張潤(rùn)雨，高 勇

(四川大學(xué) 電子信息學(xué)院，四川 成都 610065)

0 引言

直接序列擴(kuò)頻(DS-SS)采用了偽隨機(jī)序列調(diào)制，將信號(hào)所占帶寬擴(kuò)大，而且功率譜密度很低，使得直接擴(kuò)頻序列具有低截獲率和抗干擾的優(yōu)點(diǎn)，在各個(gè)方面都有廣泛應(yīng)用。

目前，已有大量文獻(xiàn)研究了短碼直接擴(kuò)頻序列的偽碼估計(jì)。文獻(xiàn)[1]提出了一種Massey算法來(lái)估計(jì)偽碼序列，但該方法在低信噪比下效果惡化。文獻(xiàn)[2-5]利用單倍周期分段構(gòu)造相關(guān)矩陣，再進(jìn)行奇異值分解或特征值分解來(lái)估計(jì)偽碼序列。文獻(xiàn)[6-8]提出了一種基于子空間跟蹤的擴(kuò)頻序列估計(jì)方法，降低了運(yùn)算量和存儲(chǔ)量。本文把采用雙倍PN碼周期分段的壓縮投影逼近子空間算法稱為DPASTd算法。文獻(xiàn)[9-14]采用二倍偽碼周期分段的方法構(gòu)造相關(guān)矩陣，再進(jìn)行奇異值分解或特征值分解來(lái)估計(jì)出PN碼。其中，文獻(xiàn)[10]的算法稱為EVD算法；文獻(xiàn)[11]的算法稱為SVD算法，得到的最大特征向量的符號(hào)函數(shù)就是要估計(jì)的PN碼。但是當(dāng)時(shí)延十分接近一周期完整擴(kuò)頻碼的首端或尾端時(shí)，就會(huì)存在最大特征向量與次大特征向量相近的酉模糊問(wèn)題。針對(duì)此問(wèn)題，本文利用分段后特征向量存在重疊的特點(diǎn)，結(jié)合最大特征向量和次大特征向量的線性關(guān)系，將相近的最大特征向量與次大特征向量明顯地區(qū)分開(kāi)來(lái)，解決之前方法存在的酉模糊問(wèn)題。理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明該算法有效。

1 信號(hào)模型

假設(shè)通過(guò)高斯白噪聲信道后，接收到的DSSS基帶信號(hào)模型為：

x(t)=s(t)+n(t)，

(1)

式中，s(t)為信息部分；n(t)為零均值、方差為σ2的高斯白噪聲部分，且

(2)

式中，{ak=±1，k∈Z}為服從等概率隨機(jī)分布的信息序列；Ts為信息符號(hào)周期(也等于PN碼周期)；τ為在[0，Ts]上均勻分布的隨機(jī)時(shí)延；h(t)為傳輸鏈路所有濾波器與一整周期擴(kuò)頻序列的卷積，即：

(3)

式中，{ci=±1，i=0，1，…，N-1}為擴(kuò)頻碼序列；p(t)為持續(xù)時(shí)間為Tc的碼片波形；Tc為擴(kuò)頻碼碼片寬度且Ts=NTc。

2 利用特征向量的重疊特性估計(jì)偽碼序列及時(shí)延

2.1 擴(kuò)頻序列估計(jì)

不失一般性，假設(shè)已從文獻(xiàn)[15-16]的方法中獲得信號(hào)的偽碼周期和碼片寬度。本文提出的算法基于與文獻(xiàn)[9-14]相同的分段方法，即以2倍信息符號(hào)周期為間隔，重疊一個(gè)信息符號(hào)周期的時(shí)間窗進(jìn)行分段。本文算法信號(hào)分段方式如圖1所示。

圖1 本文算法信號(hào)分段方式Fig.1 Signal segmentation method in the proposed algorithm

由圖1可知，按照2倍擴(kuò)頻碼周期分段，不論時(shí)延為多少，每個(gè)時(shí)間窗內(nèi)都至少包括一個(gè)完整周期的擴(kuò)頻序列，若時(shí)延不為零，則每個(gè)時(shí)間窗內(nèi)都包含3個(gè)信息符號(hào)。以碼片寬度為采樣周期對(duì)接收到的信號(hào)進(jìn)行采樣可以得到2N×1維觀測(cè)樣本矢量，則觀測(cè)樣本向量可以表示為：

x(m)=a(m-1)hL+a(m)h+a(m+1)hR+n(m)，

(4)

式中，hL表示一個(gè)時(shí)間窗內(nèi)的第一個(gè)信息符號(hào)對(duì)應(yīng)的偽碼序列；h表示一個(gè)時(shí)間窗內(nèi)的第2個(gè)信息符號(hào)對(duì)應(yīng)的偽碼序列；hR表示一個(gè)時(shí)間窗內(nèi)的第3個(gè)信息符號(hào)對(duì)應(yīng)的偽碼序列，且均被擴(kuò)展為2N×1維的向量，則hL，h，hR三者相互正交：

(5)

(6)

(7)

式中，d∈[0，N)表示傳輸時(shí)延對(duì)應(yīng)的離散采樣值。假設(shè)接收到M+1個(gè)信息碼序列，則可以得到M個(gè)x(m)，將其構(gòu)成2N×M的矩陣為：

X=[x(1)x(2) …x(M)]=

[a(0)hL+a(1)h+a(2)hR+n(1)

a(1)hL+a(2)h+a(3)hR+n(2) …

a(M-1)hL+a(M)h+a(M+1)hR+n(M)]=

hLa0+ha1+hRa2+n，

(8)

式中，n是由n(1)，n(2)，…，n(M)構(gòu)成的維度為2N×M的矩陣，

(9)

因?yàn)閍k為服從等概率隨機(jī)分布的信息序列，則aiaj(i≠j)也為服從等概率分布的、取值為±1的隨機(jī)序列[12]。所以

(10)

‖hL‖2=N-d，‖h‖2=N，‖hR‖2=d，

(11)

則可以計(jì)算接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣：

R=E{XXH}=

E{[hLa0+ha1+hRa2+n]×[hLa0+ha1+hRa2+n]H}=

E{‖a0‖2hL(hL)H+‖a1‖2hhH+‖a2‖2hR(hR)H+σ2I}=

E{MhL(hL)H+MhhH+MhR(hR)H+σ2I}。

(12)

由矩陣論知識(shí)可得出R的特征值與特征向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1所示。

表1 協(xié)方差矩陣的特征值與特征向量對(duì)應(yīng)關(guān)系

假設(shè)經(jīng)過(guò)特征值分解，得到的最大特征向量為U1、次大特征向量為U2(均為2N×1維向量)，則有：

(13)

(14)

(15)

可寫(xiě)為：

(16)

即

Uq=0，

(17)

式中，

(18)

可以由下式得到q：

(19)

表示q是UHU的最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，到此求出q，則可以根據(jù)對(duì)時(shí)延的判斷通過(guò)式(13)或式(14)來(lái)求出包含一周期完整的擴(kuò)頻序列的最大特征向量h。

2.2 時(shí)延估計(jì)

根據(jù)觀察發(fā)現(xiàn)，由于可能存在反相情況：

當(dāng)d

(20)

當(dāng)d>N/2時(shí)，

(21)

根據(jù)該結(jié)論可以大概判斷出時(shí)延的位置，就可具體確定在求出q之后是使用式(13)還是式(14)來(lái)求解最大特征向量h。求出最大特征向量后，再利用滑動(dòng)搜索法求出具體時(shí)延。

提出的擴(kuò)頻序列的估計(jì)算法步驟如下：

步驟1：對(duì)接收到的信號(hào)按照Tc進(jìn)行采樣，以2倍的擴(kuò)頻碼周期為間隔、50%的重疊率進(jìn)行分段形成2N×1維觀測(cè)樣本矢量x(m)；

步驟2：對(duì)M個(gè)x(m)構(gòu)成的2N×M矩陣X的協(xié)方差矩陣R進(jìn)行特征值分解求得最大特征向量U1、次大特征向量U2(也可直接對(duì)矩陣X進(jìn)行奇異值分解求得最大左奇異向量U1、次大左奇異向量U2，2種分解方法等效)；

步驟4：dN/2則利用式(14)，h=k1U1+k2U2；

3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在后面的仿真實(shí)驗(yàn)中，采用相關(guān)系數(shù)ρ來(lái)衡量各算法的估計(jì)性能：

ρ=abs((S-D)/(S+D))，

(22)

式中，S是估計(jì)出的擴(kuò)頻碼序列與原始的擴(kuò)頻碼序列相同的位數(shù)；D是估計(jì)出的擴(kuò)頻碼序列與原始的擴(kuò)頻碼序列不同的位數(shù)。相關(guān)系數(shù)越大，說(shuō)明估計(jì)性能越好，相關(guān)系數(shù)為1時(shí)，表明擴(kuò)頻序列全部估計(jì)正確。

3.1 實(shí)驗(yàn)1

仿真信號(hào)采用的是二進(jìn)制相移鍵控(Binary Phase Shift Keying，BPSK)調(diào)制的短碼直擴(kuò)信號(hào)，信號(hào)長(zhǎng)度是601個(gè)擴(kuò)頻周期，偽碼序列的長(zhǎng)度為100的截?cái)鄊序列，則選擇τ=2Tc作為時(shí)延接近一周期擴(kuò)頻碼的始端的情況(也可選取其他接近0的值)，信噪比(Signal-to-Noise Ratio，SNR)為-8 dB，采樣周期等于Tc。圖2～圖5是時(shí)延τ=2Tc(即d=2)時(shí)不同算法估計(jì)的最大特征向量。

圖2 EVD算法估計(jì)的最大特征向量Fig.2 Largest eigenvector estimated by EVD algorithm

圖3 SVD算法估計(jì)的最大特征向量Fig.3 Largest eigenvector estimated by SVD algorithm

圖4 DPASTd算法估計(jì)的最大特征向量Fig.4 Largest eigenvector estimated by DPASTd algorithm

圖5 本文算法估計(jì)的最大特征向量Fig.5 Largest eigenvector estimated by the proposed algorithm

根據(jù)理論分析(如式(12)推導(dǎo))最大特征向量應(yīng)該具有式(6)的形式，即前面為N-d個(gè)零值，中間是完整的一周期PN碼，后面為d個(gè)零值。然而由于噪聲干擾和時(shí)延導(dǎo)致的酉模糊，使得最大特征向量被嚴(yán)重干擾。結(jié)果表明，使用EVD、SVD、DPASTd算法得到的最大特征向量中屬于噪聲序列的部分幾乎與屬于偽碼序列部分的幅度相同，給估計(jì)出正確的偽碼序列帶來(lái)困難。而本文算法仍具有類似式(6)的形式，其中理論上應(yīng)為零值的部分在本文算法仿真下為幅度比擴(kuò)頻序列顯著小的噪聲序列，理論上不為零值的部分在仿真后是比噪聲序列顯著大的擴(kuò)頻序列，通過(guò)最大范數(shù)搜索可以正確地估計(jì)出偽碼序列，可見(jiàn)本文算法是有效的。

3.2 實(shí)驗(yàn)2

實(shí)驗(yàn)條件與實(shí)驗(yàn)1相同，在SNR=-8 dB時(shí)延τ=2Tc(選一個(gè)接近零的時(shí)延即可)情況下，對(duì)使用本文算法估計(jì)到的偽碼序列與原始偽碼序列(為方便比較將原始偽碼序列幅值縮小到0.1)進(jìn)行了比較。比較結(jié)果如圖6所示。因?yàn)闀r(shí)延τ=2Tc，一周期完整的偽碼序列位于t∈[99Tc，198Tc]之間，位于t∈[Tc，98Tc]和t∈[199Tc，200Tc]之間的是幅度接近零的噪聲序列?？梢钥闯?，使用本文算法消除了時(shí)延接近零時(shí)存在的酉模糊，可以正確估計(jì)出原始偽碼序列，估計(jì)的偽碼序列與原始偽碼序列一致。

圖6 本文算法估計(jì)PN序列與原始PN序列Fig.6 PN sequence estimated by the proposed algorithm and the original PN sequence

3.3 實(shí)驗(yàn)3

仿真分別使用EVD、SVD、DPASTd和本文算法在SNR為-20～0 dB下對(duì)PN碼進(jìn)行估計(jì)，每一個(gè)SNR使用300次蒙特卡洛仿真，其他條件與實(shí)驗(yàn)1相同。本實(shí)驗(yàn)使用的PN碼是長(zhǎng)度為100的截?cái)鄊序列，則分別選取τ=2Tc和τ=98Tc作為時(shí)延接近一周期擴(kuò)頻碼的始端和末端的情況。τ=2Tc和τ=98Tc時(shí)，各算法對(duì)PN碼的估計(jì)性能曲線圖如圖7和圖8所示。

圖7 時(shí)延τ=2Tc各算法的估計(jì)性能曲線Fig.7 Estimation performance curve of each algorithm under τ=2Tc

圖8 時(shí)延τ=98Tc各算法的估計(jì)性能曲線Fig.8 Estimation performance curve of each algorithm under τ=98Tc

由圖7和圖8可以看出，當(dāng)時(shí)延τ=2Tc和τ=98Tc時(shí)，EVD、SVD和DPASTd算法由于最大特征向量和次大特征向量存在酉模糊導(dǎo)致算法估計(jì)性能差，即使在信噪比較高的情況下也無(wú)法實(shí)現(xiàn)完全正確估計(jì)，其中DPASTd算法的效果最差，SVD算法在信噪比為-2 dB以上能夠達(dá)到正確估計(jì)。而本文算法有效消除了酉模糊，優(yōu)于其他算法，在時(shí)延接近零和接近一周期PN序列末端時(shí)具有良好的估計(jì)性能，即使在-12 dB下也能達(dá)到完全正確估計(jì)。

3.4 實(shí)驗(yàn)4

仿真評(píng)估了各算法在SNR=-10 dB，不同時(shí)延下的評(píng)估性能曲線，每一個(gè)時(shí)延使用300次蒙特卡洛仿真，其他條件與實(shí)驗(yàn)1相同。其中d=τ/Tc，圖9(a)和(b)分別是d為1～10和d為90～99的結(jié)果。

圖9 各算法在不同時(shí)延下的估計(jì)性能曲線Fig.9 Estimation performance curve of each algorithmunder different time delays

由圖可以看出，EVD、SVD、DPASTd算法在時(shí)延越接近一周期偽碼序列的始端或者末端時(shí)估計(jì)性能越差，這是由于此時(shí)最大特征向量與次大特征向量接近而存在酉模糊造成的。而本文算法克服了這一問(wèn)題，在時(shí)延接近偽碼序列的始端或末端時(shí)幾乎都能做到完全正確估計(jì)，性能總是優(yōu)于其他算法。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文方法首先按照2倍擴(kuò)頻碼周期為間隔、50%的重疊率進(jìn)行分段，對(duì)矩陣進(jìn)行奇異值分解，利用矩陣線性變換消除最大左奇異向量和次大左奇異向量之間的模糊，然后利用二者的重疊特性判斷時(shí)延大概位置，得到去模糊的最大左奇異向量，再利用最大1范數(shù)求得具體時(shí)延和PN序列。實(shí)驗(yàn)證明，本算法具有性能穩(wěn)定且抗干擾能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，解決了最大特征向量與次大特征向量接近時(shí)的酉模糊問(wèn)題。