駱公志，梅 燾

南京郵電大學(xué) 管理學(xué)院，南京 210003

1 引言

粗糙集理論作為一種有效處理不精確和不確定性信息的有效工具[1]，當(dāng)前已廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)挖掘、聚類(lèi)分析、預(yù)警系統(tǒng)和圖像處理等領(lǐng)域[2-5]。經(jīng)典Pawlak 粗糙集將論域分為正域和邊界域的集合，而未恰當(dāng)解釋決策類(lèi)的負(fù)域，導(dǎo)致經(jīng)典粗糙集中負(fù)域恒為空。

鑒于經(jīng)典Pawlak 粗糙集存在無(wú)法描述決策類(lèi)負(fù)域的問(wèn)題，Yao 在長(zhǎng)期研究概率粗糙集過(guò)程中，用概率粗糙集將論域分為三個(gè)區(qū)域[6]，即正域、負(fù)域和邊界域，提出符合人類(lèi)實(shí)際認(rèn)知能力的三支決策模式，并依據(jù)貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)決策規(guī)則，定義概率粗糙集中兩個(gè)參數(shù)在現(xiàn)實(shí)里的語(yǔ)義解釋?zhuān)Q策粗糙集模型[7-8]。之后有學(xué)者針對(duì)Yao 的三支決策模型并未考慮決策時(shí)所遇到的多樣性以及適應(yīng)性的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，將其引入到鄰域[9]、動(dòng)態(tài)粒度[10-11]、群決策[12]等方面。

技術(shù)上的進(jìn)步促進(jìn)了信息科技的飛速發(fā)展，隨之導(dǎo)致了信息處理量的劇增，梁吉業(yè)等學(xué)者針對(duì)單一粒度空間下粗糙集的缺點(diǎn)，考慮粒計(jì)算[13]下多粒度的特點(diǎn)，提出了多粒度粗糙集[14]，同時(shí)定義了悲觀多粒度粗糙集和樂(lè)觀多粒度粗糙集[15-16]。由于多粒度粗糙集模型不但可以處理分布式數(shù)據(jù)[17-18]，且在處理時(shí)間上呈現(xiàn)出更加高效的特性，因此在應(yīng)用上有更加寬廣的前景。Dai 等針對(duì)多粒度粗糙集的屬性約簡(jiǎn)問(wèn)題，將粒子群算法引入其中，提出一種新的多知識(shí)快速約簡(jiǎn)方法[19]。Jing 將知識(shí)粒度與視圖相結(jié)合，提出新的增量式屬性約簡(jiǎn)方法[20]。

錢(qián)宇華等學(xué)者進(jìn)一步將多粒度數(shù)據(jù)分析的理念引入決策粗糙集中，建立了多粒度決策粗糙集模型[21-23]。史進(jìn)玲從決策信息表視角出發(fā)，著眼于粒度劃分?jǐn)?shù)量和?；瘺Q策權(quán)重，提出了基于風(fēng)險(xiǎn)最小化的多粒度三支決策模型[24]。Wu針對(duì)多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng)考慮了不同標(biāo)記尺度，提出了多粒度劃分粗糙集分析方法[25]。顧沈明在多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng)的前提下，尋求單個(gè)粒度的最優(yōu)點(diǎn)，提出了多粒度決策系統(tǒng)下的局部最優(yōu)粒度選擇[26]。Li 從集合近似的角度出發(fā)，將多粒度與三支決策相結(jié)合，給定了一種新的學(xué)習(xí)認(rèn)知概念[27]。

傳統(tǒng)多粒度決策粗糙集使用單一閾值，大大限制了對(duì)論域?；约敖档托畔⒉淮_定性的能力。本文借助監(jiān)督學(xué)習(xí)中對(duì)象現(xiàn)有或預(yù)測(cè)的標(biāo)記信息[28]，引入類(lèi)內(nèi)閾值和類(lèi)間閾值的概念，結(jié)合多粒度數(shù)據(jù)分析的優(yōu)勢(shì)，構(gòu)建新的多粒度決策粗糙模型，提出了基于監(jiān)督機(jī)制的多粒度決策粗糙集，驗(yàn)證了模型的相關(guān)性質(zhì)，并討論了模型之間的關(guān)系。該模型是傳統(tǒng)多粒度決策粗糙集的推廣形式，通過(guò)理論分析和實(shí)例證明，該模型可以通過(guò)變更類(lèi)內(nèi)閾值和類(lèi)間閾值來(lái)提升多粒度決策粗糙集刻畫(huà)不確定性知識(shí)的能力，幫助優(yōu)化決策，具有更好的實(shí)用性。

2 基本概念

2.1 決策粗糙集

設(shè)信息系統(tǒng)S=＜U,A=C?D,V,f ＞，A=C?D，其中U={x1,x2,…,xn}為有限對(duì)象集，稱為論域；A表示全體屬性集，C為條件屬性集，D為決策屬性集，Va為屬性a∈A的值域，f(x,a)表示對(duì)象x在屬性a上的取值。

定義1[1]設(shè)S=＜U,A=C?D,V,f ＞是一個(gè)完備的決策信息系統(tǒng)，其中屬性子集Ai?A，可構(gòu)成二元不可分辨關(guān)系：

IND(A)稱為自反的、對(duì)稱的和傳遞的。

定義2[6]設(shè)S=＜U,A=C?D,V,f ＞是一個(gè)完備的決策信息系統(tǒng)，其中屬性子集Ai?A，對(duì)于任意X?U，決策粗糙集的下近似、上近似和邊界區(qū)為：

其中：0 ≤β ＜ α≤ 1 。

2.2 多粒度粗糙集

定義3[15]設(shè)S=＜U,A=C?D,V,f ＞是一個(gè)完備的決策信息系統(tǒng)，其中A={A1,A2,…,Am}是條件屬性C上的m個(gè)屬性子集，對(duì)于任意X?U，樂(lè)觀多粒度粗糙集的下近似、上近似和邊界區(qū)分別為：

定義4[16]設(shè)S=＜U,A=C?D,V,f ＞是一個(gè)完備的決策信息系統(tǒng)，其中A={A1,A2,…,Am}是條件屬性C上的m個(gè)屬性子集，對(duì)于任意X?U，悲觀多粒度粗糙集的下近似、上近似和邊界區(qū)分別為：

3 基于監(jiān)督機(jī)制的多粒度決策粗糙集

為區(qū)分類(lèi)內(nèi)關(guān)系和類(lèi)外關(guān)系，本文在已有研究基礎(chǔ)的前提下，給出參數(shù)λ的定義：即X與Y的交集超過(guò)一半及以上可判定為類(lèi)內(nèi)，否則判定為類(lèi)外。

本文規(guī)定當(dāng)P(Dk|[x]Ai)＞λ時(shí)，采用類(lèi)內(nèi)閾值α0、β0，否則采用類(lèi)間閾值α1、β1。

定義5設(shè)S=＜U,A=C?D,V,f ＞是一個(gè)完備的決策信息系統(tǒng)，其中A={A1,A2,…,Am}是條件屬性C上的m個(gè)屬性子集。決策屬性D將U劃分為K個(gè)決策類(lèi)，表示為D={Dk}，k=1,2,…,n。給定類(lèi)內(nèi)閾值α0,β0和類(lèi)間閾值α1,β1滿足 0 ≤β1≤β0＜α0≤ 1 ，0 ≤β1≤β0≤α1≤1 。Dk的關(guān)于屬性子集A1,A2,…,Am的樂(lè)觀多粒度監(jiān)督?jīng)Q策粗糙集的下近似、上近似以及邊界區(qū)為：

當(dāng)α0=1,α1=β1=β0=0 時(shí)，基于監(jiān)督機(jī)制的樂(lè)觀多粒度決策粗糙集退化為傳統(tǒng)的樂(lè)觀多粒度粗糙集。為降低信息的不確定性，采用如下方法：使類(lèi)內(nèi)閾值α0等于傳統(tǒng)下近似閾值α,減小類(lèi)間閾值α1,即0 ≤α1＜α0≤1。

定理1設(shè)S=＜U,A=C?D,V,f ＞是一個(gè)完備的決策信息系統(tǒng)，其中A={A1,A2,…,Am}是條件屬性C上的m個(gè)屬性子集。決策屬性D將U劃分為K個(gè)決策類(lèi)，表示為D={Dk},k=1,2,…,n。給定類(lèi)內(nèi)閾值α0,β0和類(lèi)間閾值α1,β1滿足 0 ≤β1≤β0＜ α1＜ α0≤1 ?？芍?/p>

證明

同理可證（2）。

由定理1可知，基于監(jiān)督機(jī)制的樂(lè)觀多粒度決策粗糙集的下、上近似是各粒度分類(lèi)規(guī)則下的下、上近似集合的并。

定義6設(shè)S=＜U,A=C?D,V,f ＞是一個(gè)完備的決策信息系統(tǒng)，其中A={A1,A2,…,Am}是條件屬性C上的m個(gè)屬性子集。決策屬性D將U劃分為K個(gè)決策類(lèi)，表示為D={Dk}，k=1,2,…,n。給定類(lèi)內(nèi)閾值α0,β0和類(lèi)間閾值α1,β1滿足 0 ≤β1≤β0＜α0≤ 1 ，0 ≤β1≤β0≤α1≤1。Dk的關(guān)于屬性子集A1,A2,…,Am的悲觀多粒度監(jiān)督?jīng)Q策粗糙集的下近似、上近似以及邊界區(qū)作如下定義：

當(dāng)α0=1,α1=β1=β0=0 時(shí)，基于監(jiān)督機(jī)制的悲觀多粒度決策粗糙集退化為傳統(tǒng)的悲觀多粒度粗糙集。為降低信息的不確定性，采用如下方法使類(lèi)內(nèi)閾值α0等于傳統(tǒng)下近似閾值α,減小類(lèi)間閾值α1,即0 ≤α1＜α0≤1。

定理2設(shè)S=＜U,A=C?D,V,f ＞是一個(gè)完備的決策信息系統(tǒng)，其中A={A1,A2,…,Am}是條件屬性C上的m個(gè)屬性子集。決策屬性D將U劃分為K個(gè)決策類(lèi)，表示為D={Dk},k=1,2,…,n。給定類(lèi)內(nèi)閾值α0,β0和類(lèi)間閾值α1,β1滿足 0 ≤β1≤β0＜ α1＜ α0≤1 。可知：

證明

同理可證（2）。

定理3設(shè)S=＜U,A=C?D,V,f ＞是一個(gè)完備的決策信息系統(tǒng)，其中A={A1,A2,…,Am}是條件屬性C上的m個(gè)屬性子集。決策屬性D將U劃分為K個(gè)決策類(lèi)，表示為D={Dk},k=1,2,…,n。給定類(lèi)內(nèi)閾值α0,β0和類(lèi)間閾值α1,β1滿足 0 ≤β1≤β0＜ α1＜ α0≤1 ?？芍?/p>

證明

同理可證（2）。

由定理3可知，基于監(jiān)督機(jī)制的悲觀多粒度決策粗糙集的下、上近似是各粒度分類(lèi)規(guī)則下的下、上近似集合的交。

定理4設(shè)S=＜U,A=C?D,V,f ＞是一個(gè)完備的決策信息系統(tǒng)，其中A={A1,A2,…,Am}是條件屬性C上的m個(gè)屬性子集。決策屬性D將U劃分為K個(gè)決策類(lèi)，表示為D={Dk},k=1,2,…,n。給定類(lèi)內(nèi)閾值α0,β0和類(lèi)間閾值α1,β1滿足 0 ≤β1≤β0＜ α1＜ α0≤1 。則基于監(jiān)督機(jī)制的多粒度決策粗糙集有如下性質(zhì)：

證明由定義5和定義6可得。

定義7設(shè)S=＜U,A=C?D,V,f ＞是一個(gè)完備的決策信息系統(tǒng)，其中A={A1,A2,…,Am}是條件屬性C上的m個(gè)屬性子集。決策屬性D將U劃分為K個(gè)決策類(lèi)，表示為D={Dk},k=1,2,…,n。且類(lèi)內(nèi)閾值α0,β0和類(lèi)間閾值α1,β1滿足 0 ≤β1≤β0＜ α1＜ α0≤1 。則集合X在樂(lè)觀與悲觀條件下的分類(lèi)精度作如下定義：

分類(lèi)質(zhì)量分別定義為：

4 應(yīng)用實(shí)例

為說(shuō)明該算法的可行性和有用性，本章將基于監(jiān)督機(jī)制的多粒度決策粗糙集應(yīng)用于工地項(xiàng)目建設(shè)后的評(píng)價(jià)問(wèn)題?？紤]15個(gè)已經(jīng)完成的工地項(xiàng)目，表1從三個(gè)一級(jí)指標(biāo)：項(xiàng)目建設(shè)質(zhì)量評(píng)價(jià)、技術(shù)評(píng)價(jià)、環(huán)境保護(hù)評(píng)價(jià)，以及相對(duì)應(yīng)的8個(gè)二級(jí)指標(biāo)（以分號(hào)劃分）：樁基工程質(zhì)量、基礎(chǔ)工程質(zhì)量、主體工程質(zhì)量；工藝流程、工藝路線、工藝創(chuàng)新；“三廢”排放情況、環(huán)保設(shè)施運(yùn)行狀況進(jìn)行判別，從而得到的關(guān)于工地項(xiàng)目建設(shè)后的評(píng)估數(shù)據(jù)表。

將整個(gè)評(píng)估表看做一個(gè)完備決策信息系統(tǒng)，論域U={x1,x2,…,x15}表示15個(gè)已經(jīng)完成的工地項(xiàng)目，條件屬性集合C={a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8} ，決策屬性集合D={D1,D2}分別表示驗(yàn)收通過(guò)和不通過(guò)，并分別用1和2表示，決策信息系統(tǒng)的條件屬性子集族為R={R1,R2,R3}={{a1,a2,a3},{a4,a5,a6},{a7,a8}}。其中評(píng)價(jià)指標(biāo)被分成4類(lèi)e={1,2,3,4}，分別表示e={優(yōu),良,中,差}。

表1 工地項(xiàng)目建設(shè)評(píng)價(jià)

基于專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)，在這里以β0=0.45,β1=0.4,λ=0.5為例，調(diào)整類(lèi)內(nèi)閾值α0和類(lèi)間閾值α1，獲取不同情況下基于監(jiān)督機(jī)制的多粒度決策粗糙集的下、上近似集。

步驟1根據(jù)決策屬性D劃分決策類(lèi)如下：

步驟2在條件屬性集子集族下，根據(jù)表1劃分等價(jià)類(lèi)如下：

根據(jù)定義5～7，計(jì)算基于監(jiān)督機(jī)制的多粒度決策粗糙集的下近似和上近似分別如下。

（1）當(dāng)α0=0.8,α1=0.5,β0=0.45,β1=0.4,λ=0.5 時(shí) ，基于監(jiān)督機(jī)制的樂(lè)觀多粒度決策粗糙集的下、上近似求得為：

基于監(jiān)督機(jī)制的悲觀多粒度決策粗糙集的下、上近似求得為：

（2）當(dāng)α0=0.7,α1=0.5,β0=0.45,β1=0.4,λ=0.5時(shí)，基于監(jiān)督機(jī)制的樂(lè)觀多粒度決策粗糙集的下、上近似求得為：

基于監(jiān)督機(jī)制的悲觀多粒度決策粗糙集的下、上近似求得為：

（3）當(dāng)α0=0.55,α1=0.5,β0=0.45,β1=0.4,λ=0.5 時(shí)，基于監(jiān)督機(jī)制的樂(lè)觀多粒度決策粗糙集的下、上近似求得為：

基于監(jiān)督機(jī)制的悲觀多粒度決策粗糙集的下、上近似求得為：

（4）當(dāng)α0=0.7,α1=0.4,λ=0.5 時(shí)，此時(shí)α1＜ β0=0.45,因此只考慮下近似，基于監(jiān)督機(jī)制的樂(lè)觀多粒度決策粗糙集的下近似求得為：

基于監(jiān)督機(jī)制的悲觀多粒度決策粗糙集的下近似求得為：

（5）當(dāng)α0=0.7,α1=0.25,λ=0.5 時(shí)，此時(shí)α1＜ β0=0.45,因此只考慮下近似，基于監(jiān)督機(jī)制的樂(lè)觀多粒度決策粗糙集的下近似求得為：

基于監(jiān)督機(jī)制的悲觀多粒度決策粗糙集的下近似求得為：

步驟3以基于監(jiān)督機(jī)制的樂(lè)觀和悲觀多粒度決策粗糙集為例，求得三種情況下決策類(lèi)的分類(lèi)質(zhì)量。

（1）當(dāng)α0=0.8,α1=0.5,β0=0.45,β1=0.4,λ=0.5 時(shí)：

（2）當(dāng)α0=0.7,α1=0.5,β0=0.45,β1=0.4,λ=0.5 時(shí)：

（3）當(dāng)α0=0.55,α1=0.5,β0=0.45,β1=0.4,λ=0.5 時(shí)：

以β0=0.45,β1=0.4,λ=0.5 為例，求得三種不同類(lèi)內(nèi)閾值情況下，基于監(jiān)督機(jī)制的樂(lè)觀多粒度決策粗糙集的分類(lèi)質(zhì)量均為100%，基于監(jiān)督機(jī)制的悲觀多粒度決策粗糙集的分類(lèi)質(zhì)量分別為40%、60%、80%。對(duì)比發(fā)現(xiàn)固定β0、β1，隨著給定類(lèi)內(nèi)閾值α0的不斷減少，決策信息系統(tǒng)中的對(duì)象越能被正確分類(lèi)，這表明調(diào)整閾值α0，在一定程度上可降低噪聲的影響。通過(guò)實(shí)例也能看出，隨著類(lèi)間閾值α1的減少也會(huì)使得樂(lè)觀與悲觀多粒度決策粗糙集的下近似集變多，即正域變大。因此根據(jù)監(jiān)督信息合理控制和調(diào)整類(lèi)內(nèi)、類(lèi)間閾值，能夠提高決策屬性D關(guān)于條件屬性C的分類(lèi)精度，使模型具有一定的容錯(cuò)能力和很強(qiáng)的分類(lèi)能力。而且觀察表1可以發(fā)現(xiàn)，第五個(gè)工地屬性均為良及以上，卻被認(rèn)為驗(yàn)收不通過(guò)，基于監(jiān)督機(jī)制的樂(lè)觀多粒度決策粗糙集在三種情況下均能將該工地正確分類(lèi)，可見(jiàn)由于人工處理的時(shí)候，會(huì)出現(xiàn)一定的誤差，而基于監(jiān)督機(jī)制的多粒度決策粗糙集能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)，幫助人們進(jìn)行正確決策。

為進(jìn)一步驗(yàn)證模型在決策信息系統(tǒng)能夠有效分類(lèi)，與經(jīng)典樂(lè)觀、悲觀多粒度決策粗糙集進(jìn)行對(duì)比，并以本文表1 案例的數(shù)據(jù)為例。當(dāng)α0=0.7,α1=0.5,β0=0.45,β1=0.4,λ=0.5,α=0.7,β=0.4 時(shí)，基于監(jiān)督機(jī)制的樂(lè)觀多粒度決策粗糙集分類(lèi)質(zhì)量為100%，基于監(jiān)督機(jī)制的悲觀多粒度決策粗糙集分類(lèi)質(zhì)量為60%，經(jīng)典樂(lè)觀多粒度決策粗糙集分類(lèi)質(zhì)量為100%，經(jīng)典悲觀多粒度決策粗糙集分類(lèi)質(zhì)量為53%。結(jié)果表明基于監(jiān)督機(jī)制的多粒度決策粗糙集對(duì)決策信息系統(tǒng)分類(lèi)后，相比經(jīng)典多粒度決策粗糙集，在分類(lèi)質(zhì)量上有所提高。這是由于本文構(gòu)建的新模型不僅借鑒了多粒度決策粗糙集能夠從多層次、多角度綜合考慮不同屬性子集的優(yōu)點(diǎn)，更能通過(guò)調(diào)整類(lèi)內(nèi)和類(lèi)間閾值，使模型具有一定的容錯(cuò)能力，同時(shí)兼顧考慮屬性子集的特征，使得對(duì)象分類(lèi)更為準(zhǔn)確。

5 結(jié)束語(yǔ)

為降低信息不確定性，本文引入類(lèi)內(nèi)閾值和類(lèi)間閾值，使決策系統(tǒng)中類(lèi)對(duì)象內(nèi)的數(shù)量增加而減少類(lèi)間對(duì)象的數(shù)量，將其應(yīng)用在多粒度決策粗糙集，提出一種基于監(jiān)督機(jī)制的多粒度決策粗糙集，給出了樂(lè)觀多粒度決策粗糙集和悲觀多粒度決策粗糙集兩種模型的完整定義，并著重討論了基本性質(zhì)和度量參數(shù)。通過(guò)類(lèi)內(nèi)和類(lèi)間閾值的不同取值可以得到不同程度的對(duì)象分類(lèi)，使得本文提出的模型具有一定的穩(wěn)定性和靈活性，并有效提升多粒度決策粗糙集刻畫(huà)不確定性知識(shí)的能力。接下來(lái)，將進(jìn)一步研究類(lèi)內(nèi)和類(lèi)間上近似閾值間的關(guān)系、決策規(guī)則獲取和屬性約簡(jiǎn)等問(wèn)題。