李雙妃, 王治國, 曹 毅

(陜西師范大學數(shù)學與信息科學學院，西安 710119)

1 引言

經(jīng)典的恒化器模型通常假設營養(yǎng)吸收率與微生物的增長率成正比，因此被稱為常數(shù)產(chǎn)出模型.然而，Ketchum[1]在實驗中發(fā)現(xiàn)，在外部的營養(yǎng)物質(zhì)耗盡后，藻類種群仍舊可以存活數(shù)周.這意味著，要恰當?shù)孛枋錾锏纳L，應當將內(nèi)部營養(yǎng)水平視為變量.因此，Droop[2,3]提出了帶有內(nèi)部存儲的浮游植物生長模型.考慮到空間擴散的作用，Hsu 等[4,5]研究了一類帶有內(nèi)部存儲的單資源非均勻恒化器模型.結(jié)果表明，存在臨界的擴散系數(shù)，當擴散系數(shù)小于臨界擴散系數(shù)時，將會出現(xiàn)競爭排斥或共存的現(xiàn)象；反之，兩物種均將死亡.Hsu 等[6]考慮了一類帶有內(nèi)部存儲的消耗無機碳的雙資源非均勻恒化器模型，證明了物種存活時，正平衡解的唯一性及全局吸引性.

在生態(tài)學中，抑制劑可以降低某些有害生物的生長率，從而對環(huán)境治理具有重要作用.早在1986 年，Lenski 和Hattingh[7]提出了一類具有抑制劑的均勻恒化器模型.Hsu 和Waltman[8]研究了該模型解的一致持續(xù)性.Nie 和Wu[9]引入擴散，建立了具有擴散的非均勻恒化器模型，研究了系統(tǒng)的漸近動力學行為以及模型共存解的全局結(jié)構和局部穩(wěn)定性.文獻[10]進一步研究了該模型正平衡解的唯一性和穩(wěn)定性.然而，這些模型均忽略了物種對于營養(yǎng)的吸收存儲過程.

基于以上研究結(jié)果，本文研究一類具有內(nèi)部存儲和外部抑制劑的恒化器模型.在t 時刻，假設營養(yǎng)物的濃度為S(t)；種群密度為u(t), v(t)；物種i 每個細胞所平均存儲的營養(yǎng)為Qi(t)，其中i = 1,2 分別指代u 和v；抑制劑濃度為p(t).這里假設v 為受抑制劑影響的物種，u 為吸收抑制劑的物種.考慮如下均勻恒化器模型

其中S(0)> 0 為營養(yǎng)物的輸入濃度，p(0)> 0 為抑制劑的輸入濃度，兩者均為常數(shù)；D 為稀釋率；μi(Qi)為物種i 的生長率；fi(S,Qi)為物種i 的營養(yǎng)吸收率；Qmin,i為物種i 的臨界細胞份額，即當細胞所存儲的營養(yǎng)低于該值時，物種將停止生長；α 為物種u 對抑制劑p 的吸收率；h(p) = p/(h1+p)，其中h1為半飽和常數(shù)；函數(shù)e?μp為抑制劑p 對物種v 的抑制程度，其中μ>0 為常數(shù).

文獻[3,11]中生長率μi(Qi)和吸收率fi(S,Qi)采取如下形式

其中

參考以上例子，對函數(shù)μi(Qi)和fi(S,Qi)作如下假設：

μi(Qmin,i)=0;

(H2):

(ii) 當S ≥0, Qi≥Qmin,i時，

fi(S,Qi)≥0 幾乎處處成立；

(iii) 存在QBi∈(Qmin,i,+∞]，對任意的(S,Qi) ∈{(S,Qi) ∈R+×[Qmin,i,+∞) :S >0, Qi∈[Qmin,i,QBi)}，有

且當S = 0 或者Qi≥QBi時，fi(S,Qi) = 0.當QBi= +∞時，fi(S,Qi) = 0 當且僅當S =0.

令U = Q1u, V = Q2v 分別表示物種u, v 在t 時刻體內(nèi)所存儲的營養(yǎng).同時引入擴散，則系統(tǒng)(1)可化為

邊界條件和初始條件為

其中初始值函數(shù)u0(x), U0(x), v0(x), V0(x)滿足

本文主要研究系統(tǒng)(2)–(3)正平衡解的存在性，故考慮相應的平衡態(tài)方程.令為節(jié)省記號，仍用原記號表示相應的無量綱化參數(shù).因此，系統(tǒng)(2)–(3)可簡化為

邊界條件為

邊界條件為

本文主要研究系統(tǒng)(6)–(7)正解的存在性，故對函數(shù)μi(Qi), fi(S,Qi)以及h(p)作如下延拓

本文首先給出一些基本結(jié)果以及系統(tǒng)非負解的先驗估計，再利用Amann 的拓撲不動點指標理論計算算子在所有平凡和半平凡不動點鄰域內(nèi)的指標，進而證明系統(tǒng)正平衡解的存在性.最后，需要指出的是在利用拓撲度理論研究系統(tǒng)正平衡解的存在性時，通常在系統(tǒng)各分量均非負的錐上使用拓撲度的不動點理論，如文獻[12,13]，但這樣的錐對本文模型并不適用，本文將在更小的錐上使用不動點理論.

2 預備知識

首先考慮如下的非線性特征值問題

注：對于另一個單物種的平衡態(tài)問題

引理2[9]邊值問題

有唯一正解，記為p?，且滿足0

(i) u>0, v >0, U >0, V >0, 0

(ii) U +V

(iii) U >uQmin,1, V >vQmin,2;

由文獻[6]得

其中

3 正解的存在性

本節(jié)運用拓撲度理論研究系統(tǒng)(6)–(7)正解的存在性.令q = z(x) ?p，則p =z(x)?q.因此，系統(tǒng)(6)–(7)等價于

邊界條件為

引入以下空間

CB[0,1]={u ∈C[0,1]:ux(0)=ux(1)+γu(1)=0}, X =(C[0,1])5,

W3={q ∈C[0,1]:q ≥0}, W =W1×W2×W3,

E ={(u,U,v,V,q)∈W :∥u∥+∥U∥+∥v∥+∥V ∥+∥q∥≤R0, x ∈[0,1]},

∥·∥為最大模范數(shù).

定義F :E →X 如下

其中ξ1, ?1分別由(13),(14)給出

引理4對任意的λ ≥1, F(u,U,v,V,q) = λ(u,U,v,V,q)在W 中沒有解滿足∥u∥+∥U∥+∥v∥+∥V ∥+∥q∥=R0.

證明 假設(u,U,v,V,q)∈W 滿足F(u,U,v,V,q)=λ(u,U,v,V,q)，且∥u∥+∥U∥+∥v∥+∥V ∥+∥q∥=R0，則有

故F(u,U,v,V,q)=λ(u,U,v,V,q)在W 中沒有解滿足

∥u∥+∥U∥+∥v∥+∥V ∥+∥q∥=R0.

證明 由引理4 以及文獻[16]的引理12.1 可證得.

Pδ(E0)={(u,U,v,V,q)∈W :∥u∥+∥U∥+∥v∥+∥V ∥+∥q∥≤δ}.

證明 對任意給定的充分小的?0，取0<δ <δ0?1，使得

記

因此，當(u,U,v,V,q) ∈Hδ+時，有∥u∥≤δz, ∥U∥≤δz, ∥v∥≤δz, ∥V ∥≤δz, ∥q∥≤δz.令ξ =2+γ ?γx2，則ξ >0, ?x ∈[0,1]，且滿足ξxx<0, ξx(0)=ξx(1)+γξ(1)=0.易知(ξ,Qmin,1ξ,ξ,Qmin,2ξ,ξ)∈W.下面證明對任意的λ ≥0，方程

(u,U,v,V,q)?F(u,U,v,V,q)=λ(ξ,Qmin,1ξ,ξ,Qmin,2ξ,ξ)

為了證明系統(tǒng)正解的存在性，引入如下兩個非線性特征值問題

證明 (i)和(ii)的證明完全類似，這里僅給出(i)的證明.定義

則方程F(t)(u,U,v,V,q)=(u,U,v,V,q)滿足

以及邊界條件(16).若(u,U,v,V,q)是F(t)在?O+(E1)上的不動點，則u > 0, U >0, v ≥0, V ≥0, q > 0.由最大值原理必有v > 0, V > 0，否則(u,U,v,V,q) = E1，與(u,U,v,V,q)∈?O+(E1)矛盾，即u>0, U >0, v >0, V >0, q >0.

首先證明對任意的t ∈[0,1], F(t)在?O+(E1)上無不動點.假設(u,U,v,V,q) ∈?O+(E1)是F(t)的不動點，則u > 0, U > 0, v > 0, V > 0, q > 0.當t =0 時，F(xiàn)(0)(u,U,v,V,q)=(u,U,v,V,q)滿足

則q =q?=z(x)?p?.于是(v,V)滿足

index(F,O+(E1),W)=index(F(1),O+(E1),W)=index(F(0),O+(E1),W).

下面計算index(F(0),O+(E1),W).顯然，E1是F(0)在O+(E1)上唯一的不動點，因此index(F(0),O+(E1),W)=index(F(0),E1,W).對于τ ∈[0,1]，定義

則T(τ)(u,U,v,V,q)=(u,U,v,V,q), τ ∈[0,1]具有邊界條件(16)，且滿足

因此，由拓撲度的同倫不變性和不動點的乘積定理[17]得

index(F(0),E1,W)=index(T(0),E1,W)=index(T(1),E1,W)

=index(T1,(u?,U?),W1)·index(T2,(0,0),W2)·index(T3,q?,W3).

現(xiàn)證index(T1,(u?,U?),W1)=1.令

對任意的λ ≥1, T1(u,U)=λ(u,U)滿足

且具有和(10)相同的邊界條件.類似引理4 可證，U ≤z(x).又

類似可證index(T3,q?,W3)=1.

假設對任意的λ ≥1，方程T2(v,V)=λ(v,V)在?O+(0,0)上存在解(v,V)，則

且具有和(11)相同的邊界條件.由于λ ≥1，則(v,V)滿足如下微分不等式

因此(v,V)是如下拋物型問題的下解

另一方面，由于(v,V)∈?O+(0,0)，故存在a1>0，使得

且具有和(11)相同的邊界條件.易證(v,V)是(21)的上解.同理，存在a2>0，使得

因此，當t →∞時，(v,V)≥(∞,∞)，故對任意的λ ≥0，方程T2(v,V)=λ(v,V)在?O+(0,0)上無解.由[16]的引理12.1 得index(T2,(0,0),W2)=0.

index(F,O+(E1),W)=index(T1,(u?,U?),W1)×index(T2,(0,0),W2)×index(T3,p?,W3)=1×1×1=1.

index(F,O+(E1),W)=1×0×1=0.

由引理5 至引理7，可得

故假設不成立，即F 在˙E 至少有一個不動點.因此，系統(tǒng)(15)–(16)至少存在一個正解，即系統(tǒng)(6)–(7)至少存在一個正解.