秦瑞兵，王文華

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

0 引言

在過(guò)去二十多年中,越來(lái)越多的證據(jù)表明,經(jīng)濟(jì)和金融時(shí)間序列呈現(xiàn)出持久性變化,特別是通貨膨脹率序列、短期利率、財(cái)政赤字和實(shí)際產(chǎn)出。由于序列的平穩(wěn)性決定著數(shù)據(jù)建模方法的不同,持久性變點(diǎn)問(wèn)題在實(shí)際應(yīng)用中有較大的價(jià)值,因此吸引了較多研究者的興趣。Kim等[1-2]提出了比率統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)持久性變點(diǎn)問(wèn)題。Busetti和Taylor[3]應(yīng)用比率檢驗(yàn)進(jìn)一步研究了原假設(shè)是序列具有確定性趨勢(shì)函數(shù)時(shí)持久性變點(diǎn)檢驗(yàn)問(wèn)題。Han等[4],Chen等[5]則運(yùn)用比率方法討論了方差無(wú)窮厚尾序列持久性變點(diǎn)的檢驗(yàn)和估計(jì)問(wèn)題。Chen和Tian[6]基于核回歸殘差提出比率統(tǒng)計(jì)量對(duì)非參數(shù)回歸模型在固定和隨機(jī)設(shè)計(jì)情形下的方差變化進(jìn)行了監(jiān)測(cè)。Yang和Jin[7]則討論了新息為厚尾情形的持久性變點(diǎn)檢驗(yàn)問(wèn)題。Chen[8]通過(guò)滑動(dòng)核加權(quán)方差比率統(tǒng)計(jì)量來(lái)監(jiān)測(cè)方差無(wú)窮序列的持久性變點(diǎn)。Kejriwal[9]基于序貫檢驗(yàn)給出了一種持久性變點(diǎn)個(gè)數(shù)的估計(jì)。

上述這些研究都是在原假設(shè)為平穩(wěn)過(guò)程下,采用比率方法對(duì)持久性變點(diǎn)問(wèn)題做了分析,而諸多宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)大多為單位根過(guò)程。當(dāng)過(guò)程為單位根過(guò)程時(shí),以上結(jié)果會(huì)出現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)水平扭曲的問(wèn)題,因此Banerjee等[10]和Leybourne等[11]均采用DF型比率統(tǒng)計(jì)量對(duì)原假設(shè)為單位根過(guò)程的持久性變點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行了分析。Leybourne等[12]進(jìn)一步分析了上述DF型比率統(tǒng)計(jì)量在含有持久性變點(diǎn)的備擇假設(shè)下的漸近性質(zhì)。但文獻(xiàn)[12]的模擬表明,該DF型檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不能較好地控制經(jīng)驗(yàn)水平,為此本文采用回歸殘差比率的方法來(lái)檢驗(yàn)在原假設(shè)為單位根過(guò)程的持久性變點(diǎn)問(wèn)題。數(shù)值模擬結(jié)果表明,與文獻(xiàn)[12]相比,本文檢驗(yàn)?zāi)芎芎玫乜刂品傅谝活愬e(cuò)誤的概率,較大地改善了經(jīng)驗(yàn)水平的扭曲現(xiàn)象,在有限樣本下有較好的經(jīng)驗(yàn)勢(shì),并且當(dāng)原假設(shè)為平穩(wěn)過(guò)程,本文方法的經(jīng)驗(yàn)水平也較文獻(xiàn)[12]有所改進(jìn)。

1 主要結(jié)果

考慮時(shí)間序列模型

(1)

其中ρ1,ρ2≤1是未知參數(shù),k*=[Tτ*]是未知變點(diǎn),[Tτ*]表示不超過(guò)Tτ*的最大整數(shù),隨機(jī)項(xiàng)ut滿足以下的假設(shè)條件:

假設(shè)1

(1)E(u)=0;

(2)E|u|γ+ε<∞,γ>2;

基于(1)式的數(shù)據(jù)生成過(guò)程,原假設(shè)H0:隨機(jī)過(guò)程{yt}在整個(gè)樣本區(qū)間上是一個(gè)單位根過(guò)程,即ρ1=ρ2=1;備擇假設(shè)為H01:隨機(jī)過(guò)程{yt}在時(shí)刻[Tτ*]從平穩(wěn)過(guò)程變化到單位根過(guò)程,即ρ1<1,ρ2=1,或者備擇假設(shè)為H10:隨機(jī)過(guò)程{yt}在時(shí)刻[Tτ*]從單位根過(guò)程變化到平穩(wěn)過(guò)程,即ρ1=1,ρ2<1。

針對(duì)上述假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題,定義

定義下面的比率檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

定理1 在假設(shè)1成立的條件下,在原假設(shè)H0下,有

其中“?”表示弱收斂,

其中

當(dāng)原假設(shè)成立時(shí),由假設(shè)1可知,對(duì)于

及

其中W(r)是維納過(guò)程,并且由Chan和Wei[13]的泛函中心極限定理和連續(xù)映照定理得

T-3/2S1,[Ts](k)=

從而

同理對(duì)于0

T-3/2S0,[Ts](k)=

因此

故由連續(xù)映照定理得

證畢。

定理2 在假設(shè)1成立的條件下,在備擇假設(shè)H01下,有

其中“?”表示弱收斂,

證明當(dāng)備擇假設(shè)成立時(shí),可能的變點(diǎn)位置存在兩種情形:第一種情形是位于真實(shí)變點(diǎn)位置k*之前,即0

1) 對(duì)于第一種情形0

對(duì)于統(tǒng)計(jì)量的分子部分,當(dāng)τ≤s<1時(shí),

(2)

并且由連續(xù)映照定理得,τ*≤r<1,

-W(τ*)}dr≡σuψ3(τ,s),

(3)

則

從而可得

2) 對(duì)于第二種情形k*=[Tτ*]

根據(jù)(2)式和(3)式的證明易得出,τ*≤r≤τ, 0

從而

最后綜合第一種情形和第二種情形的結(jié)果,可以得到

證畢。

注:定理2表明該統(tǒng)計(jì)量將以速度T2發(fā)散到無(wú)窮大,且其勢(shì)函數(shù)與真實(shí)變點(diǎn)位置有關(guān)。

2 數(shù)值模擬

本節(jié)通過(guò)數(shù)值模擬分析本文檢驗(yàn)方法的有限樣本性質(zhì),并將新方法的經(jīng)驗(yàn)水平和勢(shì)與文獻(xiàn)[11]提出的R統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行了比較。為模擬本文統(tǒng)計(jì)量RT的臨界值,先生成T個(gè)獨(dú)立同分布的正態(tài)隨機(jī)數(shù),由泛函中心極限定理可以獲得維納過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn),再應(yīng)用隨機(jī)積分的定義得到極限分布的一個(gè)觀測(cè)值,重復(fù)觀測(cè)10 000次得到經(jīng)驗(yàn)分位數(shù)。表1列出了不同樣本量下經(jīng)10 000次循環(huán)得到的臨界值。

采用如下模型

yt=αyt-1+εt-θεt-1,t=1,2,…,T,

并設(shè)參數(shù)α=(1, 0.9, 0.5, 0.0),θ=(0, 0.6, -0.6)生成模擬數(shù)據(jù)。分別取樣本量為60,120和240,在5%檢驗(yàn)水平下模擬經(jīng)驗(yàn)水平。表2給出了RT統(tǒng)計(jì)量在不同參數(shù)組合下經(jīng)5 000次循環(huán)得到的經(jīng)驗(yàn)水平,并與文獻(xiàn)[12]的方法進(jìn)行了比較。從結(jié)果可以看出:(1)在單位根原假設(shè)下,文獻(xiàn)[12]的R統(tǒng)計(jì)量經(jīng)驗(yàn)水平扭曲較大,尤其是當(dāng)θ=0.6時(shí),經(jīng)驗(yàn)水平隨著樣本量的增加有逐漸增大的趨勢(shì),這使得在區(qū)分序列是服從單位根還是存在變點(diǎn)時(shí)更容易拒絕單位根原假設(shè)。和文獻(xiàn)[12]相比,本文統(tǒng)計(jì)量的經(jīng)驗(yàn)水平隨著樣本量的逐漸增大而逐漸接近于設(shè)定的檢驗(yàn)水平,尤其當(dāng)樣本容量為T(mén)=240時(shí)能很好地控制經(jīng)驗(yàn)水平,說(shuō)明本文的統(tǒng)計(jì)量能較為準(zhǔn)確地區(qū)分序列中是否存在持久性變點(diǎn)的情況。(2)對(duì)于平穩(wěn)性原假設(shè),文中統(tǒng)計(jì)量的經(jīng)驗(yàn)水平仍然更為接近預(yù)先設(shè)定的檢驗(yàn)水平,因此,即便檢測(cè)序列是平穩(wěn)的,但只要沒(méi)有持久性變點(diǎn),本文的檢驗(yàn)也不會(huì)拒絕無(wú)變點(diǎn)的原假設(shè)。

表1 臨界值

表2 經(jīng)驗(yàn)水平

采用數(shù)據(jù)生成過(guò)程

設(shè)參數(shù)α=(0.9, 0.5, 0.0),τ*=(0.3, 0.5, 0.7)。分別取樣本容量為T(mén)=60,120,240,在5%檢驗(yàn)水平下做模擬,得到經(jīng)驗(yàn)勢(shì)。表3給出了文中統(tǒng)計(jì)量在不同參數(shù)組合下經(jīng)5 000次循環(huán)得到的經(jīng)驗(yàn)勢(shì)函數(shù)。由表可見(jiàn):(1)變點(diǎn)位置越靠后時(shí)經(jīng)驗(yàn)勢(shì)最高,說(shuō)明變點(diǎn)位置較靠后時(shí)更容易檢測(cè)出變點(diǎn)的存在。(2)隨著樣本量的增加,經(jīng)驗(yàn)勢(shì)函數(shù)在增加。(3)與Leybourne等[11]的R統(tǒng)計(jì)量相比,本文統(tǒng)計(jì)量總體上有更高的經(jīng)驗(yàn)勢(shì)。

3 結(jié)論

基于回歸殘差,本文應(yīng)用比率統(tǒng)計(jì)量研究原假設(shè)為單位根過(guò)程的持久性變點(diǎn)檢驗(yàn)問(wèn)題,在原假設(shè)下得到漸近分布,同時(shí)得到備擇假設(shè)下的一致性。數(shù)值模擬結(jié)果表明,本文方法能很好地控制經(jīng)驗(yàn)水平,在備擇假設(shè)下較靠后的變點(diǎn)都有很好的檢驗(yàn)效果,甚至在平穩(wěn)原假設(shè)下經(jīng)驗(yàn)水平也能較好地接近設(shè)定的檢驗(yàn)水平,因此不會(huì)拒絕無(wú)變點(diǎn)原假設(shè)。此外,本文假設(shè)為AR(1)模型,應(yīng)用BN分解定理,可將本文結(jié)論推廣到一般線性過(guò)程。