王 欣

（佛山職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 佛山 528137）

柔順機(jī)構(gòu)是在驅(qū)動力作用下，通過自身柔性構(gòu)件的彈性變形實(shí)現(xiàn)力和能量傳遞，并獲得部分或全部運(yùn)動的一類機(jī)構(gòu)[1]。相對于傳統(tǒng)的剛性機(jī)構(gòu)，柔順機(jī)構(gòu)在運(yùn)動過程中沒有摩擦與磨損，體積小、質(zhì)量輕、加工簡單、沒有裝配誤差等優(yōu)勢。因此，在精密定位、高速刀具、微夾持操縱等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[2-4]。

張建銳建立了柔順儲能J/S型機(jī)構(gòu)的偽剛體模型，分析了其剛度特性[5]。馬力設(shè)計(jì)了一種3自由度運(yùn)動平臺，實(shí)現(xiàn)了納米級的定位[6]。胡俊峰應(yīng)用偽剛體模型設(shè)計(jì)了一種零剛度柔順微動平臺，該機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了在0.6mm～1.7mm運(yùn)動范圍內(nèi)輸出力幾乎無變化[7]。凌明祥通過柔性梁的動剛度矩陣與矩陣位移法相結(jié)合[8]，建立了柔順機(jī)構(gòu)的偽靜態(tài)模型，這種模型可以實(shí)現(xiàn)靜/動力學(xué)同時(shí)建模[8]。

本文應(yīng)用柔性梁的動剛度矩陣，建立了一種單自由度柔順鉸鏈的偽靜態(tài)模型，分析了其靜力學(xué)與動力學(xué)行為。通過優(yōu)化柔順鉸鏈的尺寸，可以得到試用于不同工作狀態(tài)的柔順鉸鏈模型。

1 柔順鉸鏈機(jī)構(gòu)理論模型的建立

柔順鉸鏈的模型如圖1所示，四根柔性梁固定在兩端，中間是一個(gè)不能忽略質(zhì)量的運(yùn)動平臺。通過力f使柔性梁產(chǎn)生變形，從而產(chǎn)生了位移u。結(jié)構(gòu)是完全對稱的，這可以消除柔性梁變形時(shí)產(chǎn)生的x方向平動位移與z方向的轉(zhuǎn)動位移。

如圖2所示，在局部坐標(biāo)系下柔性梁單元有j、k兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有沿著x、y方向移動和繞著z方向轉(zhuǎn)動三個(gè)方向自由度。將梁單元在局部坐標(biāo)系下所受力與位移用向量的形式表示：

那么在局部坐標(biāo)系下，節(jié)點(diǎn)力與位移的關(guān)系為：

Kjk為柔性梁在局部坐標(biāo)系下的動剛度矩陣：

式中：E為材料彈性模量；I為柔性梁截面慣性矩；ρ為密度 β4=ω2Ljk2ρA/EI；α2=ω2Ljk2ρ/E；R=1-cos（β）×cosh（β）；。將d1～d8關(guān)于ω泰勒展開，那么式1將變?yōu)椋?/p>

當(dāng)柔順機(jī)構(gòu)中有一些質(zhì)量不能忽略的剛性構(gòu)件時(shí)，常把其考慮成集中質(zhì)量，公式6為集中質(zhì)量的動剛度矩陣，其中m為剛性體質(zhì)量，J為剛性體轉(zhuǎn)動慣量。

當(dāng)進(jìn)行靜力學(xué)分析時(shí)，令ω=0時(shí)，此時(shí)公式4中只有K0；當(dāng)進(jìn)行動力學(xué)分析時(shí)，應(yīng)保留ω項(xiàng)，且保留的階數(shù)越高，結(jié)果越準(zhǔn)確，但是計(jì)算量也將增加。在柔性梁較短或結(jié)構(gòu)的固有頻率較低時(shí)，取ω的平方項(xiàng)就可以滿足計(jì)算精度。這也解釋了傳統(tǒng)的動力學(xué)模型對結(jié)構(gòu)的高階頻率預(yù)測誤差較大的原因。

假設(shè)參考坐標(biāo)系為O-XY、jk梁單元在參考坐標(biāo)系下的受力與位移為：

將梁兩端局部坐標(biāo)系下的力與位移分別轉(zhuǎn)化為相應(yīng)參考坐標(biāo)系中的力和位移，則式1變?yōu)椋?/p>

jk梁單元在參考坐標(biāo)系下的剛度矩陣為：

將式7分塊化表示：

式中：Fjkt，j與 Fjkt，k為 jk 梁施加在節(jié)點(diǎn) j、k 上的力；Ujkt，j與 Ujkt，k為 jk 梁單元在 j、k 兩點(diǎn)的位移。對于第j個(gè)節(jié)點(diǎn)，其所受的合外力等于與其相連的梁施加在其上的力之和，用公式表達(dá)為：

式中：Pj為j節(jié)點(diǎn)所受外力向量；Utj為j節(jié)點(diǎn)的位移；F*jt，j與 Fj*t，j為與 j節(jié)點(diǎn)相連柔性梁施加在其上的力；n為與j節(jié)點(diǎn)相連柔性梁的個(gè)數(shù)。模型的各個(gè)梁受力方向如圖4所示，節(jié)點(diǎn)A、C、E、G為固定約束，位移為0，故不考慮，其他各節(jié)點(diǎn)都等效到節(jié)點(diǎn)O（參考坐標(biāo)系原點(diǎn)）。依據(jù)公式11，列出整個(gè)模型的方程：

G為柔順鉸鏈的整體剛度矩陣。當(dāng)求解結(jié)構(gòu)的固有頻率時(shí)，只需要求解G的行列式，令det（G）=0，解出ω值即為機(jī)構(gòu)的固有頻率。值得注意的是，本模型的柔性梁單元節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度，分別是x與y的方向的移動以及z方向的轉(zhuǎn)動。除了這三個(gè)振動方向的頻率外，其它方向的固有頻率本模型不能求解，例如沿x軸的扭轉(zhuǎn)頻率。

2 柔順鉸鏈的優(yōu)化

柔順鉸鏈的幾何尺寸如表1所示，b是整個(gè)模型在 z方向的寬度。彈性模量 E=71GPa，密度ρ=2810kg/m3，泊松比 ε=0.33。利用 SolidWorks對柔順位移放大機(jī)構(gòu)幾何建模，并應(yīng)用ANSYS對其進(jìn)行靜力學(xué)仿真，選用Solid 186單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格，得到的結(jié)果驗(yàn)證了模型的正確性。

柔順鉸鏈的輸入力與輸出位移關(guān)系如圖5所示，輸入力與輸出位移基本呈線性關(guān)系，而且隨著輸入力的增大，輸出位移也增加。與有限元仿真的結(jié)果對比誤差小于3%，說明理論模型能夠較好地預(yù)測力與位移的關(guān)系。有限元[9]的仿真結(jié)果如圖6所示。

表1 柔順鉸鏈的幾何尺寸

當(dāng)輸入力f=10N，柔性梁的長度變化范圍為L=35mm～45mm，柔順鉸鏈輸出位移變化如圖7所示。由圖可知，隨著柔性梁長度的增加，柔順鉸鏈的輸出位移也增加。當(dāng)柔順鉸鏈的工作狀態(tài)是需要大范圍的運(yùn)動時(shí)，這種結(jié)構(gòu)是有優(yōu)勢的。但是由于梁長的增加會減小結(jié)構(gòu)的剛度，所以結(jié)構(gòu)的固有頻率會降低。

當(dāng)輸入力f=10N，柔性梁的厚度變化范圍為t=0.5mm～1.5mm。柔順鉸鏈輸出位移變化如圖8所示。隨著柔性梁厚度的增加，機(jī)構(gòu)的輸出位移將減小。當(dāng)機(jī)構(gòu)需要完成大范圍運(yùn)動時(shí)，應(yīng)適當(dāng)減小梁的厚度；當(dāng)機(jī)構(gòu)需要完成高速運(yùn)動時(shí)，應(yīng)適當(dāng)增加梁的厚度。

當(dāng)輸入力f=10N，柔性梁的角度的變化范圍為φ=-π/12～π/12，柔順鉸鏈的輸出位移如圖9所示。當(dāng)φ=0也就是圖1的狀態(tài)時(shí)，柔順鉸鏈的輸出位移最大；當(dāng)φ增大或減小，都會導(dǎo)致輸出位移的迅速變化，說明柔順鉸鏈的輸出位移對柔性梁角度這一參數(shù)是敏感的。當(dāng)時(shí)，機(jī)構(gòu)的輸出位移基本為0。

3 結(jié)論

本文通過偽靜態(tài)模型分析了一種柔順鉸鏈的靜力與動力學(xué)行為，并用有限元驗(yàn)證，其相對誤差小于3%。以柔順鉸鏈不同的工作狀態(tài)為目標(biāo)，通過改變其自身的幾何尺寸得到了兩種優(yōu)化后的模型，這兩種模型分別適用于大范圍運(yùn)動與高速往復(fù)運(yùn)動。