王蕊 曲莉

摘 要：對(duì)于一類一般散度型線性橢圓方程解的存在性問(wèn)題的研究，本文通過(guò)利用泛函分析和算子理論的一些知識(shí)，給出了兩種證明方法.這兩種方法包括：Riesz表示定理和Lax-Milgram定理.

關(guān)鍵詞：線性橢圓方程;解的存在性;Riesz表示定理;Lax-Milgram定理

一、一般散度型線性橢圓方程：

（1.1）

其中且方程（1.1）滿足一致橢圓條件，即存在常數(shù)使得

.

這時(shí)方程（1.1）為一致橢圓型方程，本文只討論方程（1.1）的帶齊邊值條件

（1.2）

的Dirichlet問(wèn)題弱解問(wèn)題的證明方法.

2.1Riesz表示定理：設(shè)F為Hilbert空間H上有界線性泛函，則存在唯一的使得其中為空間H中的內(nèi)積。

例1：證明Dirichlet問(wèn)題弱解的存在性。

證明：

設(shè)令，對(duì)于任意.有

即.

又

取

有

綜上有，即兩種范數(shù)是等價(jià)的，帶有新內(nèi)積空間記為，令，則為上的有界線性泛函.

證明如下：事實(shí)上

即F為上的有界線性泛函.故按Riesz表示定理，存在唯一的成立.

2.2定理：設(shè)為空間H上有界強(qiáng)制的雙線性型，則對(duì)H上任一有界線性泛函F，恒存在唯一的，使得

且有估計(jì)

例2：存在常數(shù)c0，使得當(dāng)c≥c0時(shí)，對(duì)任何，問(wèn)題存在唯一弱解

證明：

令

，

事實(shí)上：

同理可證：，由此證明為雙線性型的。

由

由此證明是有界的。

有，

，

此時(shí)取則對(duì)某常數(shù)，有，即是強(qiáng)制的。

事實(shí)上，

有定理，

即積分恒等式成立，即為的弱解。

本文利用Riesz表示定理和Lax-Milgram定理證明了一致橢圓型方程解的存在，本文所使用的證明方法簡(jiǎn)潔，可為以后的有關(guān)研究提供參考的方法.

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作者簡(jiǎn)介：王蕊、曲莉;出生年：1995年;性別：女;民族：漢族;籍貫：吉林四平;學(xué)歷：在讀研究生;單位：吉林師范大學(xué);研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)偏微分方程