周濤

證明不等式問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)各類(lèi)試題中常見(jiàn)的題型.要正確解答該型題目，需要我們熟練掌握證明不等式的方法和技巧.本文總結(jié)了比較法、放縮法、換元法等三種證明不等式問(wèn)題的基本方法，并結(jié)合例題來(lái)談一談運(yùn)用這三種方法證明不等式問(wèn)題的技巧.

一、比較法

比較法是解答不等式證明問(wèn)題的常見(jiàn)方法，常見(jiàn)的有作差比較法和作商比較法.作差比較法是指通過(guò)作差，將所得的差與0作比較的方法;作商比較法是指通過(guò)作商，將所得的商與1作比較的方法.這兩種方法較為相似，但有各自的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì).

例1.已知

分析：該不等式中含有對(duì)數(shù)函數(shù)，可以考慮采用作差比較法，將不等式兩邊的式子作差，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，使問(wèn)題獲解.

證明：

令 ，則有

∵

∵ ?，∴

即

例2，已知 ? ？

分析：面對(duì)底數(shù)相同的證明不等式問(wèn)題，我們不妨試著采用作商比較法，利用指數(shù)冪的運(yùn)算來(lái)證明.

證明：∵ ，

則有

當(dāng)

當(dāng)

綜上所述，當(dāng) ? 成立

在運(yùn)用比較法證明不等式時(shí)，經(jīng)常需要利用完全平方公式、因式分解、有理化等對(duì)不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形.值得注意的是，在運(yùn)用作商比較法證明問(wèn)題時(shí)，要確保分母不為0，且分子、分母同號(hào).

二、放縮法

有些證明不等式問(wèn)題無(wú)法利用現(xiàn)有的公式得出結(jié)論，此時(shí)，我們可以考慮運(yùn)用放縮法，靈活運(yùn)用一些放縮不等式的結(jié)論和技巧來(lái)證明.但在放縮時(shí)，我們要注意把握放縮的程度.

例3.求證對(duì)一切 ，都有

分析：本題可以采用放縮法，利用二項(xiàng)式定理來(lái)證明結(jié)論.

證明：∵

∴

∵

∴

在運(yùn)用放縮法證明不等式問(wèn)題時(shí)，常用的放縮技巧有添項(xiàng)放縮、減項(xiàng)放縮、裂項(xiàng)放縮等.

三、換元法

在大多數(shù)情況下，合理使用換元法能降低證明不等式問(wèn)題的難度，還能幫助我們提升解題的效率.常用的換元法有三角換元法、代數(shù)換元法和均值增量換元法.

例4.已知 ?求證 ？

證明：令

∵

∴

在證明不等式時(shí)，我們要善于聯(lián)想和變換，嘗試從不同的角度進(jìn)行換元，這樣才能拓寬解題的思路.

總之，證明不等式問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的基本題型，我們只有熟練掌握解答此類(lèi)問(wèn)題的方法和技巧，才能順利解答這類(lèi)問(wèn)題.

（作者單位：江蘇省啟東市第一中學(xué)

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