包 順，徐 鑫，肖 箭，周禮剛

安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601

1 引言

多屬性決策是現(xiàn)代決策科學(xué)的一個(gè)重要研究領(lǐng)域，是從事物的多個(gè)屬性出發(fā)逐一評(píng)價(jià)，對(duì)這些屬性的評(píng)價(jià)信息進(jìn)行綜合分析，并作出最終決策，其理論和方法在工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)、管理和軍事等諸多領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)環(huán)境的不斷復(fù)雜化以及人類自身知識(shí)水平的局限性，人們對(duì)于事物的準(zhǔn)確判斷受到了越來越多的限制。因此，自Zadeh[1]于1965 年提出模糊集的概念以來，模糊理論和方法就被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。在此基礎(chǔ)上，專家學(xué)者們又提出了模糊集的若干推廣，如1983年Atanassov[2]提出了由隸屬度、非隸屬度和猶豫度三方面信息組成的直覺模糊集；Torra[3]于2010年進(jìn)一步拓展了模糊集，提出了猶豫模糊集的概念，其他形式的模糊集，有區(qū)間直覺模糊集[4]、Pythagorean模糊集[5-7]等。

作為Pythagorean 模糊集與猶豫模糊集的一種結(jié)合形式，Pythagorean猶豫模糊集既能反映出決策者主觀的猶豫不決，又能拓展直覺模糊集中隸屬度與非隸屬度的范圍，能夠充分地刻畫出現(xiàn)實(shí)生活中的不確定性和模糊現(xiàn)象，具有廣闊的發(fā)展前景。目前對(duì)Pythagorean 猶豫模糊集的研究較少，如文獻(xiàn)[8]提出了Pythagorean 猶豫模糊集的相關(guān)測(cè)度，文獻(xiàn)[9]選取了正負(fù)理想解作為參考點(diǎn)，利用Pythagorean 猶豫模糊歐式距離測(cè)度表示各個(gè)方案偏離正負(fù)理想解的大小，并將TOPSIS 方法應(yīng)用在Pythagorean 猶豫模糊集，文獻(xiàn)[10]提出一種基于Pythagorean 猶豫模糊交叉熵的多屬性群決策方法。文獻(xiàn)[11]提出了一種基于前景理論的Pythagorean 猶豫模糊不確定語言ELECTRE多屬性決策方法。

Kahneman[12]將心理學(xué)和行為經(jīng)濟(jì)學(xué)相結(jié)合，提出了前景理論和累積前景理論[13]，為處理不確定性決策問題提供了一個(gè)新的方法。前景理論也廣泛應(yīng)用在模糊偏好關(guān)系[14]、語言決策環(huán)境[15]等領(lǐng)域。

灰色關(guān)聯(lián)分析（GRA）方法自提出以來，便在多屬性決策問題中得到了廣泛的應(yīng)用。如文獻(xiàn)[16]提出了基于二元語言模型的不完全屬性權(quán)重信息下的灰色關(guān)聯(lián)分析方法，文獻(xiàn)[17]提出了直覺模糊環(huán)境下的灰色關(guān)聯(lián)分析方法，文獻(xiàn)[18]提出了一種基于群灰色關(guān)聯(lián)分析的化工生產(chǎn)設(shè)備故障診斷方法等。

本文在上述研究的基礎(chǔ)上，將前景理論和灰色關(guān)聯(lián)方法引入Pythagorean 猶豫模糊多屬性決策，提出了基于前景理論的Pythagorean猶豫模糊灰色關(guān)聯(lián)多屬性決策方法，并通過實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性和合理性。

2 預(yù)備知識(shí)

定義1[19]設(shè)X是給定的論域，則F={x,F(hF(x),gF(x)) |x∈X}稱為X上的Pythagorean 猶豫模糊集，其中hF(x)和gF(x)是區(qū)間[0,1]上的非空有限子集，分別表示元素x屬于F的隸屬度與非隸屬度，并且滿足：0 ≤μ,v≤ 1,0 ≤(μ+)2+(v+)2≤ 1，這里對(duì)于任意的x∈X，有：

設(shè)f=F(h,g) ，f1=F(h1,g1) 和f2=F(h2,g2) 為 3 個(gè)Pythagorean猶豫模糊數(shù)，則有如下運(yùn)算法則[9]：

定義2[19]設(shè)f=F(h,g) 是一個(gè)Pythagorean 猶豫模糊數(shù)，則稱：

為f的得分函數(shù)，其中#h和#g分別表示隸屬度集合h和非隸屬度集合g中元素的個(gè)數(shù)。

在對(duì)Pythagorean 猶豫模糊數(shù)的大小進(jìn)行比較時(shí)，不同的Pythagorean猶豫模糊數(shù)其隸屬度集合與非隸屬度集合內(nèi)的元素?cái)?shù)目可能不等。例如，有兩個(gè)Pythagorean猶豫模糊元分別為：

易知#h1=3,#h2=2,#h1≠#h2,且#g1=2,#g2=3,#g1≠ #g2。

定義3[20]設(shè)f1=F(h1,g1),f2=F(h2,g2)為兩個(gè)Pythagorean猶豫模糊數(shù)：

（1）若#h1＞#h2，則對(duì)h2進(jìn)行擴(kuò)充，增加#h1-#h2個(gè)元素，增加的元素均為：

（2）若#h1＜#h2，則對(duì)h1進(jìn)行擴(kuò)充，增加#h2-#h1個(gè)元素，增加的元素均為：

（3）若#g1＞#g2，則對(duì)g2進(jìn)行擴(kuò)充，增加#g1-#g2個(gè)元素，增加的元素均為：

（4）若#g1＜#g2，則對(duì)g1進(jìn)行擴(kuò)充，增加#g2-#g1個(gè)元素，增加的元素均為：

這里ζ∈[0,1]。特別地，當(dāng)ζ=1 時(shí)，增加的元素取該隸屬度（非隸屬度）集合中最大的隸屬度（非隸屬度）值；當(dāng)ζ=0 時(shí)，增加的元素取該隸屬度（非隸屬度）集合中最小的隸屬度（非隸屬度）值；當(dāng)ζ=0.5 時(shí)，增加的元素取該隸屬度（非隸屬度）集合中最大的和最小的隸屬度（非隸屬度）值的算術(shù)平均值。

稱由上述方法擴(kuò)充的Pythagorean 猶豫模糊數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)化的Pythagorean猶豫模糊數(shù)。

定義4[9]設(shè)f1=F(h1,g1),f2=F(h2,g2)為兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化的Pythagorean猶豫模糊數(shù)，則f1和f2之間的Pythagorean猶豫模糊歐氏距離可以定義如下：

其中，#h=#h1=#h2且和分別為f1和f2中第k大的隸屬度和非隸屬度，π1和π2分別為f1和f2的猶豫度，可表示如下：

灰色關(guān)聯(lián)方法[21]是一種衡量曲線形狀相似性的方法，曲線形狀越接近，序列之間的關(guān)聯(lián)度越大。通過灰色關(guān)聯(lián)分析，最優(yōu)方案應(yīng)是與正理想解有著最大的灰色關(guān)聯(lián)度，而與負(fù)理想解有著最小的灰色關(guān)聯(lián)度。

定義 5設(shè)均表示 Pythagorean 猶豫模糊向量，且1,2,…,m,j=1,2,…,n)均是Pythagorean猶豫模糊數(shù)，則稱：

前景理論[22]是在“有限理性”的基礎(chǔ)上，反映決策者的主觀風(fēng)險(xiǎn)偏好的一種決策方法。在前景理論中，價(jià)值函數(shù)和概率權(quán)重函數(shù)共同決定了前景價(jià)值。價(jià)值函數(shù)是決策者根據(jù)實(shí)際收益或損失所產(chǎn)生的主觀感受的價(jià)值[23]。

在前景理論中，決策者是根據(jù)參考點(diǎn)來評(píng)估各個(gè)方案的收益和損失情況的。因此，參考點(diǎn)的選擇密切影響著決策結(jié)果，其選取一般由決策者根據(jù)自己的風(fēng)險(xiǎn)偏好決定。許多學(xué)者選取零點(diǎn)[24]、中位數(shù)[25]、各屬性的期望值[26]或者正負(fù)理想解[27-28]為決策參考點(diǎn)。本文在Pythagorean猶豫模糊多屬性決策問題中以正負(fù)理想點(diǎn)作為決策參考點(diǎn)，根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)度來定義各個(gè)方案與正負(fù)理想解之間的偏差，從而定義了Pythagorean 猶豫模糊環(huán)境下的前景價(jià)值函數(shù)。

定義6設(shè)f1=F(h1,g1)，f2=F(h2,g2)為兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化的Pythagorean 猶豫模糊數(shù)，若f2為決策參考點(diǎn)，則f1的前景價(jià)值函數(shù)為：

其中，dE(f1,f2)表示f1偏離f2的大??；α和β反映了決策者對(duì)收益和損失的敏感性程度；θ表示損失區(qū)域比收益區(qū)域更陡的特征，θ ＞1 表示損失厭惡。

3 基于前景理論的Pythagorean 猶豫模糊灰色關(guān)聯(lián)多屬性決策方法

考慮一個(gè)Pythagorean 猶豫模糊多屬性決策問題。其中：X={x1,x2,…,xm}(i=1,2,…,m)為方案集，C={c1,c2,…,cn}(j=1,2,…,n)為屬性集，設(shè)屬性權(quán)重為ω=(ω1,ω2,…,ωn)T,且滿足由于客觀事物的復(fù)雜性以及決策者自身知識(shí)水平的局限性，決策者在決策過程中對(duì)某些方案及屬性的評(píng)估可能會(huì)出現(xiàn)不同程度的猶豫不決。因此，設(shè)方案xi在屬性cj下的評(píng)估值fij=F(hij,gij)，其中隸屬度集合hij=，非隸屬度集合表示猶豫模糊數(shù)hij中元素的個(gè)數(shù)，#gij表示猶豫模糊數(shù)gij中元素的個(gè)數(shù)，且i=1,2,…,m，j=1,2,…,n。

基于前景理論的Pythagorean 猶豫模糊灰色關(guān)聯(lián)多屬性決策方法的步驟如下：

步驟1構(gòu)造樣本數(shù)據(jù)的Pythagorean猶豫模糊決策矩陣F：

步驟2取ζ=0.5，利用定義3 將矩陣F標(biāo)準(zhǔn)化，使得#h=#hij且#g=#gij，得到標(biāo)準(zhǔn)化之后的Pythagorean猶豫模糊決策矩陣：

步驟3確定方案的正理想解和負(fù)理想解分別為：

其中，h+和h-中元素的個(gè)數(shù)均為#h，g+和g-中元素的個(gè)數(shù)均為#g。

步驟4通過式（4）分別計(jì)算各備選方案xi與正理想解x+之間關(guān)于屬性j的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)值，與負(fù)理想解x-之間關(guān)于屬性cj的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)值。

步驟5計(jì)算各備選方案xi在屬性cj下與正理想解之間的差異值，與負(fù)理想解之間的差異值若D(xi,x+)表示方案xi與正理想解x+之間的差異集，D(xi,x-)表示方案xi與負(fù)理想解x-之間的差異集，則：

表1 Pythagorean猶豫模糊決策矩陣F

表2 標(biāo)準(zhǔn)化的Pythagorean猶豫模糊決策矩陣Fˉ

步驟6根據(jù)前景理論中價(jià)值函數(shù)的特征可知，若以正理想解為參考點(diǎn)，則各個(gè)方案相對(duì)于正理想解是損失的;反之，若以負(fù)理想解為參考點(diǎn)，則各個(gè)方案相對(duì)于負(fù)理想解是獲益的，則可構(gòu)造負(fù)前景價(jià)值函數(shù)：

正前景價(jià)值函數(shù)：

步驟7計(jì)算每個(gè)方案的收益損失比，即

步驟8按照Di(i=1,2,…,m)的大小對(duì)方案進(jìn)行排序，Di值越大，方案越優(yōu)。

4 案例分析

能源發(fā)展戰(zhàn)略正成為世界各國共同關(guān)注的話題[29-30]。在不確定性和風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境下，能源項(xiàng)目的選擇是能源發(fā)展的關(guān)鍵步驟。在能源項(xiàng)目評(píng)估中，Xu和Xia[30]總結(jié)出四個(gè)需要考慮的屬性：（1）c1：經(jīng)濟(jì)因素；（2）c2：技術(shù)因素；（3）c3：環(huán)境因素；（4）c4：社會(huì)政治因素，并給出屬性權(quán)重向量ω=(ω1,ω2,ω3,ω4)T=(0.15,0.3,0.2,0.35)T。對(duì)于能源項(xiàng)目，假設(shè)有5個(gè)備選方案X={x1,x2,x3,x4,x5}。在Pythagorean猶豫模糊環(huán)境下，邀請(qǐng)專家對(duì)這些方案進(jìn)行評(píng)價(jià)，構(gòu)建了Pythagorean猶豫模糊決策矩陣F如表1所示[9]。

根據(jù)本文提出的決策方法：

步驟1將F標(biāo)準(zhǔn)化，得到標(biāo)準(zhǔn)化之后的Pythagorean猶豫模糊決策矩陣Fˉ如表2所示。

步驟2根據(jù)公式（4）分別計(jì)算出各個(gè)方案的評(píng)價(jià)值與正負(fù)理想解的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)：

步驟3屬性的權(quán)重向量完全已知為ω=(0.15,0.3,0.2,0.35)T，根據(jù)公式（8）和（9）可得負(fù)前景價(jià)值矩陣v-(dE(hij,(hj)+))和正前景價(jià)值矩陣v+(dE(hij,(hj)-))分別為：

其中：α=β=0.88，θ=2.25[22]。

步驟4根據(jù)公式（10）計(jì)算每個(gè)方案xi的收益損失比值，如表3所示。

表3 收益損失比值

步驟5按照大小對(duì)方案進(jìn)行排序，可知C5＞C3＞C4＞C1＞C2，因此各方案的排序結(jié)果為x5?x3?x4?x1?x2。

利用文獻(xiàn)[9]提出的Pythagorean 猶豫模糊環(huán)境下TOPSIS方法，可以計(jì)算出各方案的排序值分別為：

從而得到各方案的排序結(jié)果為：x5?x3?x4?x1?x2。

為驗(yàn)證本文提出的基于前景理論的灰色關(guān)聯(lián)決策方法的合理性和優(yōu)越性，將本文提出的方法的排序結(jié)果與文獻(xiàn)[9]的排序結(jié)果進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)：

（1）本文提出的決策方法計(jì)算出的各個(gè)方案的排序值的方差v1=0.024 5，文獻(xiàn)[9]中各個(gè)方案排序值的方差v2=0.001 7，v1＞v2，所以本文提出的決策方法中各個(gè)方案的優(yōu)劣區(qū)分更為顯著，為決策者提供更加強(qiáng)有力的決策依據(jù)。

（2）相比單一的TOPSIS方法，基于前景理論的灰色關(guān)聯(lián)多屬性決策方法不僅刻畫了評(píng)價(jià)對(duì)象與理想解之間的關(guān)聯(lián)程度，而且引入了前景價(jià)值函數(shù)，充分考慮決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好，使得決策過程更加細(xì)膩，決策結(jié)果更加合理。

5 結(jié)論

本文應(yīng)用Pythagorean 猶豫模糊數(shù)來描述多屬性決策信息，使得決策信息的表達(dá)更加準(zhǔn)確細(xì)膩，并具有很大的靈活性，降低了決策信息的損失。同時(shí)提出了綜合應(yīng)用前景理論和灰色關(guān)聯(lián)方法的多屬性決策方法，通過實(shí)際案例分析比較，表明本文所提出的決策方法決策過程更加合理，決策結(jié)果更具有說服力，具有良好的實(shí)踐應(yīng)用前景。

在未來的研究中，將致力于把Pythagorean 猶豫模糊信息、決策者的心理、傳統(tǒng)的多屬性決策方法三者相結(jié)合，并將研究結(jié)果應(yīng)用到模式識(shí)別、醫(yī)療診斷以及不確定性決策問題中，更加全面細(xì)致地探索多屬性決策問題。此外，對(duì)于Pythagorean 猶豫模糊群決策問題的探索，也是今后的研究重點(diǎn)。