郭翠花,王海龍

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

其中a,b是實(shí)數(shù),α,β >1,m是正整數(shù)。u=u(t,x),v=v(t,x),φ(x)及ψ(x)均為復(fù)值函數(shù)。

0 引言

非線性Schr?dinger方程在量子力學(xué)、非線性光學(xué)以及流體力學(xué)的各種問題都得到了廣泛的應(yīng)用。由于它具有孤立子解的許多性質(zhì),引起了許多人的關(guān)注。文獻(xiàn)[1-4]研究了兩個(gè)波在通過3次非線性光學(xué)媒質(zhì)時(shí)的相互作用,建立了非線性Schr?dinger方程組模型。在研究兩個(gè)波在一般的光學(xué)媒質(zhì)相互作用時(shí),在文獻(xiàn)[1-4]建立的非線性Schr?dinger方程組模型的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[5-6]將非線性Schr?dinger方程組變?yōu)?/p>

其中u=u(t,x)和v=v(t,x)分別表示非線性光學(xué)媒質(zhì)中兩個(gè)相互作用波的復(fù)振幅,a,b是實(shí)參數(shù),α,β>1。文獻(xiàn)[7]研究了這一方程組在Lp1×Lp2空間中整體解的適定性。對于低階Schr?dinger方程的研究結(jié)果非常多,高階Schr?dinger方程的研究也不少,文獻(xiàn)[8]中,Guo等利用能量方法給出一類四階Schr?dinger方程在空間C(R;L2(Rn))與C(R;H2(Rn))的整體適定性。文獻(xiàn)[9]中,Miao通過引入高階Schr?dinger方程容許對,利用時(shí)空估計(jì)及非線性函數(shù)的估計(jì),證明了一類2m階非線性Schr?dinger方程在C(R;Hm(Rn))的整體解。文獻(xiàn)[10]中Saanount利用能量方法得到了一類2n階Schr?dinger方程在C(R;Hn(R2n))整體解的適定性。文獻(xiàn)[11]中Saanount利用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理證明了一類2k階非線性Schr?dinger方程在Lq((0,T*);Hk,r(Rn))中的解的局部存在唯一性,一些特殊情形下在C(R;Hk(Rn))空間中的整體存在性以及散射理論。文獻(xiàn)[12]討論了一類四階五次非線性項(xiàng)的高階Schr?dinger方程的解析解。

本文在上述空間耦合非線性Schr?dinger方程組Cauchy問題的基礎(chǔ)上,證明了在n維空間中下述方程組(1)在Sobolev空間W1×p1×W1×p2中整體解的存在唯一性,同時(shí)得到了解關(guān)于初值的連續(xù)依賴性以及解的衰減估計(jì):

(1)

其中a,b是實(shí)數(shù),α,β>1,m是正整數(shù)。u=u(t,x),v=v(t,x),φ(x)及ψ(x)均為復(fù)值函數(shù)。

本文中我們還將用到空間參數(shù)指標(biāo)p1>1,p2>1滿足

(2)

以及另外兩個(gè)滿足下述條件的參數(shù)θ1,θ2，

(3)

問題(1)利用Fourier變換可以寫成以下的等價(jià)積分方程形式

(4)

其中S(t)=ei(-Δ)mt=F-1(ei|ξ|2mtF·)是Schr?dinger方程的自由群。

線性Schr?dinger群S(t)=ei(-Δ)mt具有下列性質(zhì)(見文[13]):

(5)

本文的主要結(jié)果有2個(gè):

(6)

定理2 在定理1的前提下,如果初值φ1=(φ1,ψ1),φ2=(φ2,ψ2)滿足定理1的條件,U1=(u1,v1),U2=(u2,v2)分別是方程組(1)或(4)滿足初始條件φ1和φ2的解,則

tθ2‖v1(t)-v2(t)‖W1,p2}≤

(1-CMα+β)-1N(φ1-φ2)。

(7)

此外,初值φ1和φ2滿足

(1+t)λN(φ1-φ2)<+∞ ,

(8)

則

tθ2‖v1(t)-v2(t)‖W1,p2}≤

(1-CMα+β)-1(1+t)-λ,

(9)

其中λ+θ1α+θ2(β+1)<1,λ+θ1(α+1)+θ2β<1,λ>0。

1 預(yù)備知識

引理1 假設(shè)α,β>1,p1>1,p2>1滿足(2)式,θ1和θ2滿足(3)式,則下列結(jié)論成立

(10)

1-θ1α-θ2(β+1)>0 ,

(11)

1-θ1(α+1)-θ2β>0 ,

(12)

(13)

(14)

證明由于α,β>1,所以(2)式中pi非空。

θ1α+θ2(β+1)=

所以(11)式成立。

所以(13)式成立。同理可證(14)式成立。引理1證畢。

下面給出非線性項(xiàng)的估計(jì)。

引理2 在引理1的條件下,同時(shí)u，v是復(fù)值函數(shù),則

(15)

和

(16)

‖|u|α-1‖r1‖|v|β+1‖r2‖u‖p1=

其中

同理可得

因此有

即(15)式成立.與上面過程類似,可得

即(16)成立。引理2證畢。

引理3 在引理1的條件下,且u1,u2,v1及v2均為復(fù)值函數(shù),則

(17)

‖|u1|α+1|v1|β-1v1-

(18)

證明根據(jù)定義,有

‖|u1|α-1u1|v1|β+1-

C{‖|u1|α-1|v1|β+1u1-

(19)

下面我們主要估計(jì)

‖|u1|α-1|v1|β+1u1-

而

‖|u1|α-1|v1|β+1u1-

‖|u1|α-1|v1|β+1(u1-u2)+

|u1|α-1(|v1|β+1-|v2|β+1)u2+

|v2|β+1(|u1|α-1-

(20)

所以我們將分別估計(jì)Ⅰ-Ⅲ。

‖|u1|α-1‖r1‖|v1|β+1‖r2‖u1-u2‖p1≤

其中r1,r2同引理2中的證明一樣。

‖|v1|β+|v2|β‖r4‖u2‖p1≤

‖v1-v2‖W1,p2,

其中，

以及

C‖|v2|β+1|u1-u2|

|u2|α-2‖r6‖u2‖p1≤

其中，

把上述得到的三個(gè)結(jié)論代入(20)式得

‖|u1|α-1|v1|β+1u1-

(21)

同理可證

(22)

(23)

(24)

把(21)-(24)代入(19)式,得到結(jié)論(17)。

與上面證明過程類似可證(18)式成立。引理3證畢。

2 主要結(jié)果的證明

定義映射:Tφ(U)=(Fφ(U),Gφ(U))其中

Fφ(U)=S(t)φ-

Gφ(U)=S(t)ψ-

定義度量空間(XM,d)為XM={U∈X:‖U‖X≤M},距離d(U1,U2)=‖U1-U2‖X,U1,U2∈XM.

下證映射Tφ(U)是空間XM上的嚴(yán)格的壓縮映射。

易證XM是完備的度量空間。

對任意的U∈XM,利用積分方程(4),由公式(5)及引理2,我們可以得到

‖S(t-τ)|u(τ)|α-1u(τ)|v(τ)|β+1‖W1,p1dτ,

‖|u(τ)|α-1u(τ)|v(τ)|β+1‖W1,p1dτ

≤tθ1‖S(t)φ‖W1,p1+

≤tθ1‖S(t)φ‖W1,p1+

其中B(·,·)是Beta函數(shù),由引理1知tθ1‖F(xiàn)φ(U)‖W1,p1≤tθ1‖S(t)φ‖W1,p1+CMα+β+1。

同理可得

tθ2‖Gφ(U)‖W1,p2≤

tθ2‖S(t)ψ‖W1,p2+CMα+β+1。

‖Tφ(U)‖X≤N(φ)+CMα+β+1≤M,

所以Tφ(U)是空間XM到自身的映射。

再對任意U1,U2∈XM,利用積分方程(4),公式(5)以及引理1和引理3,得

tθ1‖F(xiàn)φ(U1)-Fφ(U2)‖W1,p1≤

|u2(τ)|α-1u2(τ)|v2(τ)|β+1)‖W1,p1dτ

u1(τ)|v1(τ)|β+1-

|u2(τ)|α-1u2(τ)|v2(τ)|β+1‖W1,p1dτ

‖U1-U2‖X≤CMα+β‖U1-U2‖X。

同理可得tθ2‖Gφ(U1)-Gφ(U2)‖W1,p2≤CMα+β‖U1-U2‖X,和‖Tφ(U1)-Tφ(U2)‖X≤CMα+β‖U1-U2‖X。

定理2的證明記Tφ1(U1)=(Fφ1(U1),Gφ1(U1)),Tφ2(U2)=(Fφ2(U2),Gφ2(U2))。

由定理1可知Tφ1(U1)=U1,Tφ2(U2)=U2。與定理1的證明類似,可得

tθ1‖F(xiàn)φ1(U1)-Fφ2(U2)‖W1,p1≤

N(φ1-φ2)+CMα+β‖U1-U2‖X,

和

tθ2‖Gφ1(U1)-Gφ2(U2)‖W1,p2≤

N(φ1-φ2)+CMα+β‖U1-U2‖X,

所以‖Tφ1(U1)-Tφ2(U2)‖X≤N(φ1-φ2)+CMα+β‖U1-U2‖X,從而‖U1-U2‖X≤(1-CMα+β)-1N(φ1-φ2),即(7)式成立。

下證(9)式成立。

由(5)式和引理3得

|u2|α-1u2|v2|β+1)‖W1,p1dτ≤

CMα+β(1+t)λ‖U1-U2‖X×

其中B(·,·)是Beta函數(shù)。

由引理1以及條件λ+θ1α+θ2(β+1) < 1有

|u2|α-1u2|v2|β+1)‖W1,p1dτ≤

CMα+β(1+t)λ‖U1-U2‖X,

從而

(1+t)λtθ1‖F(xiàn)φ1(U1)-Fφ2(U2)‖W1,p1≤

(1+t)λtθ1‖S(t)(φ1-φ2)‖W1,p1+

|u2|α-1u2|v2|β+1)‖W1,p1dτ≤

(1+t)λN(φ1-φ2)+CMα+β(1+t)λ‖U1-U2‖X。

類似的證明過程可得

(1+t)λtθ2‖Gφ1(U1)-Gφ2(U2)‖W1,p2≤

(1+t)λtθ2‖S(t)(ψ1-ψ2)‖W1,p2+

|u2|α+1|v2|β-1v2)‖W1,p2dτ≤

(1+t)λN(φ1-φ2)+CMα+β(1+t)λ‖U1-U2‖X,

所以(1+t)λ‖Tφ1(U1)-Tφ2(U2)‖X≤(1+t)λN(φ1-φ2)+CMα+β(1+t)λ‖U1-U2‖X。

(1-CMα+β)(1+t)λ‖U1-U2‖X≤C,

即‖U1-U2‖X≤C(1-CMα+β)-1(1+t)-λ,所以(9)式成立。從而我們得到了定理2的衰減性結(jié)論。定理2證畢。