潘敬貞 蔡海濤

摘 要：高考試題是命題專家精雕細(xì)琢的結(jié)果，凝聚了命題專家的智慧結(jié)晶.高考題不僅具有選撥功能，還承載著引導(dǎo)教學(xué)、育人等多重使命.眾多高考題都有多種解法，為不同考生提供了多樣的思考空間和解答路徑.本文主要對2019高考全國2卷文數(shù)20題進(jìn)行解法探討和變式探究，與同行交流.

關(guān)鍵詞：高考題;解法探討;變式探究

中圖分類號：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0070-03

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：潘敬貞（1984-），男，貴州省三都人，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

蔡海濤（1975-），男，福建省莆田人，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

每一道高考試題都是命題專家的智慧結(jié)晶，高考題不僅承載著選撥使命，還承載著引導(dǎo)教學(xué)、育人等多重使命.很多高考題的解法并不唯一，為不同考生提供了多樣的思考空間和解答路徑，在某種程度上體現(xiàn)了試題的人文關(guān)懷，更是命題專家智慧的體現(xiàn).本文以2019年高考全國卷Ⅱ文數(shù)第20題為例，進(jìn)行多解分析和變式探究，以期與同行交流.

一、試題呈現(xiàn)與分析

已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點，P為C上的點，O為坐標(biāo)原點.

（1）若△POF2為等邊三角形，求C的離心率;

（2）如果存在點P，使PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.

本道的第一問是以橢圓的焦點三角形為背景，求橢圓的離心率，該問主要考查橢圓定義和基本性質(zhì)，試題難度不大，很多學(xué)生都能夠輕松作答.第二問是以橢圓焦點三角形為研究背景，以三角形面積為研究對象，求橢圓的參數(shù)的值和范圍.該問主要考查橢圓基本性質(zhì)，焦點三角形面積，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，考查學(xué)生的推理論證與運算求解等能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化及函數(shù)方程思想等數(shù)學(xué)思想方法，考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

本道試題并不難，試題素材和問題設(shè)置學(xué)生并不陌生，提出的問題都是解析幾何中較為基礎(chǔ)、常規(guī)的問題.試題入口寬，層層遞進(jìn)，有利于學(xué)生的解答.試題的解答最關(guān)鍵是通過直觀想象、數(shù)形結(jié)合等過程將題設(shè)的幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)進(jìn)行處理，其解題智慧點是選擇恰當(dāng)?shù)幕瘹w方式進(jìn)行優(yōu)化推理過程.試題突出以知識為載體，重點考查數(shù)學(xué)“四基”和“四能”，考查學(xué)生的核心素養(yǎng)水平.試題具有很好的信度與效度，對其進(jìn)行求解探討和變式探究對提升學(xué)生解題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，提高備考效益等具有積極意義.

二、解法賞析

（1）解法1 連接PF1，由△POF2為等邊三角形知，在△F1PF2中，∠F1PF2=90°，所以PF2=c，PF1=3c.根據(jù)橢圓定義得2a=PF1+PF2=（3+1）c，所以橢圓C的離心率e=ca=23+1=3-1.

解法2 連接PF1，由△POF2為等邊三角形知，在△F1PF2中，∠F1PF2=90°，所以PF2=c.根據(jù)橢圓定義得PF1=2a-c，由勾股定理c2+（2a-c）2=（2c）2，即

2a2-2ac=c2.兩邊同除以a2得e2-2e-2=0，解得e=3-1.?

解法3 連接PF1，由△POF2為等邊三角形得∠POF2=60°，PF2=c，故∠POF1=120°.在△POF2中根據(jù)正弦定理得PF1sin120°=csin30°，所以PF1=3c.根據(jù)橢圓定義得c+3c=2a，所以橢圓C的離心率e=ca=23+1=3-1.

解法4 連接PF1，由△POF2為等邊三角形得∠POF2=60°，PF2=c，故∠POF1=120°，在△POF2中根據(jù)余弦定理得：PF21=PO2+OF21-2PO·OF1cos∠POF1=3c2，所以PF1=3c.根據(jù)橢圓定義得c+3c=2a，所以橢圓C的離心率e=ca=23+1=3-1.

解法5 由△POF2為等邊三角形得P（c2，32c），代入橢圓方程得（c2）2a2+（32c）2b2=1，所以b2c2+3a2c2=4a2b2.又b2=a2-c2，代入整理得4a2-8a2c2+c4=0，等式兩邊同時除以a4得：4-8e2+e4=0.結(jié)合0<e<1解得e2=4-23=（3-1）2，所以橢圓C的離心率e=3-1.

解法6 由△POF2為等邊三角形得P（c2，32c），PF2=c，所以PF2=a-exp，即c=a-e（c2），整理得：

e2+2e-2=0，解得e=3-1.

評注 解法1—解法4其本質(zhì)是一樣的，都是圍繞焦點三角形進(jìn)行求解.解法1與解法2通過連接PF1后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得△PF1F2是直角三角形，再結(jié)合橢圓定義進(jìn)行求得橢圓的離心率，解答思路簡單、過程簡潔，這兩種解法是解答該題的最佳解法.解法3和解法4連接PF1后在△POF2中利用正余弦定理求得PF1，再結(jié)合橢圓定義也可求得橢圓的離心率，這兩種解法的解答過程也不是很復(fù)雜，若一時沒想到△PF1F2是直角三角形，解法3和解法4也是不錯的選擇.解法5是將點P的坐標(biāo)代入橢圓方程得出關(guān)于a，b，c的方程，再結(jié)合b2=a2-c2即可求出橢圓的離心率，該解法自然，思路清晰，但對運算求解能力的要求相對較高.解法6是利用橢圓的第二定義，雖然教材沒有專門介紹橢圓第二定義，但教材例題蘊(yùn)藏著該方法，該解法的解答思路清晰、過程簡潔，解答小題用該解法達(dá)到快速、高效的目的.

（2）解法1 設(shè)P（x，y）則依題意得12|y|·2c=16，yx+c·yx-c=-1，即c|y|=16①，x2+y2=c2②，又x2a2+y2b2=1③.由②③及a2=b2+c2得y2=b4c2.又由①知y2=162c2，所以b=4.由②③得x2=a2c2（c2-b2），所以c2≥b2，從而a2=b2+c2≥2b2=32，所以a≥42.

所以b=4，a的取值范圍為[42，+∞）.

評注 解法1是通過設(shè)點P的坐標(biāo)，然后根據(jù)題意列出相關(guān)的方程并求解得b的值，再通過代數(shù)變形以及不等關(guān)系a的取值范圍.該解法解題思路清晰，容易想到，但對運算求解能力和推理論證能力的要求比較高.

解法2 設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，由△F1PF2的面積等于16，所以得r1·r2=32①.又根據(jù)橢圓定義得r1+r2=2a②.由PF1⊥PF2得r21+r22=（2c）2③.由①②③及a2=b2+c2，解得b=4.

又2a=r1+r2≥2r1·r2=232=82（當(dāng)且僅當(dāng)r1=r2時等號成立），所以a≥42.

所以b=4，a的取值范圍為[42，+∞）.

評注 解法2主要利用橢圓定義、三角形面積公式、勾股定理列有關(guān)方程，然后結(jié)合橢圓中基本量的關(guān)系解得b的值，最后利用基本不等式求得a的取值范圍.該解法的思路也非常清晰，也是容易想到的解法，同時減少了運算量，是該題的通解.

解法3 設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，由△F1PF2的面積等于16，所以得r1·r2=32.又根據(jù)橢圓定義得：r1+r2=2a，所以r1，r2 是方程x2-2ax+32=0 的兩根，所以有a>0，（-2a）2-4×32≥0，所以a≥42.由PF1⊥PF2得r21+r22=（2c）2，又r1+r2=2a，所以2r1·r2=4b2，所以b=4.

所以b=4，a的取值范圍為[42，+∞）.

評注 該解法思路清晰，運算量小，過程簡潔、高效.該解法的巧妙之處是將方程思想使用得淋漓盡致.

解法4 依題意得S△F1PF2=b2tanπ4=b2=16 ，b=4.因為存在點P，使得PF1⊥PF2，所以只需最大角等于90°.設(shè)∠PF1F=α則sinα=ba≥22， 所以a≥42.

所以b=4，a的取值范圍為[42，+∞）.

評注 該解法用到焦點三角形面積的結(jié)論快速求出b的值，再利用數(shù)形結(jié)合很快解得a的取值范圍，但需要注意的是，在解答題的解答過程中焦點三角形面積的結(jié)論不能直接使用，需要有解答、推理過程.但若在解答客觀題時該解法是很不錯的選擇，可以快速準(zhǔn)確的解決問題.

三、變式探究

情景變式和過程變式是試題變式的重要路徑，這兩種變式都有利于揭示問題的本質(zhì)，拓展問題的外延，對培育學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)水平都大有裨益.

變式1 已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則C的離心率是.

答案：3-1.

變式2 已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點，P是橢圓C上一點，以橢圓的焦距為直徑的圓交橢圓于四個不同的點，順次連接四個點和兩個焦點，恰好圍成一個正六邊形，則C的離心率是.

答案：3-1.

變式3 已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點，P是橢圓C上一點，直線PF1與PF2傾斜角的差為90°，且直線PF1的斜率為2，則C的離心率是.

答案：53.

變式4 已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則C的離心率是.

答案：2-1.

變式5 已知長方形ABCD，AB=4，BC=3，則以A、B為焦點且過C、D兩點的橢圓的離心率是.

答案：12.

評注 變式1——變式5都是對考題的第一問進(jìn)行情景變式，將問題的情景和表述進(jìn)行變換，但問題的本質(zhì)是相同的，求解思路基本一致.通過對變式1——變式5的求解讓學(xué)生在變中尋找不變的本質(zhì)，加深學(xué)生對問題本質(zhì)的理解，提高審題能力、分析問題能力、解決問題能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、應(yīng)變能力等.

變式6 已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點，若橢圓C上存在一點P，使得∠F1PF2=60°，則橢圓C的離心率的取值范圍是.

答案：[12，1）.

變式7 已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點，若橢圓C的內(nèi)部總存在一點M滿足MF1·MF2=0，則橢圓C的離心率的取值范圍是.

答案：（0，22）.

變式8（2017全國卷1文12改編） 設(shè)A、B是橢圓C：x23+y2m=1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則橢圓C的離心率的取值范圍是.

答案：（0，23）∪（63，1）.

評注 考題的第二問是通過已知焦點三角形的面積告知參數(shù)b的值，橢圓上存在點P使PF1⊥PF2告知參數(shù)a的取值范圍.變式6——變式8是在考題第一問的基礎(chǔ)上結(jié)合第二問的思路，進(jìn)一步研究橢圓的性質(zhì).變式6——變式8的求解思路從方程思想到尋找不等式關(guān)系，試題難度進(jìn)一步提高，問題的求解對數(shù)學(xué)能力的要求進(jìn)一步提高.通過對變式6——變式8的求解進(jìn)一步提高學(xué)生的分析問題能力、解決問題能力，最終提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平.

變式9 已知F1，F(xiàn)2是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是.

答案：3+1.

變式10 F1和F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩個焦點，A和B是以O(shè)為圓心，以O(shè)F1為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率是.

答案：3+1.

變式11 （2019全國Ⅰ理16）已知雙曲線C：

x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點.若F1B=AB，F(xiàn)1B·F2B=0，則C的離心率為.

答案：2.

變式12 已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是.

答案：2，+∞.

評注 變式9——變式12是切換問題背景，將橢圓換位為雙曲線，為一般化研究進(jìn)行有益探索，同時也為學(xué)生應(yīng)用實踐提供有效的素材，對提高學(xué)生的分析問題能力和解決問題能力，提高復(fù)習(xí)備考效益有積極意義.

高考試題具有導(dǎo)向功能，做為一線教師需細(xì)細(xì)口味，從不同角度對試題進(jìn)行深度賞析，引導(dǎo)學(xué)生對問題本質(zhì)加深理解，打通知識脈絡(luò)，編織知識網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建知識體系.同時，教師對問題進(jìn)行情景變式探究，可讓學(xué)生在變的過程中尋找不變的本質(zhì)，有利于揭示問題本質(zhì);而過程變式探究可引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，拓寬解題思路，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平等，從而讓學(xué)生在解題實踐中深化對知識的理解，在解決問題過程中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]劉炳輝.2019年全國Ⅱ卷文科數(shù)學(xué)第20題探究與探源[J].理科考試研究，2019（17）：8-11.

[2]焦永垚.多角度思考2019年全國卷Ⅱ文科第20題[J].教學(xué)考試（高考數(shù)學(xué)），2020（2）：34-35.

[3]潘敬貞，郝良.探求命題本源提高命題能力[J].教學(xué)考試（高考數(shù)學(xué)），2020（3）：41-43.

[4]潘敬貞.高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課的“一題多變”教學(xué)策略探微[J].數(shù)學(xué)通訊（下半月），2018（8）：48-52.

[責(zé)任編輯：李 璟]