所示的超環(huán)結(jié)構(gòu).

圖6 電磁 飛 環(huán) 經(jīng) 過z = 0 平 面 時(shí)的 歸 一 化 頻 譜分 布(a)縱向電場(chǎng)Ez; (b)橫向電場(chǎng)ErFig. 6. Normalized spectrum distribution when the FET propagates through the z = 0 plane: (a) Longitudinal electric field Ez; (b) transverse electric field Er.

從圖6(a)可以, 縱向電場(chǎng)Ez的頻譜在各個(gè)頻點(diǎn)的最大值的位置都為r= 0, 那么橫向電場(chǎng)Er頻譜在各個(gè)頻點(diǎn)的最大值的位置是否保持不變呢? 答案是否定的. 在上述q2= 100q1的TM 電磁飛環(huán)傳播過程中, 計(jì)算垂直于傳播方向的每個(gè)面的頻譜, 并記錄各個(gè)頻點(diǎn)最大值的坐標(biāo), 如圖7 所示.圖7 中最外側(cè)曲線對(duì)應(yīng)頻率為c/15q1的最大值的坐標(biāo), 越往內(nèi)側(cè)的曲線頻率越高, 最內(nèi)側(cè)曲線對(duì)應(yīng)頻率為c/q1的最大值的坐標(biāo). 每一個(gè)頻點(diǎn)的最大值坐標(biāo)都隨著z增大(即隨著電磁飛環(huán)的傳播)逐漸向外移動(dòng), 并且頻率越低的曲線向外偏轉(zhuǎn)的幅度越大. 這表明即使在z

圖7 橫向電場(chǎng)Er 各個(gè)頻點(diǎn)最大值的位置曲線Fig. 7. Position curves of maximum value of each frequency of the transverse electric field Er.

3 結(jié) 論

本文通過理論計(jì)算揭示了電磁飛環(huán)的緩擴(kuò)散傳播特性. 電磁飛環(huán)的超環(huán)面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在傳輸過程中的穩(wěn)定性可以為粒子加速、特殊多極子激勵(lì)等應(yīng)用提供有力支持[12,18], 而本文的研究為這些應(yīng)用提供了重要參考. 例如, 在粒子加速應(yīng)用中, 要精確計(jì)算場(chǎng)與粒子的作用力, 電磁飛環(huán)的緩擴(kuò)散傳輸特性是必須加以考慮的; 在激勵(lì)A(yù)napole 等模式時(shí),因?yàn)榫彅U(kuò)散傳輸特性的存在, 電磁飛環(huán)起始位置與目標(biāo)激勵(lì)區(qū)域的距離將影響場(chǎng)激勵(lì)的效果. 當(dāng)前,關(guān)于電磁飛環(huán)特性的理論研究日趨完善, 要在實(shí)際系統(tǒng)中應(yīng)用電磁飛環(huán)的諸多新奇特性, 則必須將電磁飛環(huán)實(shí)際產(chǎn)生出來. 因此, 如何產(chǎn)生電磁飛環(huán)將成為后續(xù)研究需要關(guān)注的重點(diǎn).

感謝英國(guó)南安普頓大學(xué)Nikolay I. Zheludev 教授的指導(dǎo).