張澤亞

摘要：隨著經(jīng)濟(jì)全球化以及投資自由化的發(fā)展，人們逐漸有了投資的意識(shí)，金融市場(chǎng)也越來(lái)越被需要。作為國(guó)民經(jīng)濟(jì)的晴雨表，股票關(guān)系到許多方面。因此，無(wú)論是對(duì)于政府主管部門(mén)還是廣大股民，對(duì)股票收益率的分析都具有重大意義。除此之外，由于正態(tài)分布具備許多特殊的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，所以人們常常將收益率假設(shè)為服從正態(tài)分布。然而近年來(lái)通過(guò)不斷的研究發(fā)現(xiàn)，收益率通常具有“尖峰厚尾性”，這就意味著拒絕了其服從正態(tài)分布的傳統(tǒng)假設(shè)。因此，分析收益率的分布特征不僅對(duì)研究收益率自身極為必要，而且對(duì)于其他的理論研究也具有重大意義。文章主要通過(guò)四個(gè)部分來(lái)進(jìn)行介紹：首先是緒論部分，即介紹研究的背景、現(xiàn)狀及研究意義。其次是正文部分，即對(duì)股票收益率進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)以及尖峰后尾性質(zhì)的檢驗(yàn)，分析幾種常用于解釋收益率分布特征的分布，例舉出幾種檢驗(yàn)擬合優(yōu)度的方法，接著運(yùn)用origin軟件對(duì)幾種中國(guó)股票收益率的實(shí)證分析研究，通過(guò)比較擬合優(yōu)度找到適合解釋收益率的統(tǒng)計(jì)分布。最后進(jìn)行總結(jié)。

關(guān)鍵詞：股票收益率;統(tǒng)計(jì)分析

1.引言

1.1研究背景

股份公司為了籌集資金，會(huì)發(fā)行給各股東一種有價(jià)證券，并以此作為持股憑證來(lái)獲得股息和紅利，這種有價(jià)證券被稱為股票。股票最先起源于資本主義國(guó)家。1602年，在荷蘭的阿姆斯特丹成立的東印度公司是世界上第一個(gè)股份有限公司。緊接著，英國(guó)和美國(guó)的股票市場(chǎng)也開(kāi)始發(fā)展起來(lái)。我國(guó)最早出現(xiàn)的股票是外商股票。1986年，上海靜安證券業(yè)務(wù)部的開(kāi)張標(biāo)志著中國(guó)第一個(gè)股票交易所的成立。在三十多年的發(fā)展中，中國(guó)股票市場(chǎng)經(jīng)歷了多變的政策選擇，在不斷的摸索中逐漸形成了完善的體系。

伴隨著股票市場(chǎng)的發(fā)展，對(duì)股票市場(chǎng)的研究也從未間斷。1990年，法國(guó)金融學(xué)家Louis Bachelier發(fā)表的一篇論文中第一次提出了用正態(tài)分布去擬合資產(chǎn)價(jià)格的分布。再后來(lái)，很多學(xué)者通過(guò)多方面的分析及證明也肯定了股票收益率服從正態(tài)分布這一理論。然而，在實(shí)際的股市行情中，股票收益率分布與正態(tài)分布的擬合程度并沒(méi)有這么理想。一開(kāi)始，人們會(huì)將無(wú)法擬合的點(diǎn)當(dāng)作極端值或異常值。再經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)一段時(shí)間的研究之后，許多科學(xué)家又開(kāi)始嘗試運(yùn)用其他的方式來(lái)解釋股票收益率的分布。近年來(lái)，在中西方學(xué)者的研究成果中都能夠發(fā)現(xiàn)，股票的收益率并不是服從于正態(tài)分布，而是在峰值處較尖，峰度較陡，而尾處平緩呈現(xiàn)出了一種尖峰厚尾的特性，但是仍沒(méi)有研究出一種可以準(zhǔn)確擬合收益率分布的統(tǒng)計(jì)模型。

1.2研究意義

作為整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的基石，股市的作用和地位是不能被替代的。股票既可以通過(guò)充分調(diào)動(dòng)社會(huì)中的閑散資金發(fā)展國(guó)家經(jīng)濟(jì)建設(shè)，還可以促進(jìn)資金和經(jīng)濟(jì)的聯(lián)系。因此，無(wú)論是對(duì)于政府、證券交易所還是對(duì)廣大股民來(lái)說(shuō)，正確地描述股票收益率的大致模型都具有重要的意義。分析出收益率的分布特征不僅有助于研究收益率自身分布的客觀規(guī)律，也有利于研究其他相關(guān)的理論學(xué)說(shuō)。

2.研究股票收益率分布的相關(guān)理論介紹

2.1股票收益率的定義及計(jì)算方法

股票收益率（即獲利率）=股息或紅利/股票市場(chǎng)價(jià)格。股票收益率可用于計(jì)算已得的和預(yù)測(cè)未來(lái)的股票收益率。計(jì)算方式如下：

假設(shè)Pt為t期末的股票價(jià)格，則從t期到t+δ期的股票差可以定義為：△Pt=Pt+δ-Pt。設(shè)Rt為簡(jiǎn)單收益率，則股票簡(jiǎn)單收益率為

若采用復(fù)利計(jì)算投資收益率，那么設(shè)Rt為年利率，n為每期復(fù)利的次數(shù)，δ為投資期限，當(dāng)n→∞時(shí)，δ年后可獲得的資金Pt+δ為Pt+δ=Pt·eδRt。

2.2正態(tài)分布及尖峰厚尾的定義

2.2.1正態(tài)分布的定義及圖形特點(diǎn)

如果隨機(jī)變量X的概率密度為：

則稱X服從正態(tài)分布，隨機(jī)變量X的均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ，記為X～N（u，σ2）。當(dāng)σ越小時(shí)，概率密度曲線f（x）的坡度越陡;當(dāng)σ越大時(shí)，曲線f（x）的坡度越平。

2.2.2尖峰后尾的定義

尖峰厚尾分布的特性一般是相對(duì)于正態(tài)分布來(lái)說(shuō)的。當(dāng)離散程度（即方差）與正態(tài)分布相同時(shí)，在其均值位置處，尖峰厚尾分布的峰值較大，峰度較陡，峰處較尖，因此被稱為尖峰分布。由于峰值處的集中水平較高，尾部相比較正態(tài)分布而言就會(huì)顯得比較平坦，因此被稱為厚尾分布。金融數(shù)據(jù)常常會(huì)出現(xiàn)尖峰厚尾的特征。

2.3正態(tài)性于尖峰后尾檢驗(yàn)法

2.3.1Q-Q圖檢驗(yàn)

Q-Q圖是一種散點(diǎn)圖，可以通過(guò)觀察來(lái)判斷一組數(shù)據(jù)服從于哪一種分布，通常被用作檢驗(yàn)是否服從正態(tài)分布。通常情況下，Q-Q圖的橫坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點(diǎn)，縱坐標(biāo)為實(shí)際的數(shù)值。當(dāng)Q-Q圖上的樣本點(diǎn)近似地可以看作在一條直線附近時(shí)，就可以判斷出該組樣本數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布，同時(shí)，這組數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差可以由該直線的截距和斜率得出。樣本的偏態(tài)程度和峰態(tài)程度也可以通過(guò)Q-Q圖粗略的得出。

2.3.2峰度檢驗(yàn)

峰度，又被稱為峰態(tài)系數(shù)。它測(cè)量了一組數(shù)據(jù)的分布平峰或者尖峰的程度。峰態(tài)系數(shù)作為測(cè)度峰態(tài)的統(tǒng)計(jì)量，一般由K表示。定義上，峰度系數(shù)相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的四階原點(diǎn)距，四階標(biāo)準(zhǔn)矩又可定義為：μ4/σ4，其中，σ為標(biāo)準(zhǔn)差，μ4為四階原點(diǎn)距。一般情況下，當(dāng)K=3時(shí)為正態(tài)分布;K<3時(shí)為扁平分布;K>3時(shí)為尖峰分布。

2.3.3偏度檢驗(yàn)

偏度，又稱偏態(tài)系數(shù)，用于測(cè)度數(shù)據(jù)分布的對(duì)稱性，記作SK。偏度為一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化三階矩，定義式為E[（（X-μ）/σ）3]=K3/σ3。由于正態(tài)分布的奇數(shù)階原點(diǎn)矩均為零，因此正態(tài)分布的偏度系數(shù)為零。當(dāng)SK<0時(shí)，可以判斷出數(shù)據(jù)右偏;當(dāng)SK>0時(shí)，可以判斷出數(shù)據(jù)左偏。

2.3.4Jarque-Bera檢驗(yàn)

Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量，簡(jiǎn)稱JB統(tǒng)計(jì)量，它結(jié)合了偏度系數(shù)和峰度系數(shù)，用來(lái)檢驗(yàn)樣本是否服從正態(tài)分布。JB統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法為JB=n（S2+K2/4）/6，其中，K為峰度系數(shù)，S為偏度系數(shù)。由于JB統(tǒng)計(jì)量服從自由度為2的x2分布，所以可以通過(guò)計(jì)算JB的值，分析隨機(jī)變量的峰度分布情況：當(dāng)JB<x2α（2）時(shí)，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布;當(dāng)JB>x2α（2）時(shí)，隨機(jī)變量不服從正態(tài)分布。

2.3.5厚尾分布檢驗(yàn)

假設(shè)存在一組隨機(jī)變量X，其分布函數(shù)F（X）滿足

假設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則有：

通常情況下，正態(tài)分布被人們認(rèn)為是薄尾分布。因此由式（2-12）可得，當(dāng)r>0時(shí)，隨機(jī)變量可被視為厚尾分布;當(dāng)r=0時(shí)，隨機(jī)變量可被視為薄尾分布。

在過(guò)去的研究中，人們也嘗試了運(yùn)用多種統(tǒng)計(jì)模型去擬合收益率的分布情況。由于在接下來(lái)的章節(jié)中會(huì)用origin軟件去擬合分布，所以在下一節(jié)中主要介紹origin軟件中所包含的可以用來(lái)擬合收益率分布的幾種分布模型。

2.4常用于解釋收益率分布的統(tǒng)計(jì)分布

2.4.1柯西分布

柯西分布，在物理學(xué)中又被稱為洛倫茲分布，其分布函數(shù)為：

其中，x0表示分布峰值所在的位置，γ為最大值一半處的寬度。當(dāng)x0=0，γ=1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布?？挛鞣植嫉母怕拭芏群瘮?shù)圖像為鐘型，這一點(diǎn)與正態(tài)分布非常相似，但是柯西分布概率密度圖下降至零的速度比正態(tài)分布慢了很多。

假設(shè)一組數(shù)據(jù)服從標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，判斷其是否具有厚尾特征：

從式（2-6）中可以得出r=1>0，因此在一定的條件下，柯西分布是一個(gè)厚尾分布。

2.4.2極值分布

在概率論中，對(duì)于某一特定的研究主體，按一定的特征將其劃分成若干組，從每一組挑選出其中的最大值（或最小值），這些最大值（或最小值）會(huì)服從一定的分布f（x），f（x）就稱為極值分布。在金融研究方面，極值分布常被用于對(duì)隨即變量最大或最小值的概率分布和邊際概率的尾部建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)計(jì)所有持有資產(chǎn)的收益和預(yù)計(jì)風(fēng)險(xiǎn)。

在實(shí)際的運(yùn)用中，為了方便，人們常用廣義極值分布來(lái)表示極值分布，這時(shí)就會(huì)引入位置、尺度和形狀參數(shù)，分別為μ，σ，ξ。在引入位置和尺度參數(shù)后，分布函數(shù)中的x就由（x-μ）/σ替代，接著引入形狀參數(shù)，得到的統(tǒng)一的表達(dá)式為：

2.5擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法

2.5.1判定系數(shù)檢驗(yàn)

判定系數(shù)是用于度量估計(jì)的回歸方程的擬合優(yōu)度。因變量y會(huì)受到自變量x以及除x以外其他因素的影響從而有所波動(dòng)，這種波動(dòng)稱為變差。對(duì)于一個(gè)具體的數(shù)值來(lái)說(shuō)，變差為觀測(cè)值與這組數(shù)據(jù)平均值的差?？偲椒胶途褪莕個(gè)數(shù)值變差的和，記為

則反映的是實(shí)際值與估計(jì)值的差，不能通過(guò)回歸直線來(lái)解釋，被稱為殘差平方和，用SSE來(lái)表示。通過(guò)分析可知，擬合程度的高低是由SSR和SSE來(lái)決定的，因此產(chǎn)生了判定系數(shù)R2。判定系數(shù)為回歸平方和與總平方和之比：

實(shí)際數(shù)值如果與估計(jì)值越接近，則SSE就越小，R2就越大;當(dāng)R2=1時(shí)，實(shí)際數(shù)值與估計(jì)值完全擬合;若SSE越大，則說(shuō)明實(shí)際數(shù)值越遠(yuǎn)離估計(jì)值，R2就會(huì)越小。因此，可以通過(guò)R2的值來(lái)判斷擬合優(yōu)度：R2越大，擬合程度越好;R2=1時(shí)，完全擬合。

2.5.2殘差圖檢驗(yàn)

殘差通常用e表示，寫(xiě)為? ? ? ? ? ? ? ? ?，表示實(shí)際觀測(cè)值與回歸后的估計(jì)值之間的差值，一組數(shù)據(jù)中所有的殘差相加就為殘差平方和SSR。

由于在回歸模型中存在一個(gè)假定期望等于零、方差相等且服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量ε，因此對(duì)回歸程度的檢驗(yàn)也可以說(shuō)是對(duì)隨機(jī)變量ε的假定是否成立的檢驗(yàn)，這種檢驗(yàn)的方法之一就是運(yùn)用殘差圖分析。若回歸模型選取合理，那么殘差分布圖中的所有點(diǎn)都應(yīng)該分布在一跳水平區(qū)間之中。如果殘差圖中的點(diǎn)分布在一條逐漸擴(kuò)大的區(qū)間內(nèi)或者散亂分布，表明所選取的擬合模型是不合理的，需要考慮更換模型重新擬合。

3.中國(guó)股票收益率分布特征的實(shí)證分析

3.1數(shù)據(jù)選取

為了驗(yàn)證我國(guó)股票收益率的分布情況，本章節(jié)選取了上證指數(shù)和深證A指從2013年至2019年股票收益率的數(shù)據(jù)，來(lái)研究其分布特征。

上證指數(shù)，即上海證券綜合指數(shù)，1991年7月15日正式發(fā)布，反映的是在上海證券交易所所上市的全部證券股票價(jià)格的實(shí)際變動(dòng)情況。深證成份股指數(shù)是從上市的所有股市中抽取40家有代表性的公司，將他們的股市作為分析對(duì)象，并把權(quán)數(shù)設(shè)定為流通股，計(jì)算得出加權(quán)股價(jià)指數(shù)。

3.2收益率的正態(tài)性和尖峰后尾檢驗(yàn)

在以前的大部分文獻(xiàn)中，收益率是服從正態(tài)分布的。但是近幾年經(jīng)過(guò)人們的反復(fù)分析，有一部分人則認(rèn)為收益率具有尖峰后尾性，因此并不服從于正態(tài)分布。利用SPSS做QQ圖后可以發(fā)現(xiàn)，雖然收益率大部分呈一條直線，但是尾處與直線偏離程度較大，因此分析收益率為厚尾分布。通過(guò)計(jì)算可得，上證指數(shù)的偏度和峰度分別為-0.942和6.487，深證A指的偏度和峰度分別為-0.827和3.722。

假設(shè)置信區(qū)間為95%，提出假設(shè)H0：收益率服從正態(tài)分布;H1：收益率不服從正態(tài)分布。由上兩表的數(shù)據(jù)可以得出可用來(lái)判斷是否服從正態(tài)分布的JB值：

查表得xα（2）=5，上證指數(shù)與深證A指的JB值明顯大于5.991，所以拒絕原假設(shè)，上證指數(shù)與深證A指的收益率不服從正態(tài)分布，而是具有尖峰厚尾的特性。

3.3收益率分布模型的擬合

由第二章的內(nèi)容可知，在origin軟件中，柯西分布和極值分布在一定的條件下可能可以比正態(tài)分布更好地?cái)M合收益率分布情況，因此需要判斷出哪一個(gè)統(tǒng)計(jì)模型可以更好地用來(lái)描述收益率分布特征。

在進(jìn)行分析之前，由于每一個(gè)數(shù)據(jù)都具有自己的維度，即一個(gè)數(shù)據(jù)會(huì)受到多方面的影響。如果直接采用原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，那么這些方面對(duì)股票收益率的影響程度是不一樣的，因此需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。使數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的方法有很多，這里采用正規(guī)化方法，即z-score標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行變化。

在得到一組標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)后，作出這組數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表，在圖中連接各點(diǎn)后與上述統(tǒng)計(jì)模型擬合，擬合得出的結(jié)果如下：

圖3-1中的四張圖顯示了用origin軟件擬合上證指數(shù)與柯西分布、廣義極值分布以及正態(tài)分布擬合的大致圖像。從圖中可以看出，廣義極值分布則不能較好地?cái)M合收益率的峰度和左尾。從擬合的圖像上可以判斷在這三種分布模型中柯西分布用來(lái)描述上證指數(shù)收益率是最優(yōu)的。下面繼續(xù)分析這三種模型與深證A指的擬合程度。

圖3-2顯示了三種分布模型與深證A指收益率分布的擬合情況。由上圖可以看出，廣義極值分布仍不能較好地?cái)M合收益率分布的左尾;然而在擬合深證A指時(shí)，正態(tài)分布與柯西分布的擬合程度都較好。接下來(lái)需要通過(guò)擬合優(yōu)度的計(jì)算以及殘差圖來(lái)判斷哪種模型能夠最好的擬合收益率分布。

3.4擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)

根據(jù)第二章節(jié)的內(nèi)容得出，可以通過(guò)殘差圖以及判定系數(shù)來(lái)比較擬合優(yōu)度。但是當(dāng)做出殘差圖后發(fā)現(xiàn)，各個(gè)分布擬合后除個(gè)別極端值外，基本上都落在了一條水平帶中間。

通過(guò)origin軟件可求得各擬合的判定系數(shù)，其中上證指數(shù)的柯西分布、廣義極值分布、正態(tài)分布的分別為0.99378、0.94846、0.96963，深證A指的柯西分布、廣義極值分布、正態(tài)分布的分別為0.98282、0.95484、0.98275。所以，不論是上證指數(shù)還是深證A指，柯西分布擬合后的判定系數(shù)都大于其他分布擬合后所得的判定系數(shù)，再結(jié)合之前的殘差圖可以得出以下結(jié)論：柯西分布較正態(tài)分布和廣義極值分布相比可以更好地?cái)M合股票收益率分布。

4.總結(jié)與展望

4.1總結(jié)

本文主要研究的是通過(guò)統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)中國(guó)股票收益率分布特征進(jìn)行分析。首先介紹可以運(yùn)用于解釋許多分布情況的正態(tài)分布模型去擬合。顯然，正態(tài)分布不能夠很好地反映收益率分布的峰度和尾部分布情況，從而證明收益率不是完全服從于正態(tài)分布的。股票收益率屬于金融數(shù)據(jù)，易受到時(shí)間的影響，而且極端值出現(xiàn)的概率較大。通過(guò)峰度的計(jì)算及檢驗(yàn)，得出我國(guó)股票收益率服從尖峰厚尾分布。本文中的第二章節(jié)介紹了origin軟件中一些可以用來(lái)擬合收益率分布的幾種統(tǒng)計(jì)模型以及擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)方法，例如柯西分布、廣義極值分布等。接著，對(duì)我國(guó)2013-2019年的上證指數(shù)和深證A指進(jìn)行了實(shí)證分析，并通過(guò)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，柯西分布能夠比正態(tài)分布更好地解釋收益率分布的峰度和尾部，所以說(shuō)柯西分布也可以較好地?cái)M合我國(guó)收益率的分布情況。

4.2展望

金融市場(chǎng)的數(shù)據(jù)分析一直是一個(gè)熱門(mén)的話題。尤其是股票收益率，吸引了很多學(xué)者的關(guān)注。近代的學(xué)者們已經(jīng)推翻了以前人們所得出的收益率服從正態(tài)分布這一論點(diǎn)，得出了收益率有尖峰厚尾的特性，并分析出了收益率可以近似地由混合正態(tài)分布或t分布去擬合，取得了很大的進(jìn)步。但是，股票收益率是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，受著很多因素的影響，目前所研究出的擬合模型其實(shí)也不能完全用來(lái)去解釋收益率的分布情況。在以后的分析和研究中，學(xué)者們也會(huì)將這些影響因素帶入分析的范圍內(nèi)，研究出更好地可以擬合收益率的統(tǒng)計(jì)模型。通過(guò)統(tǒng)計(jì)模型的建立去預(yù)測(cè)將來(lái)股票收益率的發(fā)展情況，為人們的投資指明更好的道路。

參考文獻(xiàn)：

[1]余之明.股票的起源及發(fā)展探微[J].中國(guó)機(jī)電工業(yè)，1999（1）：37-38.

[2]邊寬江，程波，王蕾蕾.收益分布尖峰厚尾問(wèn)題的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2009（7）：83-85.

[3]朱松濤.關(guān)于Cauchy分布的若干結(jié)論[N].濟(jì)寧師范專科學(xué)校學(xué)報(bào)，1995（3）：5-7.