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橢圓標準方程的變式探究

2020-09-10 11:56:45程傳芝
數(shù)理化解題研究·高中版 2020年12期
關(guān)鍵詞:橢圓

摘 要:求解橢圓的標準方程是橢圓中的基本問題,此類問題變化多端,理解常見的橢圓標準方程的變化題型,能夠?qū)υ擃愒囶}的掌握起到關(guān)鍵性作用.

關(guān)鍵詞:橢圓;標準方程;變式探究

中圖分類號:G632????? 文獻標識碼:A????? 文章編號:1008-0333(2020)34-0029-02

收稿日期:2020-09-05

作者簡介:程傳芝,女,中學(xué)高級教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、規(guī)律分析

高考對橢圓的考查多以解答題的形式考查,也有少數(shù)年份在客觀題中進行考查.以選擇題、填空題的形式考查橢圓的定義、焦點坐標、離心率、標準方程等問題;以解答題的形式考查橢圓的性質(zhì)、直線與橢圓的關(guān)系、與其它知識交匯(如平面向量),涉及到最值問題、定值(定點)問題、幾何量的取值范圍問題,以及存在型探索性問題.預(yù)計2021年高考對橢圓的命題有以下特點:(1)以選擇題或填空題考查橢圓的定義和性質(zhì),難度中等;(2)以解答題形式重點考查橢圓的綜合問題,多與直線結(jié)合進行命題,難度較大.

二、母題探究

母題 已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,長、短半軸長之和為10,焦距為45,則橢圓的標準方程為(? ).

A.x26+y24=1? B.x216+y236=1

C.x236+y216D.x249+y29=1

解析 由長、短半軸長之和為10,焦距為45,可得a+b=10,2c=45,∴c=25.又a2=b2+c2,聯(lián)立a+b=10,a2-b2=20,可解得a=6,b=4.

∵焦點在x軸上,∴所求橢圓方程為x236+y216=1.故選C.

點評 根據(jù)條件求橢圓方程常用的主要方法有:

(1)定義法,定義法的要點是根據(jù)題目所給的條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義;

(2)待定系數(shù)法,待定系數(shù)法的要點是根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的兩個系數(shù)a,b.當(dāng)不知焦點在哪一個坐標軸上時,一般可設(shè)所求橢圓的標準方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),再用待定系數(shù)法求出m,n的值即可.

三、變式分析

變式1 (已知離心率求橢圓標準方程)已知中心在坐標原點的橢圓過點A(-3,0),且離心率e=53,則橢圓的標準方程為.

解析 若焦點在x軸上,由題知a=3,因為橢圓的離心率e=ca=53,所以c=5,b=2.所以橢圓方程是x29+y24=1.若焦點在y軸上,則b=3,a2-c2=9,又離心率e=ca=53,解得a2=814.故橢圓的標方程是

y2814+x29=1.

變式2 (變換條件求橢圓方程)在平面直角坐標系xOy中,橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為63,直線l:y=13x與橢圓E相交于A,B兩點,AB=210,則橢圓的標準方程為.

解析 由離心率不妨設(shè)a=3m,c=6m,b=3m(m>0),則橢圓方程為x29m2+y23m2=1.與直線y=13x聯(lián)立,可得x2=274m2,x=±332m,x1-x2=33m,且1+k2=103,由弦長公式33m×103=210,解得m=23,據(jù)此可得橢圓方程為x212+y24=1.

變式3 (變?yōu)槔命c差法求橢圓標準方程)已知橢圓E: x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F3,0,過點F的直線交E于A、B兩點.若AB的中點坐標為1,-1,則E的方程為(?? )

A.x245+y236=1?? B.x236+y227=1

C.x227+y218=1D.x218+y29=1

解析 設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2,直線AB的斜率 k=-1-01-3=12.x21a2+y21b2=1,x22a2+y22b2=1,兩式相減得x1+x2x1-x2a2+y1+y2y1-y2b2=0,即1a2+y1+y2y1-y2b2x1+x2x1-x2=0,∴1a2+1b2×12×2-2=0,即a2=2b2.又c2=9,a2=b2+c2,解得: a2=18,b2=9,方程是x218+y29=1,故選D.

? 參考文獻:

[1]沈杰.關(guān)于橢圓標準方程的推導(dǎo)[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2005(09):13.

[2]陳明輝.橢圓標準方程推導(dǎo)方法的探究[J].中學(xué)生數(shù)理化(學(xué)研版),2015(04):32-33.

[3]陳國林.橢圓中的最值問題歸納[J].數(shù)理化解題研究,2017(31):11-12.

[責(zé)任編輯:李 璟]

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