摘 要:文章把人教社教科書上的一道復(fù)習(xí)參考題給予改編,并用字典排列法給出了其解法.
關(guān)鍵詞:改編;計(jì)數(shù)原理;字典排列法;自主招生試題
中圖分類號(hào):G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A????? 文章編號(hào):1008-0333(2020)34-0057-02
收稿日期:2020-09-05
作者簡介:甘志國(1971-),湖北省竹溪人,研究生,正高級(jí)教師,特級(jí)教師,湖北名師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.
基金項(xiàng)目:本文系北京市教育學(xué)會(huì)“十三五”教育科研滾動(dòng)立項(xiàng)課題“數(shù)學(xué)文化與高考研究”(課題編號(hào)FT2017GD003,課題負(fù)責(zé)人:甘志國)階段性研究成果之一.
改編題 (由普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·選修2-3·A版》(人民教育出版社2009年第3版)第41頁第2題改編)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),問:
(1)其中有多少個(gè)是奇數(shù)?
(2)其中有多少個(gè)大于201345?
(3)其中的320514是從小到大排列的第幾個(gè)數(shù)?
(4)其中從小到大第300個(gè)數(shù)是幾?
(5)其中從大到小第300個(gè)數(shù)是幾?
解 (1)這個(gè)六位數(shù)的個(gè)位數(shù)是1,3,或5,有A13種可能;首位數(shù)不能是0也不能是個(gè)位數(shù),有A14種可能;把剩下的4個(gè)數(shù)字放在剩下的4個(gè)數(shù)位上,有A44種可能.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可得所求答案是
A13A14A44=288.
(2)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)是六位數(shù)的個(gè)數(shù)是
5A55,注意到201345是這樣的六位數(shù)中首位(即十萬位)是2的最小者,又因?yàn)檫@樣的六位數(shù)中首位是1的個(gè)數(shù)是A55,因而所求答案是5A55-A55-1=479.
(3)在用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)是六位數(shù)中,形如1×××××或2×××××的個(gè)數(shù)是2A55=240;形如30××××或31××××的個(gè)數(shù)是2A44=48;形如3201××或3204××的個(gè)數(shù)是2A22=4;再由形如3205××的最小者是320514,可得所求答案是240+48+4+1=293.
(4)在用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)是六位數(shù)中,形如1×××××或2×××××的個(gè)數(shù)是2A55=240,形如3×××××的個(gè)數(shù)是A55=120,進(jìn)而可得其中從小到大第300個(gè)數(shù)是3×××××的形式.
其中形如30××××或31××××的個(gè)數(shù)是2A44=48(其中的最大數(shù)是第288個(gè)),形如32××××的個(gè)數(shù)是A44=24,進(jìn)而可得其中從小到大第300個(gè)數(shù)是32××××的形式.
其中形如320×××或321×××的個(gè)數(shù)是2A33=12(其中的最大數(shù)321540是第288+12=300個(gè)).
綜上所述,可得所求答案是321540.
(5)在用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)是六位數(shù)中,形如5×××××或4×××××的個(gè)數(shù)是2A55=240,形如3×××××的個(gè)數(shù)是A55=120,進(jìn)而可得其中從大到小第300個(gè)數(shù)是3×××××的形式.
其中形如35××××或34××××的個(gè)數(shù)是2A44=48(其中的最小數(shù)是第288個(gè)),形如32××××的個(gè)數(shù)是A44=24,進(jìn)而可得其中從大到小第300個(gè)數(shù)是32××××的形式.
其中形如325×××或324×××的個(gè)數(shù)是2A33=12(其中的最小數(shù)324015是第288+12=300個(gè)).
綜上所述,可得所求答案是324015.
注 這道改編題的解法就是字典排列法.
下面這道類題的解法也是字典排列法.
類題[1][2] (2013年華約自主招生數(shù)學(xué)試題第1題)已知集合A=xx≥10,x∈N,BA,且B中的每個(gè)元素同時(shí)滿足:(a)各數(shù)位上的數(shù)字互不相同;(b)任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和不為9.求:
(1)B中有多少個(gè)兩位數(shù)?多少個(gè)三位數(shù)?
(2)B中是否有五位數(shù)?是否有六位數(shù)?
(3)將B中的元素從小到大排列后,第1081個(gè)元素是多少?
解 將0,1,2,…,9中和為9的數(shù)字兩兩配成5對(duì):(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5).
得B中的元素不能同時(shí)含有上述一對(duì)數(shù)字中的兩個(gè)數(shù)字.
(1)對(duì)于B中的兩位數(shù):十位數(shù)字有9種選法(可選1,2,…,9);十位數(shù)字選定后,個(gè)位數(shù)字有8種選法(與十位數(shù)字不同,且不能是上面配對(duì)的數(shù)).所以B中的兩位數(shù)為9×8=72個(gè).
對(duì)于B中的三位數(shù):百位數(shù)字有9種選法(可選1,2,…,9);百位數(shù)字選定后,十位數(shù)字有8種選法(與十位數(shù)字不同,且不能是上面配對(duì)的數(shù));百位、十位數(shù)字均選定后,個(gè)位數(shù)字有6種選法(與百位、十位數(shù)字均不同,且均不能是上面配對(duì)的數(shù)).所以B中的三位數(shù)為9×8×6=432個(gè).
(2)B中有五位數(shù),比如12340.
因?yàn)樵谏厦媾涑?對(duì)數(shù)的每對(duì)數(shù)中至多只能選一個(gè)作為B中數(shù)的數(shù)字,所以B中沒有六位數(shù).
(3)由(1)的結(jié)論知,B中的兩位數(shù)、三位數(shù)共72+432=504個(gè).同理可求得B中的四位數(shù)為9×8×6×4=1728個(gè).
所以將B中的元素從小到大排列后,第1081個(gè)元素是四位數(shù),且是四位數(shù)中從小到大的第1081-504=
577個(gè).
B中的四位數(shù)中,千位數(shù)字為1,2,3的各為8×6×4=192個(gè),共192×3=576個(gè),所以所求答案是將B中的元素從小到大排列后的最小四位數(shù),即4012.
參考文獻(xiàn):
[1]甘志國.重點(diǎn)大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)備考全書——名牌大學(xué)自主招生真題(下)[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2019.
[2]甘志國.重點(diǎn)大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)備考用書[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2016.
[責(zé)任編輯:李 璟]