習(xí)興華，張超杰，胡海飛，關(guān)英俊*

超大口徑彎月鏡支撐點布局-剛度-校正力聯(lián)合優(yōu)化

習(xí)興華1，張超杰1，胡海飛2,3，關(guān)英俊1*

1長春工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，吉林 長春 130012；2中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；3吉林大學(xué)機械與航空航天工程學(xué)院，吉林 長春 130025

在超大口徑原位加工與檢測中，目前多采用被動式Whiffletree液壓支撐系統(tǒng)(原位支撐)，而該類支撐單元的軸向剛度存在較大差異性，會顯著影響輕薄型反射鏡的面形精度。為解決這一問題，研究了主動型原位支撐的支點布局、單元剛度和主動校正力的聯(lián)合優(yōu)化方法。首先，針對支撐單元剛度差異，提出了支撐剛度、支點位置的分級布局優(yōu)化方法，獲得了支撐系統(tǒng)的初始優(yōu)化解；其次，結(jié)合模式定標法和最小二乘法，進行了支撐點主動力校正，以獲得支撐面形的最終優(yōu)化解；最后，結(jié)合具體案例的數(shù)字仿真試驗，驗證了方法的有效性。結(jié)果表明：對于4 m彎月型輕薄反射鏡，僅被動支撐下，分級布局優(yōu)化后，60點方案面形精度RMS值由150.6 nm減少到32.9 nm，78點方案面形精度RMS值由45.2 nm減少到22.6 nm，優(yōu)化效果顯著；進一步經(jīng)主動校正后，60點方案和78點方案面形精度RMS值分別為14.6 nm和6.9 nm，均滿足面形精度RMS值小于/40(=632.8 nm)的指標要求；最終選取60點軸向支撐方案。通過對支點布局、支撐剛度和校正力進行聯(lián)合優(yōu)化，可以大幅增加原位支撐系統(tǒng)的適用性、靈活性，降低實施難度。

布局優(yōu)化；主動光學(xué)；液壓Whiffletree；剛度差異；原位支撐

1 引 言

隨著人們對空間望遠鏡的靈敏度、分辨率、視場角和輻照亮度等方面的要求越來越高，導(dǎo)致空間望遠鏡儀器越做越大，許多都已經(jīng)達到了2 m以上的超大口徑，大幅度增加了反射鏡加工支撐難度。對于處于地面環(huán)境下的空間反射鏡而言，除去溫度等其他因素的影響，自重變形對反射鏡的面形精度影響較大，而且口徑越大、精度越高的反射鏡，其支撐難度就越大。自重變形主要受支撐點數(shù)量、支撐點位置和支撐單元剛度等因素影響[1]。研究超大口徑反射鏡的原位重力卸載技術(shù)，對提高其加工與檢測精度和效率具有重大促進作用。

在支撐方面，長春理工大學(xué)設(shè)計了一種頸口側(cè)壁開槽的柔性支撐[2]。在大口徑反射鏡支撐位置優(yōu)化方面，中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機械與物理研究所(簡稱長春光機所)確定了TMT三鏡、某2 m口徑反射鏡的被動支撐方案并優(yōu)化了支撐點位置，面形精度得到改善[3-4]。但是對于僅采用被動支撐的大口徑反射鏡而言，需要較多的支撐數(shù)量來保證其面形精度，導(dǎo)致被動支撐的實施難度增加。

為減少被動支撐數(shù)量并提高支撐面形精度，人們不斷將主動光學(xué)技術(shù)應(yīng)用于反射鏡支撐系統(tǒng)中。歐洲天文臺于1989年成功將主動校正技術(shù)應(yīng)用于口徑為3.58 m的NTT望遠鏡主鏡，其后還有8 m的VLT、美國NASA的3.67 m AEOS、4.3 m SOAR[5]。

在國內(nèi)，南京天文儀器廠設(shè)計了500 mm口徑的薄鏡面主動支撐系統(tǒng)。其后長春光機所對620 mm口徑薄鏡進行主動校正技術(shù)研究[6]，并應(yīng)用于1.23 m SiC反射鏡、4 m SiC反射鏡[7-8]。中國科學(xué)院光電技術(shù)研究所以1.2 m薄鏡進行主動校正技術(shù)研究，搭建了主動光學(xué)試驗平臺并進行了試驗驗證[5]。

然而，目前有研究發(fā)現(xiàn)，群組支撐單元的剛度存在較大差異性，且對反射鏡支撐面形精度具有較大影響，已經(jīng)成為原位加工檢測中的一個隱患[9]。因此，本文研究主動型原位支撐的支點布局、單元剛度和主動校正力的聯(lián)合優(yōu)化方法，并結(jié)合4 m彎月薄鏡的原位支撐系統(tǒng)設(shè)計方案驗證該方法的有效性。

對于4 m彎月薄鏡而言，由于其口徑過大，通過傳統(tǒng)經(jīng)驗公式得到的支撐點數(shù)量過多，提高了支撐單元的剛度差異對系統(tǒng)影響的復(fù)雜程度，也增加了主動校正難度。本文通過有限元分析，確定了初步支撐方案；然后，通過分級優(yōu)化方法，得到支撐單元的最佳剛度組合方案以及支撐單元最佳點位；最后，進行主動校正，得到理想重力卸載面形精度。

2 布局優(yōu)化模型

根據(jù)靜力支撐原理，支撐力應(yīng)滿足以下關(guān)系：

其中：為支撐點的支撐力，k為支撐單元的剛度，dz為支撐單元軸向壓縮量。

在被動式靜壓支撐系統(tǒng)中，受相同支路內(nèi)支撐單元輸出力相等的特征限制，由式(1)可知，若每個液壓支撐單元剛度k不同，會導(dǎo)致均力下各個支撐單元的軸向高度不同，這將影響反射鏡支撐高度穩(wěn)定性，從而影響鏡面面形精度。為提高系統(tǒng)的支撐精度，如能對支撐單元剛度進行合理分配，并對支撐點位置進行布局優(yōu)化，其性能提升將非常顯著。

2.1 布局-剛度優(yōu)化模型

對于個支撐單元的變剛度原位支撐系統(tǒng)，其布局優(yōu)化方法模型可描述為

式中：k為支撐單元的剛度值，P(x，y)為支撐單元中心位置(支撐點)在直角坐標系平面的投影位置，為剛度數(shù)據(jù)庫，Dz為去除剛體位移后，光軸方向第個節(jié)點變形量。面形精度評價指標RMS值和PV值可分別表示為

2.2 自動化流程

支撐剛度和支撐位置相互耦合，共同影響反射鏡支撐面形精度，為了降低問題的復(fù)雜性，通過分級迭代的思想，對二者進行解耦后對支撐位置布局優(yōu)化。用Isight軟件建立了支撐剛度-位置耦合系統(tǒng)的分級布局優(yōu)化分析流程，如圖1所示。

圖1 支撐系統(tǒng)優(yōu)化流程圖

首先提取一種剛度組合方案映射到有限元模型中，采用遺傳算法和序列二次規(guī)劃法作為優(yōu)化算法以面形精度RMS值為目標進行布局優(yōu)化，得到該剛度組合方案下各支撐點最優(yōu)位置，并記錄剛度方案、支撐位置信息、RMS和PV值。然后再提取其他剛度組合方案進行支撐點位置尋優(yōu)，通過對比各剛度組合方案布局優(yōu)化結(jié)果的面形精度RMS值，輸出最優(yōu)剛度方案與支撐位置信息及對應(yīng)的RMS值和PV值。

3 主動校正原理

主動光學(xué)的一項關(guān)鍵技術(shù)為波前擬合技術(shù)。波前擬合技術(shù)主要是擬合實際工況下的鏡面變形，主要包括兩種擬合方式：Zernike多項式擬合和自由諧振模式擬合。

Zernike多項式擬合與自由諧振模式擬合相比，前者側(cè)重光學(xué)像差的表達，每一項都有與之匹配的光學(xué)像差，但是由于Zernike多項式在邊緣存在彎矩作用，反射鏡若產(chǎn)生Zernike多項式的模式變形需要更大的校正力[10]；后者側(cè)重反射鏡機械結(jié)構(gòu)特性，由于低頻自由諧振模式能量較小[11]，所以產(chǎn)生該模式變形所需的力較小，且各項自由諧振模式之間相互正交，但是模態(tài)振型函數(shù)受鏡子結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)限制，不同的鏡子模態(tài)振型表達形式并不統(tǒng)一。

對于彎月薄鏡，如果校正力過大，會造成鏡子的破壞，為保證施加校正力后鏡子的安全，本文采用自由諧振模式進行波前擬合。

自由諧振模式下波前擬合表達式為

取個鏡面節(jié)點，通過有限元軟件進行自由模態(tài)分析，取前項自由模態(tài)下這些節(jié)點沿光軸方向的向量值組成模態(tài)振型矩陣：

通過有限元分析，求取實際工況下鏡面節(jié)點變形值，則自由諧振模式波前擬合的矩陣表達形式為

采用最小二乘法對擬合系數(shù)進行求解：

主動光學(xué)的另一項關(guān)鍵技術(shù)為校正力求解技術(shù)。波前擬合方式不同，則校正力求解方式不同。自由諧振模式波前擬合的校正力計算方法為模式定標法。

模式定標流程可歸納總結(jié)[12]為

4 案例應(yīng)用

輕薄型彎月鏡只需要較小的校正力，即可實現(xiàn)較好的主動光學(xué)面形校正效果，因此在光學(xué)工程中具有較大的應(yīng)用潛力，以下通過對4 m口徑SiC彎月薄鏡的方案預(yù)研來驗證上述布局-剛度-校正力聯(lián)合優(yōu)化方法的有效性。該4 m彎月模型曲率半徑為6 m，中心厚度為50 mm，中心孔直徑為500 mm。

4.1 支撐點數(shù)

為了滿足4 m彎月薄鏡的支撐面形精度要求，同時保證鏡子不會由于應(yīng)力過大造成結(jié)構(gòu)破壞，采用Whiffletree液壓被動支撐和力促動器主動支撐的組合支撐方案。由支撐變形理論可知，每個支撐圈上支撐點數(shù)量影響軸向支撐點之間的變形，支撐圈半徑和支撐圈上的載荷分布影響徑向變形。為了保證鏡子在自重下的面形精度，同時盡量降低支撐系統(tǒng)的控制難度，需要合理地設(shè)計支撐圈數(shù)和支撐點數(shù)目。

Nelson[13]對圓形薄板各支撐圈數(shù)和各圈支撐點分配以及支撐點位置進行了詳細的理論分析，支撐點分布和面形精度RMS值的關(guān)系為

因此，提出4圈60點、66點被動支撐和5圈78點、84點被動支撐方案，以各方案被動支撐下的面形精度RMS值作為評價標準，確定初步支撐點布局方案。為了便于對比，各個方案支撐單元剛度設(shè)置為文獻[14]中平均值1944 N/mm。通過有限元分析，得出各方案在自重變形下的面形精度RMS值如表1所示。

表1 各支撐方案自重變形下面形精度

由表1可知，4圈60點支撐方案面形精度RMS值與66點方案的RMS值較為接近；5圈78點軸向支撐方案面形精度RMS值與84點方案的RMS值接近。所以選擇均為三角形排布的4圈60點和5圈78點軸向支撐方案作為對比。

按照圖2所示兩種支撐方案的點位分布，以120°將液壓支撐單元分為3個組，分別與其對應(yīng)的虛擬硬點相連，在虛擬硬點處約束U、R和R三個自由度，鏡子邊緣設(shè)置3個虛擬硬點約束U、U和R三個自由度[15]。液壓支撐單元用彈簧單元模擬并賦予相應(yīng)的剛度值，建立有限元模型。并對兩種支撐方案進行支撐剛度-位置耦合系統(tǒng)的分級布局優(yōu)化。

圖2 兩種方案軸向支撐點布局示意圖。(a) 60點軸向支撐系統(tǒng)；(b) 78點軸向支撐系統(tǒng)

4.2 支撐剛度-位置分級優(yōu)化

實際中各個支撐單元剛度可能都不相同，為減少計算時間，假定通過分組互聯(lián)的方式可以實現(xiàn)前期工作中得到的1918 N/mm，1890 N/mm，1935 N/mm，1978 N/mm和2002 N/mm等5種單元剛度值[8]，并假定相同支撐半徑下支撐單元剛度相同，對60點和78點支撐方案進行布局優(yōu)化。兩種方案優(yōu)化前后的剛度分配、支撐半徑和面形精度如表2和表3所示，其中1、2、3、4和5為各支撐圈剛度值，1、2、3、4和5為各支撐圈半徑。

由表2和表3可知，60點初始支撐方案經(jīng)過優(yōu)化后，RMS值降低了78.2%，PV值降低了73.3%；78點初始支撐方案經(jīng)過優(yōu)化后，RMS值降低了50%，PV值降低了59.8%。結(jié)果表明，經(jīng)過分級布局優(yōu)化后，得到了合適的剛度分配方案和支撐位置，面形精度得到顯著改善，證明了此分級優(yōu)化方法有效。

4.3 模式法主動力校正

將60點軸向支撐方案的有限元模型進行自由模態(tài)分析，取去除剛體模態(tài)的前20階自由模態(tài)振型進行定標力計算，其振型圖如圖3所示。

根據(jù)模式定標流程，首先提取前20階模態(tài)振型中60個主動支撐點的軸向位移U，將U作為強制位移重新施加到對應(yīng)的主動支撐點上，通過有限元靜力學(xué)分析，求得主動支撐點的節(jié)點反力，將施加到主動支撐點上，再次進行有限元靜力學(xué)分析，計算面形精度RMS值RMS。

根據(jù)式(9)計算出鏡面面形RMS值歸一化值=1000 nm時的模式定標力，其定標結(jié)果如表4所示，其中1max，2max，3max和4max分別為4個支撐圈上的最大校正力，定標誤差為施加定標力后的鏡面面形RMS值相較于歸一化值的誤差。

由于模式定標法的定標值受主動支撐點的位置、數(shù)量和支撐圈數(shù)限制，模態(tài)振型階數(shù)越高，定標效果就會越差。如果增加主動支撐點數(shù)量和支撐圈數(shù)，定標后的鏡面面形圖就會接近模態(tài)振型圖，定標效果將會提高。

由表4可知利用該定標流程得到的前20階自由諧振模式的校正能力較好，所以采用前20階模態(tài)振型擬合自重下鏡面變形，求得擬合系數(shù)后代入式(10)計算主動校正力，將校正力施加到支撐點上，對鏡面面形進行主動校正。60點軸向支撐方案經(jīng)初次校正后鏡面面形RMS值減小到14.6 nm。經(jīng)過相同過程，78點軸向支撐方案初次校正后鏡面面形RMS值減小到6.0 nm。兩種方案校正后的面形如圖4所示。兩種方案均滿足面形精度RMS值小于/40(=632.8 nm)的指標要求，最終選擇支撐數(shù)量更少的60點軸向液壓支撐方案。

表2 60點軸向支撐系統(tǒng)布局優(yōu)化結(jié)果

表3 78點軸向支撐系統(tǒng)布局優(yōu)化結(jié)果

圖3 反射鏡前20階模態(tài)振型

表4 60點支撐方案模式定標計算結(jié)果

5 結(jié) 論

本文為解決反射鏡Whiffletree液壓被動支撐單元間的剛度差異對反射鏡重力卸載面形的影響，提出了對液壓支撐單元剛度和支撐位置進行迭代尋優(yōu)的分級優(yōu)化方法，并通過模式法主動力校正技術(shù)對系統(tǒng)支撐的性能進行了進一步優(yōu)化。通過4 m口徑彎月薄鏡案例應(yīng)用表明，其60點和78點主動式軸向液壓支撐方案分別得到了14.6 nm和6 nm RMS，優(yōu)化效果顯著，滿足指標要求。本著支撐單元數(shù)量更少，降低控制難度的原則，優(yōu)選60點軸向液壓支撐方案作為最終方案。

圖4 主動校正后面形。(a) 60點方案校正后面形；(b) 78點方案校正后面形

通過對支點布局、支撐剛度和校正力進行聯(lián)合優(yōu)化，可大幅增加原位支撐系統(tǒng)的適用性、靈活性，降低實施難度，為其在未來彎月形超薄鏡面原位制造中的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

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Layout-stiffness-correction force joint optimization of support system for ultra-large thin meniscus mirror

Xi Xinghua1, Zhang Chaojie1, Hu Haifei2,3, Guan Yingjun1*

1School of Mechanical and Electrical Engineering, Changchun University of Technology, Changchun, Jilin 130012, China;2Changchun Institute of Optics, Fine Mechanics and Physics, Chinese Academy of Sciences, Changchun, Jilin 130033, China;3School of Mechanical and Aerospace Engineering, Jilin University, Changchun, Jilin 130025, China

Optimization flow for support system

Overview:With the increasing requirements for the sensitivity, resolution and angle of view of space telescopes, the aperture of space mirror are getting bigger and bigger, which greatly increases the difficulty of mirror fabrication support. For the space mirror in the in-situ fabrication and testing, besides the influence of other factors such as temperature, the self-weight deformation has a great influence on mirror surface figure. And the larger the aperture and the higher the precision, the more difficult the support is. The self-weight deformation is mainly affected by factors such as the number of support points, the position of the support points and the stiffness of the support unit. Passive hydraulic support units (PHSUs) are frequently used in the in-situ fabrication and testing. However, some studies have found that the number of supporting units of large-aperture mirrors is too large, resulting in a large difference in the stiffness of each group of hydraulic support units, and has a great influence on mirror surface figure. It has become a hidden danger affecting the accuracy of in-situ fabrication and testing. In order to reduce the number of supporting units and increase the accuracy of the supporting surface, the joint optimization method of layout, stiffness and active correction is studied. Firstly, for the difference of PHUS' stiffness, a hierarchical layout optimization method for support stiffness and support position is proposed to obtain the initial optimization solution of the support system. Then, the mode calibration method and the least square method is used for active correction of support system to obtain the final optimized solution of the mirror surface figure. Finally, the effectiveness of the method is verified by a numerical simulation experiment with specific cases. The results show that, for 4 m thin meniscus mirror, after layout optimization, with the hydraulic passive support system, the root mean square (RMS) of the mirror surface errors of 60 point axial support system is reduced from 150.6 nm to 32.9 nm, and the RMS value of the mirror surface errors of 78 point axial support system is reduced from 45.2 nm to 22.6 nm. The optimization effect is remarkable. After active correction, the RMS value of the mirror surface errors of 60 point axial support system is 14.6 nm, and it is 6.9 nm for 78 point axial support system. The requirement of the RMS value of the mirror surface error is less than/40 (=632.8 nm). The support systems meet the requirement. Finally, the 60 point axial support system was selected. Through the joint optimization of layout, stiffness and active correction for supporting points, it can greatly increase the applicability, flexibility and reduce the difficulty of implementation for the in-situ support system.

Citation: Xi X H, Zhang C J, Hu H F,Layout-stiffness-correction force joint optimization of support system for ultra-large thin meniscus mirror[J]., 2020, 47(8): 190551

Layout-stiffness-correction force joint optimization of support system for ultra-large thin meniscus mirror

Xi Xinghua1, Zhang Chaojie1, Hu Haifei2,3, Guan Yingjun1*

1School of Mechanical and Electrical Engineering, Changchun University of Technology, Changchun, Jilin 130012, China;2Changchun Institute of Optics, Fine Mechanics and Physics, Chinese Academy of Sciences, Changchun, Jilin 130033, China;3School of Mechanical and Aerospace Engineering, Jilin University, Changchun, Jilin 130025, China

Passive hydraulic support units (PHSUs) are frequently used in the in-situ fabrication and testing (in-situ support). However, the difference in PHSUs’ stiffness will affect the mirror surface figure, especially for those thin meniscus mirrors. In order to solve this problem, the joint optimization method of layout, stiffness and active correction is studied. Firstly, for the difference of PHUS' stiffness, a hierarchical layout optimization method for support stiffness and support position is proposed to obtain the initial optimization solution of the support system. Then, the mode calibration method and the least square method is used for active correction of support system to obtain the final optimized solution of the mirror surface figure. Finally, the effectiveness of the method is verified by a numerical simulation experiment with specific cases. The results show that, for 4 m thin meniscus mirror, after layout optimization, with the hydraulic passive support system, the root mean square (RMS) of the mirror surface errors of 60 point axial support system is reduced from 150.6 nm to 32.9 nm, and the RMS value of the mirror surface errors of 78 point axial support system is reduced from 45.2 nm to 22.6 nm. The optimization effect is remarkable. After active correction, the RMS value of the mirror surface errors of 60point axial support system is 14.6 nm, and it is 6.9 nm for 78 point axial support system. The requirement of the RMS value of the mirror surface error is less than/40 (=632.8 nm). The support systems meet the requirement. Finally, the 60 point axial support system was selected. Through the joint optimization of layout, stiffness and active correction for supporting points, it can greatly increase the applicability, flexibility and reduce the difficulty of implementation for the in-situ support system.

layout optimization; active optics; hydraulic Whiffletree; stiffness difference; in-situ support

TH751；TH74

A

10.12086/oee.2020.190551

: Xi X H, Zhang C J, Hu H F,. Layout-stiffness-correction force joint optimization of support system for ultra-large thin meniscus mirror[J]., 2020,47(8): 190551

習(xí)興華，張超杰，胡海飛，等. 超大口徑彎月鏡支撐點布局-剛度-校正力聯(lián)合優(yōu)化[J]. 光電工程，2020，47(8): 190551

Supported by National Natural Science Foundation of China (11873007) and Central Guiding Local Science and Technology Development Fund (202002035JC)

* E-mail: gyj5460@sohu.com

2019-09-19；

2020-01-09

國家自然科學(xué)基金資助項目(11873007)；中央引導(dǎo)地方科技發(fā)展基金(202002035JC)

習(xí)興華(1994-)，男，碩士研究生，主要從事空間光學(xué)遙感器結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方面的研究。E-mail：1973038493@qq.com

關(guān)英俊(1978-)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事空間光學(xué)遙感器結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方面的研究。E-mail：gyj5460@sohu.com