摘 要:球是一種基本且重要的幾何體,與球有關(guān)的問題一直是高考考查的熱點(diǎn).加強(qiáng)對球問題考查特點(diǎn)的研究,提高教學(xué)的針對性和有效性,是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中值得關(guān)注的一個課題.本文試圖以高考的視角,探究考查球的常見方式與應(yīng)對策略.不足之處,請批評指正.
關(guān)鍵詞:高考;球;考查方式;對策;截面;相接;相切
中圖分類號:G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A????? 文章編號:1008-0333(2020)34-0049-03
收稿日期:2020-09-05
作者簡介:廖永福(1962.8-),男,福建省仙游人,本科,中學(xué)高級教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.
高考考查球的常見方式有三種:以“截面”為載體進(jìn)行考查、以“相接”為載體進(jìn)行考查和以“相切”為載體進(jìn)行考查.題型多為選擇題或填空題,難度基礎(chǔ)或中等.主要考查球的概念、球的截面的性質(zhì)、球的體積和表面積的計算、球的切接問題等.以近幾年高考試題為例闡述如下.
一、以“截面”為載體進(jìn)行考查
用一個平面去截球面,當(dāng)平面過球心時,截面是球的大圓;當(dāng)平面不過球心時,截面是球的小圓.解決這類問題的關(guān)鍵在于抓住球的截面的性質(zhì):(1)球心與截面小圓圓心的連線垂直于截面;(2)球的半徑R、截面圓的半徑r及球心到截面的距離d滿足R2=r2+d2.
例1 (2013年新課標(biāo)Ⅰ文)已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn),AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H為垂足,α截球O所得截面的面積為π,則球O的表面積為.
分析 由截面圓的面積可求出截面圓的半徑,再根據(jù)球的截面性質(zhì),列出關(guān)于球半徑的方程,求出球的半徑,即可求出球的表面積.
解答 設(shè)球的半徑為R,∵AH∶HB=1∶2,∴球心O到平面α的距離d=13R.
∵α截球O所得截面的面積為π,∴截面圓的半徑r=1.
由R2=r2+d2得R2=12+(13R)2,∴R2=98.
∴球的表面積S=4πR2=9π2.
故答案為9π2.
點(diǎn)評 本題考查球的截面性質(zhì)和球的表面積的計算等,求出球的半徑是解題的關(guān)鍵.
例2 (2013年大綱版)已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓,其公共弦長等于球O的半徑,OK=32,且圓O與圓K所在的平面所成角為60°,則球O的表面積等于.
分析 正確作出圖形,根據(jù)球的截面性質(zhì)可得OK⊥⊙K所在的平面,在Rt△OCK中求出OC,再在等邊△OAB中求出球的半徑OA,問題得解.
解答 如圖2,設(shè)C是兩圓公共弦AB的中點(diǎn),則AB⊥OC,AB⊥CK,從而∠OCK是二面角O-AB-K的平面角,∠OCK=60°.
圖2
在△OCK中,∵∠OKC=90°,OK=32,∴OC=3.
在△OAB中,∵AB=OA=OB,∴OA=OCsin60°=2.
∴球O的表面積等于S=4π·OA2=16π.故答案為16π.
點(diǎn)評 本題考查二面角、球的截面的性質(zhì)和球的表面積的計算等,正確作出圖形,求出球的半徑是解題的關(guān)鍵.
二、以“相接”為載體進(jìn)行考查
若一個多面體的各頂點(diǎn)都在一個球的球面上,則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體,這個球是這個多面體的外接球.類似地,若一個旋轉(zhuǎn)體的頂點(diǎn)和底面圓周上各點(diǎn)都在一個球的球面上,則稱這個旋轉(zhuǎn)體是這個球的內(nèi)接旋轉(zhuǎn)體,這個球是這個旋轉(zhuǎn)體的外接球.這類問題統(tǒng)稱為相接問題,球面與幾何體的公共點(diǎn)就是接點(diǎn).解決這類問題的關(guān)鍵在于抓住相接的特點(diǎn),即球心到接點(diǎn)的距離等于球的半徑.
1.球與柱體
例3 (2017年新課標(biāo)Ⅲ)已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為(? ).
A.π? B.3π4? C.π2? D.π4分析 由于圓柱內(nèi)接于球,根據(jù)相接的特點(diǎn)及截面的性質(zhì)知,連結(jié)圓柱上下底面圓心的線段O1O2的中點(diǎn)即為球心O,如圖,在Rt△OO2A中,求出圓柱底面半徑O2A,就能求出圓柱的體積.圖3
解答 如圖3,∵圓柱O1O2內(nèi)接于球O,
∴O為線段O1O2的中點(diǎn),且O1O2⊥⊙O2所在的平面,∴O1O2⊥O2A.
在Rt△OO2A中,O2A=OA2-OO22=12-(12)2=32.
∴圓柱的體積V=Sh=π×(32)2×1=3π4.故選B.
點(diǎn)評 本題考查球與圓柱相接的特點(diǎn),球的截面的性質(zhì)和圓柱的體積的計算等,確定球心的位置,求出底面圓的半徑是解題的關(guān)鍵.
例4 (2009年全國卷Ⅰ)直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,則此球的表面積等于.
分析 由于直三棱柱內(nèi)接于球,根據(jù)相接的特點(diǎn)及截面的性質(zhì)知,連結(jié)直三棱柱上下底面外接圓圓心的線段O1O2的中點(diǎn)即為球心O,如圖,在Rt△OO2A圖4中,OA=OO22+O2A2,求出O2A,就能求出OA,進(jìn)而求出球的表面積.
解答 如圖4,設(shè)O1、O2為直三棱柱上下底面外接圓的圓心.
∵直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)接于球O,
∴O為線段O1O2的中點(diǎn),且O1O2⊥平面ABC,∴O1O2⊥O2A.
在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,由余弦定理可得BC=23,再由正弦定理可得O2A=2.
在Rt△OO2A中,OA=OO22+O2A2=12+22=5.
故此球的表面積為4πOA2=20π,故答案為:20π.
點(diǎn)評 本題考查球與棱柱相接的特點(diǎn),球的截面的性質(zhì)和球的表面積的計算等,確定球心的位置,求出球的半徑是解題的關(guān)鍵.
2.球與錐體
例5 (2011年新課標(biāo))已知兩個圓錐有公共底面,且兩個圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個球面上,若圓錐底面面積是這個球面面積的316,則這兩個圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高的比值為.
分析 由于圓錐AO1和圓錐BO1內(nèi)接于球,根據(jù)相接的特點(diǎn)及截面的性質(zhì),線段AB是球O的直徑. 由圓錐底面面積是球面面積的316,可得O1COC=32, O1OOC=12,從而可求得O1AO1B=13.
圖5
解答 如圖5,依題意得πO1C24πOC2=316,∴O1COC=32.
∵圓錐AO1和圓錐BO1內(nèi)接于球,
∴O∈AB且AB⊥⊙O1所在的平面,∴AB⊥O1C.
在Rt△OO1C中,O1OOC=1-(O1COC)2=12,∴OC=2O1O.
從而O1AO1B=OA-O1OO1O+OB=2O1O-O1OO1O+2O1O=13.
點(diǎn)評 本題考查球和圓錐相接的特點(diǎn),球的截面的性質(zhì)以及圓錐高的計算等,確定球心的位置,得出OC=2O1O是解題的關(guān)鍵.
例6 (2014年大綱版)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上,若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為(? ).
A.81π4? B.16π? C.9π? D.27π4
分析 由于正四棱錐內(nèi)接于球,根據(jù)相接的特點(diǎn)及截面的性質(zhì),球心O必在正四棱錐的高PO1所在的直線上 且OA=OP.如圖,在Rt△OO1A中,根據(jù)勾股定理求出球的半徑,進(jìn)而求出球的表面積.
解答 設(shè)球O的半徑為R,PO1⊥平面ABCD.圖6
∵正四棱錐P-ABCD內(nèi)接于球O,∴O∈PO1,OA=OP.
在Rt△OO1A中,OA2=OO21+O1A2.
∵PO1=4,AB=2,∴R2=(4-R)2+(2)2,∴R=94.
∴球的表面積為4π·(94)2=81π4.故選A.
點(diǎn)評 本題考查球和棱錐相接的特點(diǎn),球的截面的性質(zhì)以及球的表面積的計算等,確定球心的位置,求出球的半徑是解題的關(guān)鍵.
三、以“相切”為載體進(jìn)行考查
若一個多面體的各面都與一個球的球面相切,則稱這個多面體是這個球的外切多面體,這個球是這個多面體的內(nèi)切球.類似地,若一個旋轉(zhuǎn)體的底面和各母線都與一個球的球面相切,則稱這個旋轉(zhuǎn)體是這個球的外切旋轉(zhuǎn)體,這個球是這個旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球.這類問題統(tǒng)稱為相切問題,球面與幾何體的公共點(diǎn)就是切點(diǎn).解決這類問題的關(guān)鍵在于抓住相切的特點(diǎn),即球心到切面(或切線)的距離等于球的半徑.
例7 (2016年新課標(biāo)Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是(? ).
A.4π? B.9π2? C.6π? D.32π3
分析 易知直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)體積最大的球必與三個側(cè)面都相切或與上、下底面都相切,根據(jù)相切的特點(diǎn),可求出體積最大的球的半徑為32,進(jìn)而求出球的體積.
解答 ∵AB⊥BC,AB=6,BC=8,∴AC=10.
故三角形ABC的內(nèi)切圓半徑r=6+8-102=2.
又由AA1=3,故直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)體積最大的球的半徑為32.
此時V的最大值為43π·(32)3=9π2,故選B.
點(diǎn)評 本題考查球與棱柱相切的特點(diǎn)和球的體積的計算等,根據(jù)已知條件求出球的半徑是解答的關(guān)鍵.
圖7
例8 (2006年江西)如圖,在四面體ABCD中,截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球(與四個面都相切的球)球心O,且與BC,DC分別截于E、F,如果截面將四面體分成體積相等的兩部分,設(shè)四棱錐A-BEFD與三棱錐A-EFC的表面積分別是S1、S2,則必有(? ).
A.S1<S2? B.S1>S2
C.S1=S2D.S1,S2 的大小關(guān)系不能確定
分析 由于球內(nèi)切于四面體,所以球心到四面體各面的距離都等于球的半徑.利用割補(bǔ)法可以把四棱錐A-BEFD與三棱錐A-EFC體積之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為表面積之間的關(guān)系,問題得解.
解答 連結(jié)OA,OB,OC,OD,OE,OF,則
VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD+VO-AFD,
VA-EFC=VO-AFC+VO-AEC+VO-EFC.
∵VA-BEFD=VA-EFC,∴VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD+VO-AFD=VO-AFC+VO-AEC+VO-EFC
又∵每個三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑,
∴SABD+SABE+SBEFD+SAFD=SAFC+SAEC+SEFC,∴S1=S2.故選C.
點(diǎn)評 本題考查球與多面體相切的特點(diǎn)以及多面體表面積的計算等,抓住相切的特點(diǎn),找出表面積和體積之間的共有特征是解題的關(guān)鍵.
綜上可見,理解球的概念,掌握球的截面的性質(zhì)、球的體積和表面積的計算公式以及球的切接問題的特點(diǎn)是解題的基礎(chǔ);正確畫出圖形,選擇恰當(dāng)?shù)钠矫妫芽臻g問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解題的關(guān)鍵;如能掌握化歸思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想方法就等于拿到了開啟數(shù)學(xué)解題大門的金鑰匙.
參考文獻(xiàn):
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[3]任文海.新課標(biāo)高考對球及其組合體的考查趨勢[J].高中數(shù)理化,2017(7):10-11.
[責(zé)任編輯:李 璟]