于宗英

圓是中考數(shù)學(xué)?？純?nèi)容之一. 在解決關(guān)于圓的問題時，有些數(shù)量關(guān)系隱晦，求解比較困難，這時添加適當(dāng)?shù)妮o助線，可將問題化隱為顯、化難為易，進(jìn)而巧妙地解決. 下面一起學(xué)習(xí)圓的兩類常見輔助線.

一、求弦長時，常連接半徑，作弦的垂線

例1（2019·四川·阿壩）如圖1，在半徑為5的[⊙O]中，[M]為弦[AB]的中點(diǎn)，若[OM=4]，則[AB]的長為 ? ? .

分析：連接[OA]，根據(jù)垂徑定理得到[OM⊥AB]，然后根據(jù)勾股定理求出[AM]，得到答案.

解：如圖1，連接[OA]，

∵M(jìn)為弦[AB]的中點(diǎn)，∴[OM⊥AB]，

∴[AM=OA2-OM2=52-42=3]，

∴[AB=2AM=6]，

故填6.

點(diǎn)評：求弦長時，常常借助垂徑定理及推論，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行解題.

二、見直徑，構(gòu)直角;見切點(diǎn)，構(gòu)直角

例2（2019·北京）如圖2，四邊形ABCD為菱形，以[AD]為直徑作[⊙O]交[AB]于點(diǎn)[F]，連接[DB]交[⊙O]于點(diǎn)[H]，[E]是[BC]上的一點(diǎn)，且[BE=BF]，連接[DE].

（1）求證：[DE]是[⊙O]的切線.

（2）若[BF=2]，[DH=5]，求[⊙O]的半徑.

分析：（1）連接DF，如圖3，證明[△DAF] ≌[△DCE]，可得[∠DFA=∠DEC]，證出[∠ADE=∠DEC=90°]，即[OD⊥DE]，可得[DE]是[⊙O]的切線.

（2）連接[AH]，求出[DB=2DH=25]，在[Rt△ADF]和[Rt△BDF]中，可得[AD2-（AD-BF）2=DB2-BF2]，解方程可求出[AD]的長.

解：（1）證明：如圖3，連接[DF]，

∵四邊形[ABCD]為菱形，

∴[AB=BC=CD=DA]，[AD][?][BC]，[∠DAB=∠C]，

∵[BF=BE]，∴[AB-BF=BC-BE]，即[AF=CE]，

∴[△DAF] ≌[△DCE]（[SAS]），

∴[∠DFA= ][∠DEC]，

∵[AD]是[⊙O]的直徑，

∴[∠DFA=90°]，∴[∠DEC=90°]，

∵[AD][?][BC]，∴[∠ADE=∠DEC=90°]，

∴[OD⊥DE]，

∵[OD]是[⊙O]的半徑，∴[DE]是[⊙O]的切線.

（2）如圖3，連接[AH]，

∵[AD]是[⊙O]的直徑，

∴[∠AHD=∠DFA=90°]，∴[∠DFB=90°]，

∵[AD=AB]，[DH=5]，∴[DB=2DH=25]，

在[Rt△ADF]和[Rt△BDF]中，

∵[DF2=AD2-AF2]，[DF2=DB2-BF2]，

∴[AD2-AF2=DB2-BF2]，

∴[AD2-（AD-BF）2=DB2-BF2]，

[∴][AD2-（AD-2）2=（25）2-22]，∴[AD=5].

∴[⊙O]的半徑為[52].

點(diǎn)評：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)直徑找出圖中隱含的直角.

（2019·四川·資陽）如圖4，[AC]是[⊙O]的直徑，[PA]切[⊙O]于點(diǎn)[A]，[PB]切[⊙O]于點(diǎn)[B]，且[∠APB=60°].

（1）求[∠BAC]的度數(shù);

（2）若[PA=1]，求點(diǎn)[O]到弦[AB]的距離.

提示：（1）由切線的性質(zhì)得出[PA=PB]，[∠PAC=90°]，證出[△APB]是等邊三角形，得出[∠BAP=60°]，即可得出[∠BAC] = 30°;

（2）作[OD⊥AB]于[D]，由垂徑定理得出[AD=BD=12AB]，由等邊三角形的性質(zhì)得出[AB=PA=1]，[AD=12]，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理得出[AD=3OD]，可求出[OD=36].