王 盟， 余 粟， 馮益林

（1 上海工程技術(shù)大學(xué) 電子電氣工程學(xué)院， 上海201620； 2 上海工程技術(shù)大學(xué) 工程實(shí)訓(xùn)中心， 上海201620）

0 引 言

熱泵電機(jī)是熱泵機(jī)組工作的核心部件，其運(yùn)行狀態(tài)直接決定熱泵機(jī)組的工作質(zhì)量。 所以熱泵電機(jī)的振動(dòng)信號(hào)獲取與分析是保證穩(wěn)定運(yùn)行的重要環(huán)節(jié)。 由于其位于熱泵機(jī)組的內(nèi)部，而且工作環(huán)境較為惡劣，使得監(jiān)控過(guò)程中獲取的信號(hào)包含了噪聲干擾，呈現(xiàn)出非平穩(wěn)時(shí)變特點(diǎn)。

小波閾值降噪方法能夠在減少誤差的同時(shí)保留更多有用的信號(hào)，被廣泛應(yīng)用于非平穩(wěn)時(shí)變系統(tǒng)。在傳統(tǒng)的小波閾值函數(shù)中：硬閾值函數(shù)降噪一般會(huì)產(chǎn)生相對(duì)較小的均方根誤差，但具有不連續(xù)性，處理信號(hào)時(shí)會(huì)產(chǎn)生跳變。 軟閾值函數(shù)整體連續(xù)，處理之后的信號(hào)較為平滑，但在重構(gòu)信號(hào)時(shí)會(huì)產(chǎn)生恒定偏差，造成原信號(hào)過(guò)度失真。 文獻(xiàn)［5］中提出了含有e指數(shù)的新閾值函數(shù)，但不含調(diào)節(jié)因子，不能實(shí)現(xiàn)靈活去噪。 文獻(xiàn)［6］中提出含有調(diào)節(jié)因子a、b 的改進(jìn)閾值函數(shù)，可以靈活調(diào)節(jié)適應(yīng)含噪信號(hào)，但計(jì)算量較大，數(shù)據(jù)處理較為困難。 另外，在實(shí)際信號(hào)處理過(guò)程中，隨著分解尺度的增加，要求噪聲引起的小波系數(shù)逐漸降低［2］，如果選擇固定閾值，就會(huì)導(dǎo)致信號(hào)失真嚴(yán)重。 對(duì)此，文獻(xiàn)［7－8］中提出了多尺度閾值去噪方法，具有較大的參考價(jià)值。

本文針對(duì)軟、硬閾值存在的不足，與多尺度的閾值相結(jié)合，提出了一種改進(jìn)的新閾值函數(shù)。 新閾值函數(shù)引入了可調(diào)因子m 和n，不僅解決了傳統(tǒng)閾值函數(shù)存在的不連續(xù)性和恒等差問(wèn)題，而且使得計(jì)算量相對(duì)減少。 將此閾值函數(shù)應(yīng)用于熱泵電機(jī)信號(hào)的降噪處理中，在保留更多特征信息的基礎(chǔ)上，取得了較好的濾噪效果。

1 小波閾值去噪原理及計(jì)算

1.1 小波閾值去噪原理

小波閾值去噪的原理是先設(shè)定一個(gè)閾值λ， 假如小波系數(shù)小于λ，就把這個(gè)系數(shù)認(rèn)定為噪聲產(chǎn)生的，將之消除；反之小波系數(shù)大于λ，就把該系數(shù)認(rèn)定為信號(hào)產(chǎn)生的，將之保留。 最后采取小波逆變換對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，得到去噪后的信號(hào)。 假設(shè)含噪的電機(jī)振動(dòng)信號(hào)滿足f（t）＝f＾（t） ＋ω（t）。 其 中，f（t） 為原始標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)，ω（t） 為噪聲信號(hào)。 小波閾值降噪步驟如圖1 所示。

圖1 小波閾值降噪流程Fig.1 Wavelet threshold noise reduction process

1.2 常見(jiàn)的閾值和閾值函數(shù)

閾值和閾值函數(shù)的選取直接決定信號(hào)去噪的效率。 目前常見(jiàn)的閾值選擇方法有：極值閾值估計(jì)、無(wú)偏似然估計(jì)、固定閾值估計(jì)以及啟發(fā)式估計(jì)等［10］。前2 種方法可以將少量分布在高頻部分的微弱信號(hào)提取出來(lái)，但是降噪效果卻相對(duì)較低。 而后2 種方法降噪效果較高，卻易于把有用信號(hào)當(dāng)做噪聲消除。一般情況下多選擇固定閾值估計(jì)方法。

常用的閾值函數(shù)有軟閾值和硬閾值函數(shù)。 其定義如下：

軟閾值函數(shù)定義：硬閾值函數(shù)定義：

由公式可知硬閾值函數(shù)在閾值λ 處不連續(xù)，導(dǎo)致較大的均方誤差和波形震蕩，不具有原始信號(hào)的平滑性。 軟閾值函數(shù)是連續(xù)的，但處理前后存在固定的偏差，在產(chǎn)生較大誤差的同時(shí)也會(huì)造成部分有用信息的丟失。

2 改進(jìn)閾值函數(shù)

2.1 一種新的閾值函數(shù)

為克服傳統(tǒng)閾值函數(shù)存在的恒等差和不連續(xù)問(wèn)題，文獻(xiàn)［5］在軟、硬閾值折中函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種新的小波閾值函數(shù)：

此式解決了恒等差和不連續(xù)的問(wèn)題，卻不含調(diào)節(jié)因子，因此不能動(dòng)態(tài)調(diào)整。 為此本文提出引入調(diào)節(jié)因子m 和n，得到新公式：

其中， a ＝e－n（1－m）（｜wj，k｜－λ）； 可調(diào)因子m ∈［0，1］； n 取正數(shù)。

新閾值的特征如下：

（1）改進(jìn)的閾值函數(shù)具有連續(xù)性。

當(dāng)λ ｜ωj，k｜→λ＋時(shí)：

當(dāng)｜ωj，k｜→λ－時(shí)：

即證明，新的閾值函數(shù)在λ 處連續(xù)。

（2）改進(jìn)的閾值函數(shù)具有漸進(jìn)性。 驗(yàn)證如下：

（3）改進(jìn)的閾值函數(shù)偏差性較小。 驗(yàn)證如下：

同理，

上式證明，隨著小波系數(shù)的增大，二者之間的差距會(huì)逐漸減小，解決了軟閾值的固有缺陷。

改進(jìn)的閾值函數(shù)與軟硬閾值函數(shù)對(duì)比如圖2 所示，由圖可知新閾值函數(shù)既解決了軟閾值函數(shù)恒等差問(wèn)題，也克服了硬閾值函數(shù)在λ 處不連續(xù)的缺點(diǎn)。

圖2 新閾值函數(shù)與軟硬閾值函數(shù)對(duì)比Fig.2 Comparison of the new threshold function and the soft and hard threshold function

2.2 可調(diào)因子的取值分析

令m ＝1，n ＝1，新閾值函數(shù)可演變?yōu)檐涢撝岛瘮?shù)；令n →∞，則其可變?yōu)橛查撝岛瘮?shù)。 這證明新閾值函數(shù)具有可調(diào)性，通過(guò)改變m 和n 的取值以適應(yīng)實(shí)際信號(hào)噪聲變化［4］，最終實(shí)現(xiàn)優(yōu)化的目標(biāo)。 通過(guò)多組實(shí)驗(yàn)計(jì)算對(duì)比，對(duì)小于60 dB 的噪聲去噪，當(dāng)m＝0.83，n ＝6 時(shí)，可以取得最佳的降噪效果；對(duì)大于60 dB 的噪聲去噪，當(dāng)m ＝0.89，n ＝7 時(shí)，可以取得最佳的降噪效果。

2.3 確定最優(yōu)閾值

傳統(tǒng)小波閾值一般采用固定值，而實(shí)際降噪時(shí)小波系數(shù)與分解尺度成反比。 即分解尺度增大，小波系數(shù)隨之變小。 為適應(yīng)此規(guī)律，以達(dá)到保留更多有用信號(hào)的目的，要求應(yīng)選取多尺度小波閾值。 為節(jié)省計(jì)算時(shí)間，本文采用文獻(xiàn)［7］中的小波閾值選取方法。 張振鳳在文獻(xiàn)［7］中基于lipschitz 指數(shù)論證了第j ＋1層小波系數(shù)約為第j 層的倍，提出了：

3 實(shí)驗(yàn)仿真

為驗(yàn)證改進(jìn)算法的效果，首先設(shè)置原始含噪信號(hào)為x（t） ＝10sin（0.32t） ＋noise（t） ，其中t 屬于［0，500］，noise（t） 為Gauss 噪聲。 分別采用軟閾值函數(shù)、硬閾值函數(shù)、文獻(xiàn)［5］中的閾值函數(shù)和改進(jìn)的新閾值函數(shù)對(duì)加噪信號(hào)進(jìn)行降噪處理，降噪效果如圖3 所示。 其中圖3（a）為結(jié)合固定閾值的實(shí)驗(yàn)效果，圖3（b）為結(jié)合多尺度閾值的實(shí)驗(yàn)效果。 由圖3可以看出改進(jìn)后的新閾值函數(shù)降噪信號(hào)，即圖3（b）中（f）的波形最接近原始信號(hào)波形，其信噪比為18.37，相比于其它幾種降噪方法，信噪比約提高了7%～15%，由此驗(yàn)證了改進(jìn)算法具有較高實(shí)效性。

圖3 對(duì)加噪的正弦信號(hào)降噪處理實(shí)驗(yàn)效果Fig.3 Experimental effect of noise reduction processing on sine signal with noise added

以山東長(zhǎng)清工業(yè)園區(qū)某辦公樓的地源熱泵機(jī)組集成監(jiān)控系統(tǒng)中的電機(jī)軸承振動(dòng)信號(hào)為例。 熱泵電機(jī)的轉(zhuǎn)速為3 000 r／min，采樣頻率為f1＝20 KHz。待熱泵機(jī)組平穩(wěn)運(yùn)行后，通過(guò)加速度傳感器對(duì)電機(jī)軸承采集800 個(gè)采樣點(diǎn)。 由于采集的熱泵電機(jī)軸承振動(dòng)信號(hào)較弱，添加50 dB 高斯噪聲以貼近真實(shí)情況。 對(duì)熱泵電機(jī)振動(dòng)信號(hào)采用sym5 小波基函數(shù)，進(jìn)行4 層小波分解。

為證實(shí)結(jié)合多尺度閾值改進(jìn)的新閾值函數(shù)在熱泵電機(jī)振動(dòng)信號(hào)降噪中的高效性，采用各閾值函數(shù)分別結(jié)合固定閾值和多尺度閾值對(duì)采集的電機(jī)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行降噪處理仿真。 各閾值函數(shù)結(jié)合固定閾值降噪效果如圖4 所示，各閾值函數(shù)結(jié)合多尺度閾值降噪效果如圖5 所示。

圖4 結(jié)合固定閾值降噪效果Fig.4 Noise reduction effect combined with fixed threshold

將改進(jìn)的新閾值函數(shù)降噪信號(hào)與原始含噪信號(hào)在頻域上展開(kāi)對(duì)比，如圖6 所示。 可以看出新閾值函數(shù)在頻域上能很好地保留尖峰值和突變部分，并可將噪聲引起的干擾有效地降噪處理，提高信噪比，還原度較高。

為了讓去噪效果表現(xiàn)的更直觀，此處引入數(shù)據(jù)分析的方法。 將獲取的原始信號(hào)作為標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)f（t），經(jīng)過(guò)降噪處理之后的預(yù)估信號(hào)為， 則信噪比定義如下：

原始信號(hào)和預(yù)估信號(hào)之間的均方根誤差為：

圖5 結(jié)合多尺度閾值降噪效果Fig.5 Noise reduction effect combined with multi－scale threshold

圖6 原始含噪信號(hào)和降噪信號(hào)頻譜圖對(duì)比Fig.6 Comparison of the spectrum of the original noise－containing signal and the noise－reduced signal

在降噪過(guò)程中，為衡量降噪信號(hào)的還原程度，定義維持率：

其中，SNR 為降噪后信號(hào)的信噪比， SNR?為原始信號(hào)的信噪比。KR 越大表示還原效果越好。

由式（12）、（13）、（14）可知，信噪比的值越大，均方根誤差越低，維持率越高，則預(yù)估信號(hào)就越接近于原始信號(hào)。

通過(guò)MATLAB 仿真計(jì)算后，將各種閾值函數(shù)與固定閾值結(jié)合在一起，得到數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。 將各種閾值函數(shù)與多尺度閾值結(jié)合在一起，得到數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表1 固定閾值與各種閾值函數(shù)結(jié)合降噪效果Tab.1 Noise reduction effect of fixed threshold combined with various threshold functions

表2 多尺度閾值與各種閾值函數(shù)結(jié)合降噪效果Tab.2 Multi－scale threshold combined with various threshold functions to reduce noise

由兩表對(duì)比可以看出，多尺度閾值與各種閾值函數(shù)結(jié)合降噪相比于各閾值函數(shù)與固定閾值相結(jié)合取得的信噪比略高，均方根誤差相對(duì)降低，維持率也相對(duì)提高。 證明了將多尺度閾值與改進(jìn)的新閾值函數(shù)結(jié)合的降噪方法能獲得更大的信噪比，取得了更好的降噪效果。

4 結(jié)束語(yǔ)

在熱泵機(jī)組監(jiān)控過(guò)程中，熱泵電機(jī)振動(dòng)信號(hào)的降噪具有重要意義。 本文針對(duì)軟閾值和硬閾值函數(shù)存在的不足，提出了一種結(jié)合多尺度閾值的新閾值函數(shù)。 通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，分別采用新閾值函數(shù)和軟閾值、硬閾值函數(shù)對(duì)采集的熱泵電機(jī)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行降噪處理。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了新的閾值函數(shù)在熱泵電機(jī)信號(hào)降噪過(guò)程中具有信噪比較高和均方根誤差較低的特點(diǎn)，具有重要的工程實(shí)踐意義。