王友峰

關(guān)于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖計(jì)算問(wèn)題，在中考中常以選擇填空形式出現(xiàn). 解這類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)明確圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，這個(gè)扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng). 下面結(jié)合近年來(lái)的中考題，介紹和圓錐有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題的解題策略，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

一、求圓錐的側(cè)面積

例1（2019·四川·巴中）如圖1，圓錐的底面半徑r=6，高h(yuǎn)=8，則圓錐的側(cè)面積是（ ）.

A.15[π] B. 30[π]

C. 45[π] D. 60[π]

分析：圓錐的高、母線和底面半徑構(gòu)成直角三角形，由r=6，h=8，得母線l =10. 此時(shí)可以利用公式S側(cè)[=πrl]求圓錐側(cè)面積.

解：母線l =[ r2+h2=62+82=10]，則S側(cè)[=πrl] [=π×6×10=60π]，故選D.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)側(cè)面積公式，求圓錐的側(cè)面積時(shí)，只要知道半徑r和母線l即可.

二、求圓錐的底面圓的半徑

例2（2019·江蘇·無(wú)錫）已知圓錐的母線長(zhǎng)為5 cm，側(cè)面積為15π [cm2]，則這個(gè)圓錐的底面圓半徑為 cm.

分析：對(duì)于公式S側(cè)[=πrl]，已知S和l，求r，只要把S側(cè) = 15π，l = 5代入即可.

解：把S側(cè) = 15π，l = 5代入S側(cè)[=πrl]，得15π = π × r × 5，所以r = 3.

故填3.

點(diǎn)評(píng)：本題也可以先求出扇形的弧長(zhǎng)（即底面圓的周長(zhǎng)），再求出底面圓的半徑.

例3（2020·浙江·嘉興）如圖2，在半徑為[2]的圓形紙片中，剪一個(gè)圓心角為90°的最大扇形（陰影部分），則這個(gè)扇形的面積為 ;若將此扇形圍成一個(gè)無(wú)底的圓錐（不計(jì)接頭），則圓錐底面半徑為 .

分析：根據(jù)圓中90°圓周角所對(duì)的弦是直徑可確定扇形的半徑為2，進(jìn)而根據(jù)[n360=rl]，可求出圓錐的底面半徑.

解：連接BC，由∠BAC=90°得BC為⊙O的直徑，∴BC=2[2]，

在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=AC=2，

∴S扇形ABC=[90π×4360] =π;根據(jù)等式[n360=rl]，得[90360=r2]，∴r [=] [12].

故填π; [12].

點(diǎn)評(píng)：掌握“90°圓周角所對(duì)的弦是直徑”，是解題的關(guān)鍵.

三、求圓錐的母線

例4（2019·浙江·寧波）如圖3，矩形紙片ABCD中，AD=6 cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為一個(gè)圓錐的底面和側(cè)面，則AB的長(zhǎng)為（ ）.

A. 3.5 cm B. 4 cm C. 4.5 cm D. 5 cm

分析：AB的長(zhǎng)實(shí)際就是母線的長(zhǎng)l，根據(jù)扇形的圓心角為90°，可得出底面圓的半徑和母線的比值.

解：設(shè)AB = l cm，底面圓的半徑為r cm，則[rl=90360=14]，得l = 4r.

∵AD = AE + DE = 6，∴4r + 2r = 6，∴r = 1，AB = 4r = 4（cm）.

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握[n360=rl]是解題關(guān)鍵.

四、求圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角

例5（2019·山東·聊城）圖4是一個(gè)圓錐的主視圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)（單位：cm），計(jì)算這個(gè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖圓心角的度數(shù)為 .

分析：由圖可知，圓錐的底面半徑r = 1 cm，圓錐的母線l = AC=3 cm， 利用n，r，l三者關(guān)系的等式即可解題.

解：設(shè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖圓心角的度數(shù)為n°， 由圖可知r = 1，l = 3，根據(jù)等式[n360=rl]，得[n360=13]，∴n=120.

∴圓心角的度數(shù)為120°. 故填120°.

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握n，r，l三者關(guān)系，對(duì)于解題大有幫助.

通過(guò)對(duì)以上幾個(gè)問(wèn)題的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積公式、扇形面積、弧長(zhǎng)公式，特別是三者關(guān)系的等式[n360=rl]，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)中考中圓錐計(jì)算問(wèn)題的“秒殺”.

1. 已知圓錐的母線長(zhǎng)為6，將其側(cè)面沿著一條母線展開(kāi)后所得扇形的圓心角為120°，則該扇形的面積是（ ）.

A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π

2. 用半徑為10 cm、圓心角為120°的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓半徑為 cm.

答案： 1. C 2. [103].