李文善

摘要：為了分析多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，構(gòu)建了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)仿真模型，通過仿真，分析多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的主要物理參數(shù)對(duì)于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響規(guī)律。并基于仿真得到的分析數(shù)據(jù)據(jù)和相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)，提出了應(yīng)用諧波平衡法的多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，并獲得最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)。

Abstract： In order to analyze the dynamic performance of the multi-stage gear transmission system， a simulation model of the gear transmission system is constructed. Through the simulation， the influence law of the main physical parameters of the multi-stage gear transmission system on the dynamic performance of the gear transmission system is analyzed. And based on the analysis data obtained by simulation and the corresponding experimental test data， a multi-stage gear transmission system optimization method based on the harmonic balance method is proposed. The housing size parameters of the reducer and the basic parameters of the gear pair are used as design variables. The transmission ratio， actual center distance， gear tooth strength， etc. are constraints， and the root mean square value of vibration acceleration and the overall mass are the goals. A multi-objective hybrid discrete optimization model is established， and the program is solved based on the branch and bound algorithm to obtain the optimal design variable.

關(guān)鍵詞：齒輪傳動(dòng)系統(tǒng);動(dòng)態(tài)性能;優(yōu)化設(shè)計(jì)

Key words： gear transmission system;dynamic performance;optimization design

0? 引言

多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)相較于普通齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)而言，具有體積小、質(zhì)量輕、傳動(dòng)效率高、傳動(dòng)精度高、承載能力高等眾多優(yōu)勢(shì)。精密設(shè)備的控制系統(tǒng)對(duì)于多級(jí)齒輪的傳動(dòng)性能在靈敏度界限、工作快速性和穩(wěn)定性方面提出更高的要求。因此，有必要對(duì)多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能開展相關(guān)的研究。

1? 建立多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析模型

1.1 構(gòu)建多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

依據(jù)剛度特性，多級(jí)齒輪傳動(dòng)與一般齒輪傳動(dòng)之間具有一定的差異，并且在負(fù)載與執(zhí)行件之間安裝徑向嚙合式多級(jí)齒輪傳動(dòng)的主要目的是為了傳遞動(dòng)力、實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)，所以必須要考慮到彈性與齒間側(cè)隙的影響[1]。通過綜合考慮彈性與齒間側(cè)隙的影響，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

而模型中的IL為負(fù)載慣量，IM是執(zhí)行電機(jī)轉(zhuǎn)子和波發(fā)生器的慣量，制定電機(jī)的轉(zhuǎn)角？漬M（t）進(jìn)行折算，使其到輸出軸上的轉(zhuǎn)角以？漬M（t）=？漬M（t）/ih。

當(dāng)系統(tǒng)存在齒間側(cè)隙為2jt的情況下，可以采用以下的方程式來表示方程組。

從上述的公式中，充分考慮了元件彈性以及齒間側(cè)隙的影響，其是一個(gè)非線性函數(shù)。在多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，將電機(jī)到負(fù)載的系統(tǒng)當(dāng)量為兩個(gè)具有彈性元件的鏈接，為間隙隔開集中質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)傳遞，模型中的Ii為IM折算到輸出軸上的慣量，？漬i（t）與Ti則為折算到輸出端的輸入轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)角。

1.2 建立多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能仿真模型

在對(duì)于多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能建立數(shù)學(xué)模型后，利用SIMULINK組件能夠?qū)崿F(xiàn)多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能仿真模型的構(gòu)建[2]。如圖1所示為仿真模型。

1.3 仿真分析和結(jié)論

對(duì)于多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能建立仿真模型，后進(jìn)行仿真分析，從而確定傳動(dòng)系統(tǒng)中的主要物理參數(shù)，得出對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)性能產(chǎn)生的影響規(guī)律。

利用某研究項(xiàng)目中應(yīng)用的多級(jí)齒輪減速器為仿真對(duì)象，總傳動(dòng)比i=80、柔輪變形波數(shù)U=2，鋼輪齒數(shù)z2=162，柔輪齒數(shù)z1=160，輸入軸轉(zhuǎn)速fH=9500r/min，嚙合角？琢n=20°，額定負(fù)載60N·m，輸入端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1=0.00022kga·m2，輸出端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0=0.2839kg·m2，0是初始條件。通過進(jìn)行各種試驗(yàn)之后，能夠得出扭轉(zhuǎn)剛度表達(dá)式各項(xiàng)，而齒間側(cè)隙則是2？漬i=8′。

在設(shè)定仿真參數(shù)之后，將上述的各項(xiàng)參數(shù)開展仿真分析，以此來得到這些參數(shù)對(duì)于傳動(dòng)系統(tǒng)性能所產(chǎn)生的影響規(guī)律。

2? 傳動(dòng)系統(tǒng)非線性振動(dòng)特性的分析

對(duì)微分方程組進(jìn)行求解，求解所用積分時(shí)間范圍為300Tm。求解時(shí)，需要對(duì)二階振動(dòng)微分方程逐步進(jìn)行降階處理，方程可表示為：x2=f（t，x（1），x（2））。

2.1 轉(zhuǎn)速對(duì)于系統(tǒng)非線性振動(dòng)特性的影響

齒輪傳動(dòng)正逐步向高速和重載的方向發(fā)展，因此有必要對(duì)轉(zhuǎn)速影響系統(tǒng)振動(dòng)特性開展系統(tǒng)的研究，設(shè)定傳動(dòng)系統(tǒng)的無量綱頻率在？贅=0.001～1.5在范圍內(nèi)變化。當(dāng)？贅<0.2時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出單周期的非諧響應(yīng)特性。此時(shí)，系統(tǒng)位移反映的時(shí)間歷程圖即單周期曲線，并且頻譜圖分布在m？贅的離散點(diǎn)上。隨著無量綱頻率的增加，系統(tǒng)將會(huì)由倍周期分叉進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)。隨頻率的逐漸加大，系統(tǒng)響應(yīng)狀態(tài)呈無規(guī)律的反復(fù)變化，且運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)也更為復(fù)雜而多變，混沌區(qū)域出現(xiàn)了眾多的周期性窗口，同時(shí)窗口寬窄呈現(xiàn)交替漸變趨勢(shì)。隨著頻率的再次升高，齒輪副動(dòng)載荷系數(shù)也將隨之加大，系統(tǒng)將在無沖擊狀態(tài)下顯現(xiàn)單邊及雙邊沖擊。當(dāng)無量綱頻率增至1附近時(shí)，動(dòng)載荷系數(shù)出現(xiàn)最大值，沖擊情況最為嚴(yán)重。

2.2 黏滯摩擦因數(shù)對(duì)于傳動(dòng)系統(tǒng)性能的影響

利用仿真分析可以得知在不同黏滯摩擦因數(shù)的響應(yīng)曲線，如圖2所示，而系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖3所示。

通過圖2、圖3，能夠得到傳動(dòng)系統(tǒng)中黏滯摩擦因數(shù)對(duì)于傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能所造成的影響。隨著黏滯摩擦因素的不斷增加，而傳動(dòng)系統(tǒng)的相位差也在逐漸的擴(kuò)大，出現(xiàn)這一問題的主要原因在于：隨著黏滯摩擦因數(shù)的上升，傳動(dòng)系統(tǒng)中的摩擦力矩也會(huì)隨之上升，這表示隨著摩擦動(dòng)態(tài)方程中阻尼項(xiàng)參數(shù)的不斷上升，將會(huì)出現(xiàn)這些反應(yīng)[3]。除此之外，還會(huì)導(dǎo)致多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，機(jī)械效率逐漸出現(xiàn)下降情況。因此，在設(shè)計(jì)傳動(dòng)系統(tǒng)的過程中，必須要考慮傳動(dòng)系統(tǒng)的一定速遞效率、一定快速性，在這一前提條件下，可以有效的降低系統(tǒng)的粘滯摩擦因數(shù)。

2.3 齒間側(cè)隙對(duì)于多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的性能影響

如果構(gòu)建仿真模型采用齒間側(cè)隙的話，其響應(yīng)曲線如圖4所示。而在采用不同齒間側(cè)隙后，如圖4所示為系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。

基于圖4的曲線圖，傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)間隙對(duì)于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響主要體現(xiàn)在：當(dāng)傳動(dòng)系統(tǒng)存在間隙時(shí)，響應(yīng)的穩(wěn)定性和快速性都會(huì)下降，同時(shí)因?yàn)榇嬖陂g隙，所以雖然傳動(dòng)系統(tǒng)可以達(dá)到最佳的穩(wěn)定狀態(tài)，但是傳動(dòng)系統(tǒng)也同樣會(huì)存在一定振幅的振動(dòng)，并對(duì)于整個(gè)工作的穩(wěn)定性造成嚴(yán)重的影響[4]。所以，在對(duì)于多級(jí)齒輪的傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)和制造等過程中，需要以系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)潤(rùn)滑為前提，同時(shí)滿足這一前提條件下，盡可能的消除傳動(dòng)系統(tǒng)中所存在的裝配間隙與其誤差，以此來保障傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)功能。

3? 多級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)變量

多級(jí)齒輪減速器具有結(jié)構(gòu)復(fù)雜的特性，充分考慮減速器的安裝環(huán)境及條件，設(shè)減速器外型尺寸不出現(xiàn)較大變化，隨后逐一選取傳動(dòng)系統(tǒng)和對(duì)應(yīng)殼體中的關(guān)鍵性幾何參數(shù)作為設(shè)計(jì)的變量。傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)變量為齒輪的模數(shù)（m）、齒數(shù)（Z）和齒寬（b），對(duì)應(yīng)殼體的變量分別為各子塊的壁厚（β），累計(jì)設(shè)置15個(gè)變量，其變量矩陣表達(dá)式：

3.2 目標(biāo)函數(shù)

綜合考慮減速器的抗振性及輕量化設(shè)計(jì)等兩個(gè)方面的具體要求， 同時(shí)密切注意到傳動(dòng)系統(tǒng)與殼體間的振動(dòng)響應(yīng)幅值處存在較大差別的實(shí)際，采用線性加權(quán)組合法，構(gòu)建出目標(biāo)函數(shù)：

3.3 約束條件

一般而言，多級(jí)齒輪的總傳動(dòng)均比較大，考慮到齒數(shù)優(yōu)化后可能會(huì)引起減速器總傳動(dòng)比發(fā)生變化，所以需要對(duì)總傳動(dòng)比提前進(jìn)行約束。此外，因多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中存在最小齒數(shù)與總傳動(dòng)比之間合理分配的實(shí)際情況，且各齒輪齒數(shù)應(yīng)取整數(shù)，故對(duì)應(yīng)的取值范圍如下：

眾所周知，齒輪的大齒寬對(duì)應(yīng)高強(qiáng)度。但齒寬過大會(huì)導(dǎo)致齒輪載荷分布不均勻，因此有必要設(shè)置寬徑比約束條件。實(shí)際生產(chǎn)中，為便于加工和測(cè)量，通常將齒寬的結(jié)尾數(shù)值取0和5。綜上所述，齒輪寬徑比約束取值范圍如下：

3.4 優(yōu)化模型求解

多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能優(yōu)化模型其實(shí)質(zhì)為一個(gè)多目標(biāo)混合離散規(guī)劃，離散設(shè)計(jì)變量為齒輪的m，整型設(shè)計(jì)變量分別為z、b和β。本文利用Matlab軟件和分枝定界法思想編程求解，其算法的基本過程簡(jiǎn)述如下：

首先，確定相互嚙合的各級(jí)齒輪m的組合，其可行域設(shè)定為6。

其次，獲得滿足齒數(shù)、裝配、傳動(dòng)比、鄰接和中心距等約束條件的齒數(shù)組合可行閾值。

第三，在確定的齒輪m和齒數(shù)等約束條件下，逐步求解滿足輪齒強(qiáng)度、寬徑比約束條件的齒寬可行域6;隨后，獲取目標(biāo)函數(shù)的局部最優(yōu)解并存儲(chǔ)相關(guān)信息。

最后，變換m及z再次進(jìn)行計(jì)算，便可獲得局部最優(yōu)解集合，局部最優(yōu)解集合中使目標(biāo)函數(shù)最小的設(shè)計(jì)變量即為全局最優(yōu)解[5]。通過上述混合離散優(yōu)化求解，便可得到多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)變量最優(yōu)值。忽略齒側(cè)間隙和摩擦力矩等非線性因素會(huì)在一定程度上影響到優(yōu)化計(jì)算的準(zhǔn)確性，為檢驗(yàn)優(yōu)化效果，將優(yōu)化后設(shè)計(jì)變量值，代入考慮非線性因素的減速器耦合系統(tǒng)集中參數(shù)模型中，計(jì)算構(gòu)件的振動(dòng)加速度和質(zhì)量，將優(yōu)化后各構(gòu)件的振動(dòng)加速度均方根值和質(zhì)量除以優(yōu)化前的相應(yīng)值，可得到優(yōu)化后振動(dòng)加速度均方根值和質(zhì)量的相對(duì)值[6]。

3.5 優(yōu)化結(jié)果

優(yōu)化后的具體結(jié)果如表1所示。優(yōu)化后多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中的振動(dòng)速度降低，傳動(dòng)系統(tǒng)構(gòu)件振動(dòng)加速度均方根值平均降低36.8m/s2，較優(yōu)化前減小了33.5%，實(shí)現(xiàn)了減振的目的;傳動(dòng)系統(tǒng)質(zhì)量降為2532kg，較優(yōu)化前減小了12.96%。

4? 結(jié)語

綜上所述，通過分析齒間側(cè)隙對(duì)多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能造成的影響，以此為基礎(chǔ)構(gòu)建傳動(dòng)系統(tǒng)的模型，通過仿真，分析傳動(dòng)系統(tǒng)中的齒間側(cè)隙、黏滯摩擦因數(shù)等主要參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響。最后，通過對(duì)某一型號(hào)的多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化，得到了優(yōu)化參數(shù)，并且傳動(dòng)系統(tǒng)重量減輕，性能也得到了提高。

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