王 舟，陳遠晟，王 浩，黃勤斌

(南京理工大學 能源與動力工程學院，江蘇 南京 210094)

0 引言

隨著精密制造和精密工程的快速發(fā)展，微米、納米級的定位技術成為目前精密加工、生物醫(yī)學、微電子等領域的關鍵性技術，如壓電陶瓷管掃描器、微夾持等[1-2]。壓電陶瓷驅動器是理想的微位移元件，具有位移特性好，體積小等優(yōu)點，但壓電材料固有的遲滯非線性特性給精密定位帶來影響[3]。

目前，國內外學者對于壓電陶瓷的遲滯特性做了大量研究，Xianfeng Song等[4]提出了一種改進的Preisach模型， 并引入了開環(huán)控制器以消除遲滯影響。 經(jīng)典的Preisach遲滯模型以積分的形式來描述遲滯特性，并且此方法還可以通過采用時間導數(shù)校正技術來處理非恒定頻率依賴性。于志亮等[5]提出一種改進的Prandtl-Ishlinskii(PI)滯后模型對壓電陶瓷執(zhí)行器的遲滯特性進行前饋逆補償，將遲滯特性線性度誤差減小到 1% 以內，實現(xiàn)線性化。

為了進一步減小壓電陶瓷的遲滯非線性，Chaoui H等[6]提出了一種具有滯后和干擾估計的壓電驅動器自適應控制策略。自適應控制法是基于Lyapunov 的自適應定律學習壓電驅動器的逆模型?？捎行У脑诜答伝芈分惺褂米赃m應估計器來估計磁滯和干擾，減小跟蹤控制誤差。Zhang Guoqing等[7]研究了由廣義PI模型描述的具有未知非平滑滯后的不確定非線性時滯系統(tǒng)的跟蹤問題。基于最小學習參數(shù)(MLP)的自適應神經(jīng)算法，保證跟蹤誤差收斂到零的小鄰域內，并且閉環(huán)系統(tǒng)的所有狀態(tài)都穩(wěn)定。胡力等[8]提出了一種最小二乘法與徑向神經(jīng)網(wǎng)絡相結合的建模方法，用最小二乘法對遲滯曲線進行多項式擬合,得到壓電執(zhí)行器的遲滯數(shù)學模型,在此基礎上再用徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡法對該模型進行優(yōu)化。最后對建立的模型進行分析發(fā)現(xiàn),用最小二乘法擬合的多項式數(shù)學模型,標準方差δ=0.059 02 μm,而利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化建模后的δ=0.016 04 μm，對遲滯曲線有較好的補償效果。

在研究壓電陶瓷的物理特性時，Ruderman等[9]探索了Maxwell-slip 模型的滯后阻尼特性?？紤]到經(jīng)典的線性粘滯阻尼和Stribeck效應，運用運動動力學分析了力-位移滯后的非線性阻尼，并分析Lyapunov穩(wěn)態(tài)特性。在此基礎上，得到模型參數(shù)并消除誤差。 最后，描述了預滑動滯后摩擦響應于零速度附近的相關實驗示例。Maxwell-slip模型是一種基于物理現(xiàn)象的遲滯模型，其具有參數(shù)少，結構簡單的優(yōu)點，但存在彈性滑塊單元的參數(shù)耦合問題，所以只能用來描述對稱遲滯曲線。雖然有一定程度的控制效果，但是在高頻條件下，模型所得誤差還是較大。

傳統(tǒng)的Preisach模型、PI模型和Maxwell-slip模型的離線辨識在單一頻率下有良好的辨識效果，本文在經(jīng)典Maxwell-slip模型的基礎上引入自適應控制算法，減小跟蹤控制誤差，所用參數(shù)更少且適用于更寬頻率，對于環(huán)境干擾能進行自動辨識，使其能夠對壓電陶瓷驅動器的遲滯現(xiàn)象進行描述，并用于實際控制系統(tǒng)中。

1 Maxwell-slip模型

若|k(z-zi)|

Fi=k(z-zi)zi不變

(1)

否則，滑塊處于滑動狀態(tài)，有

(2)

圖1 Maxwell-slip模型

由式(1)、(2)可得到第i個單元輸出力Fi，疊加到N個滑塊單元后的整個系統(tǒng)預滑動階段的輸出力為

(3)

Maxwell-slip模型的主要思想是: 假設摩擦力存在，當輸入值足夠大時，F(xiàn)與z的關系會出現(xiàn)遲滯現(xiàn)象，表現(xiàn)為平行四邊形，如圖2所示 。該彈簧阻尼系統(tǒng)的力與位移遲滯特性，與壓電陶瓷驅動器的遲滯特性接近。另外，由于該彈簧的滑塊無質量且處于并聯(lián)狀態(tài)，因此,增加N可無限逼近壓電陶瓷遲滯特性曲線精度，卻不增加模型的階數(shù)。

圖2 Maxwell-slip模型基礎單元遲滯特性

2 模型改進

若|k(z-zi)|

(4)

否則，滑塊處于滑動狀態(tài)，有：

(5)

式中wi為Fi的權值系數(shù)，疊加N個單元后的系統(tǒng)預滑動階段的輸出力為

(6)

3 自適應控制算法

圖3為遲滯逆模型控制示意圖。若模型精度足夠高，則跟蹤控制誤差e(t)為

e(t)=v(t)-x(t)=v(t)-H[y](t)=

(7)

式中：v(t)為Maxwell-slip模型的輸入信號；x(t)為壓電驅動器輸出信號(Maxwell-slip模型的輸出力即為壓電的輸出信號);y(t)為Maxwell-slip模型的輸出信號和壓電陶瓷驅動器的輸入信號;H為Maxwell-slip模型的建立。

圖3 Maxwell-slip模型控制系統(tǒng)示意圖

神經(jīng)網(wǎng)絡在系統(tǒng)識別、信號處理等方面有廣泛的應用，但它只能近似于一對一的映射[12-13]。為了模擬多值映射的滯后，提出了一種具有反激算子的神經(jīng)網(wǎng)絡。將反激算子引入神經(jīng)網(wǎng)絡的第一層，第一層的輸出為

a1=H[wi·Fi(t)]=wi·H[Fi(t)]

(8)

式中a1為第一層的輸出向量。

反向傳播算法是神經(jīng)網(wǎng)絡設計中最流行的訓練算法之一[14-15]，為了對所提出的控制算法進行參數(shù)辨識，引入文獻[15]提出的神經(jīng)網(wǎng)絡中最后一層的敏感度公式,即

(9)

式(9)需要計算間隙算子的導數(shù)，H[wi·Fi(t)]是多值映射的非線性滯后函數(shù)，很難計算其導數(shù)，這使得訓練算法和控制器設計復雜化。但與Maxwell-slip模型相似，由于每個單元的神經(jīng)元傳遞函數(shù)是線性的，可以將式(9)作為最后一層進行線性迭代，那么wi將通過以下方式更新：

(10)

式中：m為迭代次數(shù)；α為學習率;ai為第i層輸出向量；s為式(8)的，神經(jīng)網(wǎng)絡中最后一層的敏感度，與每一時刻的位移誤差有關。

4 實驗驗證

4.1 實驗方案

為了驗證Maxwell-slip模型的自適應控制算法的可用性與正確性，本文在LabVIEW軟件上設計了遲滯控制模型進行實驗驗證。實驗裝置采用懸臂梁結構的壓電控制平臺，壓電陶瓷雙晶片采用嘉康公司生產(chǎn)的條形驅動器(51.7 mm×7.2 mm×0.83 mm)，位移傳感器采用IL-S025，位移分辨率1 mm對應1 mV，數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采用NI-compact RIO 9030系統(tǒng)，通過采集位移信號運算控制算法后，輸出模擬信號-5～+5 V，實驗裝置如圖4所示。實驗輸入信號選取0.1 Hz，1 Hz，5 Hz，10 Hz，20 Hz的正弦信號。經(jīng)過Maxwell-slip模型自適應控制進行前饋補償后，輸入到壓電雙晶片后得到測量位移，Maxwell-slip模型自適應控制原理如圖5所示。

圖4 實驗系統(tǒng)

圖5 Maxwell-slip模型自適應控制原理圖

4.2 無前饋補償?shù)倪t滯環(huán)

根據(jù)上述實驗方案進行測試，在壓電實驗平臺上采集無前饋補償控制下的測量位移，根據(jù)輸入信號的期望位移與測量位移采集結果，可得到不同頻率在無前饋補償控制下的遲滯環(huán)。其中1 Hz、10 Hz、20 Hz下控制前的遲滯環(huán)如圖6所示。

圖6 不同頻率下控制前的遲滯環(huán)

4.3 Maxwell-slip模型自適應控制的遲滯環(huán)

根據(jù)輸入信號的期望位移與測量位移結果，可得到不同頻率的Maxwell-slip模型自適應控制的遲滯環(huán)(見圖7)。

圖7 不同頻率下的Maxwell-slip模型自適應控制遲滯環(huán)

4.4 實驗誤差結果

本實驗搭建懸臂梁結構的實驗平臺，壓電雙晶片驅動器共振頻率較低，當壓電雙晶片遠離共振頻率時，控制效果較好，到達共振頻率后，控制效果不理想。此模型與自適應控制法結合后，拓展了應用范圍，在20 Hz下有一定控制效果。在本研究中，對比了在不同條件下3種控制方法的均方根誤差(RMSE)和絕對值平均誤差(MAE)的結果，如表1、2所示。控制方法分別為靜態(tài)的Maxwell-slip模型，比例、積分、微分(PID)控制法和Maxwell-slip模型自適應控制法，并與控制前的控制誤差進行對比。

表1 不同控制方法的RMSE結果

表2 不同控制方法的MAE結果

根據(jù)實驗結果所示，靜態(tài)Maxwell-slip模型僅在1 Hz辨識的靜態(tài)權值下有一定的控制效果，當遠離此頻率，補償控制效果不理想。PID控制在低頻率(0.1 Hz、1 Hz)下有良好的控制效果，其中0.1 Hz頻率下的RMSE降低到0.013 1 μm，隨著頻率的增大，跟蹤控制誤差也隨之增大，RMSE的最大值達到0.368 3 μm。而對于Maxwell-slip模型自適應控制，在0.1～20 Hz寬頻帶下都具有良好的補償控制效果，RMSE均未超過0.1 μm，說明Maxwell-slip模型引入自適應控制對壓電陶瓷遲滯非線性在寬頻帶下有良好補償控制效果。

5 結束語

本文采用一種改進的Maxwell-slip模型并引入自適應控制，對壓電陶瓷驅動器的遲滯特性進行前饋逆補償。在不同頻率及不同控制方法情況下，對壓電陶瓷驅動器線性度進行測試。實驗結果表明，對于靜態(tài)Maxwell-slip模型(經(jīng)典模型)、PID控制和Maxwell-slip模型自適應控制在0.1 Hz下的控制效果接近。通過自適應控制的Maxwell-slip模型在20 Hz條件下控制效果更好，其均方根誤差為0.082 μm，而其他兩種控制的均方根誤差分別為0.340 2 μm和0.368 3 μm，與經(jīng)典模型相比，提高了壓電陶瓷的控制精度和范圍。有利于提高系統(tǒng)在寬頻帶下遲滯補償效果，對于壓電陶瓷驅動器在精密定位領域的研究有重要意義。