張滿想， 趙健， 郭昕， 龍健

(長沙理工大學 交通運輸工程學院， 湖南 長沙 410114)

灰色預(yù)測理論是路基變形監(jiān)測分析與預(yù)報理論中的重要組成部分，已廣泛應(yīng)用于各種工程變形監(jiān)測預(yù)測。實際應(yīng)用中，國內(nèi)外學者提出了不少的優(yōu)化方法來提高模型的精度，并指出：GM(1,1)、Verhulst分別適宜短期和中長期預(yù)測。但在實際操作時發(fā)現(xiàn)，灰色理論中“盡可能多地引入確定的實測數(shù)據(jù)”并不一定會提高模型的預(yù)測精度且實際操作中“盡可能的多”具體指幾組數(shù)據(jù)也無明確界定，同時兩種模型的適用時間并無明確的界限，這就為實際操作帶來了困擾。

該文針對實際應(yīng)用中遇到的上述問題，以湖南益馬高速公路實測路基沉降數(shù)據(jù)為研究對象，分析兩種模型下該組數(shù)據(jù)的最佳維度以及模型的適用時間；最佳維度的研究既能減少運算工作量同時也能提高兩種預(yù)測模型的預(yù)測精度；模型的適用時間研究會明確兩種模型的適用范圍，進而更好地指導(dǎo)沉降預(yù)測工作。

1 工程概況

益馬高速公路(益陽至馬跡塘高速公路)第3合同段K25+700～K25+810路段全長110 m，屬半填半挖路段，一級坡率為1∶1.75，二級坡率為1∶1.5，填方側(cè)原位置為軟土地基，軟土主要為塑狀黏性土，厚度一般<3.0 mm。沿線屬亞熱帶季風濕潤性氣候，水系較發(fā)育，所經(jīng)地域降雨充沛，地質(zhì)主要由變質(zhì)石英砂巖、砂質(zhì)板和石英砂巖組成。其路基橫斷面示意圖如圖1所示。

圖1 路基橫斷面示意圖

為保證車輛能夠安全行駛于該試驗段，同時了解路基沉降的變化情況，在試驗段臨近坡體位置處設(shè)置觀測點進行路基沉降監(jiān)測(圖1)。監(jiān)測頻率為每個月不少于2次，并于2017年3月7日開始第1次監(jiān)測。其路基沉降速率如圖2所示。

圖2 路基沉降速率圖

由圖2可知:益馬高速公路第3合同段K25+700～K25+810路基沉降速率大多數(shù)為0.6 mm/周以下，路基處于穩(wěn)定狀態(tài)，但最后一周的路基沉降速率是前一次監(jiān)測沉降速率的3～4倍，路基沉降速率發(fā)生突變；為保證路基后期的穩(wěn)定狀態(tài)，需要對該路基進行長時間的監(jiān)測，詳細掌握該路基沉降變化狀況。

2 灰色模型預(yù)測方法及效果檢驗

2.1 灰色模型預(yù)測方法

灰色模型一般是通過時間序列在時間數(shù)據(jù)平面上的連續(xù)曲線或逼近曲線與時間軸所圍成的區(qū)域為基礎(chǔ)，利用系統(tǒng)部分已知信息，以微分擬合而建成的模型，兩種預(yù)測模型的表現(xiàn)形式一般為指數(shù)形式和S形曲線，灰色模型計算過程如下：

設(shè)非負離散數(shù)據(jù)序列：S(0)={s(0)(1),s(0)(2),…,s(0)(n)},對S(0)進行一次累加得到：S(1)={s(1)(1),s(1)(2),…,s(1)(n)}，灰色預(yù)測模型的微分方程如式(1)、(2)所示。

灰色GM(1,1)預(yù)測模型的微分方程為：

(1)

灰色Verhulst預(yù)測模型的微分方程為：

(2)

(3)

則灰色GM(1，1)預(yù)測模型的時間響應(yīng)序列為：

(4)

則灰色Verhulst預(yù)測模型的時間響應(yīng)序列為：

(5)

運用上述灰色模型預(yù)測方法對路基沉降的實測值進行處理，達到研究維度和確定兩種模型預(yù)測時間的目的。具體步驟如下：

(1) 灰色模型計算

采用兩種灰色模型對實測數(shù)據(jù)進行運算，計算得出不同維度的擬合公式。

(2) 最佳維度分析

對比不同維度擬合公式的關(guān)聯(lián)度和擬合誤差，初步確定最佳維度；通過選取的最佳維度進行兩種模型的預(yù)測運算，根據(jù)其預(yù)測效果判定最佳維度的合理性。

(3) 模型的預(yù)測時間分析

通過步驟(2)確定模型的最佳維度，在此基礎(chǔ)上計算模型長時間的預(yù)測值，通過對比確定模型的預(yù)測時長。

2.2 模型效果檢驗

后驗差檢驗法是一種求殘差分布統(tǒng)計特征的計算方法。計算出的c值為殘差標準差與觀測值標準差之比，用于判定兩者變異程度大?。蛔儺惓潭?，即最大和最小的觀測值之間的差距，若變異程度越接近，則預(yù)測值與觀測值的擬合相似程度越高，預(yù)測方程越精確。后驗差檢驗步驟如下：

(6)

(7)

式中：n′為q(k)中非零殘差的個數(shù)，n′

(8)

(9)

(4) 計算后驗差比值c：

(10)

(5) 根據(jù)計算結(jié)果，對照表1中的指標，評定模型的精度等級。

表1 模型預(yù)估精度等級評定標準

3 灰色理論模型計算

3.1 最佳維度研究

取該觀測點實測數(shù)據(jù)，進行最佳維度研究。該文以觀測點的實測數(shù)據(jù)為依托，取123～257 d的實測數(shù)據(jù)，如表2所示。

由于現(xiàn)場實測的路基沉降數(shù)據(jù)是非等時距的，所以在建模之前要進行等時距的處理，利用拉格朗日插值定理計算等時距各天的沉降值(取兩位小數(shù))，具體數(shù)值見表3。

表2 斷面實測數(shù)據(jù)

表3 處理后的等時距各天沉降值

采用灰色GM(1，1)和灰色Verhulst模型對斷面觀測點監(jiān)測數(shù)據(jù)進行建模分析，首先根據(jù)表3實測數(shù)據(jù)進行維度劃分，按照監(jiān)測數(shù)據(jù)的時效性，選擇最臨近監(jiān)測時間的數(shù)據(jù)進行不同維度的模擬計算，通過精度檢驗，確定最佳維度。根據(jù)式(6)～(10)計算出c值，不同維度下的后驗差檢驗結(jié)果如表4所示。

表4 后驗差檢驗c值

由表4可知：

(1) 通過后驗差方法檢驗發(fā)現(xiàn)，GM(1，1)、Verhulst預(yù)測模型在7～14維度間的c值先增大后減小，同時c值都小于0.35，預(yù)測精度優(yōu)；維度處于9時c值最大，7～9維度的c值變化速率要高于9～14維度c值的變化速率；同時發(fā)現(xiàn)，Verhulst預(yù)測模型的c值相比于GM(1，1)預(yù)測模型的c值較小，模型精度高于GM(1，1)模型。

(2) 灰色GM(1，1)、Verhulst模型不同維度方程在維度為7時c值最小，模型精度較高，同時維度計算工作量最小。因此選取7組數(shù)據(jù)進行方程擬合，工作量較小同時效果較好。

3.2 模型預(yù)測效果檢驗

采用GM(1，1)和Verhulst模型分別對243、253 d的沉降值進行預(yù)測，結(jié)合表3中的監(jiān)測數(shù)據(jù)確定模型的預(yù)測維度最大值為13，預(yù)測結(jié)果如表5、6所示。

表5 不同維度下GM(1，1)預(yù)測結(jié)果與實測結(jié)果對比

表6 不同維度下灰色Verhulst模型預(yù)測結(jié)果與實測結(jié)果對比

結(jié)合模型檢驗分類等級表對模型精度進行分析，按取值的大小，預(yù)測模型的精度等級可分為 一級(好)、二級(合格)、三級(勉強)和四級(不合格)，取值標準見表7。

表7 模型精度檢驗等級分類

由表5、6可知：

(1) GM(1，1)模型預(yù)測過程中隨著維度的增加其預(yù)測精度都有所降低，擬合誤差增大；而Verhulst模型在預(yù)測過程中精度會出現(xiàn)回升的現(xiàn)象，但整體來看該模型也是隨著維度的增加其預(yù)測精度都有所降低，擬合誤差增大；在維度為7～13時，兩種模型都是維度為7時預(yù)測值精度最大，擬合誤差最小。

(2) 從兩種預(yù)測模型的精度對比可以看出：Verhulst預(yù)測模型的精度要高于灰色GM(1，1)模型；又因灰色GM(1，1)擬合公式為指數(shù)形式，與實際路基沉降情況不符合，同時由表5可知，在采用灰色模型GM(1，1)預(yù)測時會在未來一定時間內(nèi)出現(xiàn)無效性數(shù)據(jù)。

4 預(yù)測時間研究

根據(jù)上述最佳維度研究和預(yù)測效果檢驗可知：兩種灰色模型選取維度7建模時，不僅還原方程c值較低，且預(yù)測值的誤差相對于其他維度也較小。因此取維度7數(shù)據(jù)進行驗證并討論兩種模型的預(yù)測停止時間；計算結(jié)果如表8所示。

表8 計算結(jié)果預(yù)測統(tǒng)計

GM(1，1)預(yù)測公式如下：

(6)

Verhulst模型預(yù)測公式如下：

(7)

由表8可知：

(1) GM(1，1)模型的表達式基本形式為指數(shù)函數(shù)，預(yù)測數(shù)值增加較快且當預(yù)測時間較長時，誤差值增大速率也較快，在第5月時其誤差值超過5%，因此GM(1，1)模型不宜對沉降進行4個月后的預(yù)測。

(2) Verhulst模型在預(yù)測路基沉降時，誤差值逐漸增大，在第14月時其誤差值超過5%，考慮其路基處治的安全性，因此Verhulst模型不宜對沉降進行14個月后的預(yù)測。

(3) 采用灰色Verhulst模型對益馬高速公路路基沉降進行1年內(nèi)的預(yù)測，預(yù)測結(jié)果表明：在1年內(nèi)，路基的最大沉降速率為0.35 mm/周，路基保持穩(wěn)定狀態(tài)。

5 結(jié)論

通過對益馬高速公路典型路基斷面實測數(shù)據(jù)進行擬合及預(yù)測計算，得到以下結(jié)論：

(1) 針對益馬高速公路路基斷面的特點，運用GM(1，1)、Verhulst模型對該路基監(jiān)測數(shù)據(jù)進行分析，結(jié)果表明：在維度為7時，擬合方程通過后驗差檢驗c值最小，且預(yù)測值的相對誤差最小。

(2) 灰色模型GM(1,1)適宜短期預(yù)測的時間是4個月內(nèi)，而Verhulst模型適宜中長期預(yù)測的時間是14個月內(nèi)，兩種預(yù)測模型隨著時間的延續(xù)，預(yù)測等級都會降低；同時采用灰色Verhulst模型對益馬路基沉降進行1年后的預(yù)測，預(yù)測結(jié)果表明，在1年內(nèi)，路基的最大沉降速率為0.35 mm/周，路基保持穩(wěn)定狀態(tài)。