嚴(yán)開(kāi)軍,譚康熹,單德山

(1.中電建路橋集團(tuán)工程設(shè)計(jì)研究院,北京 100048;2.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川成都 610031)

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解[1](Empirical Mode Decomposition，IMF)是1998年由Huang等提出的一種時(shí)頻分析方法。它用不同特征尺度的數(shù)據(jù)序列本征模函數(shù)(Instrinsic Mode Function)分量來(lái)逐級(jí)分解信號(hào)。雖然EMD具有很多優(yōu)點(diǎn)，但在實(shí)際應(yīng)用中存在“端點(diǎn)效應(yīng)”等問(wèn)題，即在運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的過(guò)程中，因信號(hào)兩端點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，導(dǎo)致構(gòu)成上、下包絡(luò)的三次樣條曲線在數(shù)據(jù)序列的兩端出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，并且這種發(fā)散的結(jié)果會(huì)逐漸向內(nèi)“污染”數(shù)據(jù)而使得結(jié)果嚴(yán)重失真[2]。

Yeh[3]等提出了一種補(bǔ)充的總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法(Complementary Ensemble Empirical Mode Decomposition，CEEMD)，CEEMD主要是通過(guò)向原信號(hào)添加兩對(duì)相反的白噪聲信號(hào)分別進(jìn)行EMD分解，然后將分解的結(jié)果進(jìn)行組合即可得到最終的本征模函數(shù)(IMF)。利用CEEMD分解可明顯提升重構(gòu)信號(hào)的完備性，完備性好即意味著信號(hào)的重構(gòu)誤差小，而此時(shí)的分解效果與總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD)相當(dāng)。

國(guó)內(nèi)外有許多學(xué)者對(duì)CEEMD的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究[4]。當(dāng)前，用于CEEMD端點(diǎn)效應(yīng)的處理方法有平行延拓法、多項(xiàng)式延拓法、鏡像對(duì)稱延拓、邊界局部特征尺度匹配延拓等。本文選擇鏡像對(duì)稱延拓與邊界局部特征尺度匹配延拓進(jìn)行對(duì)比分析，最終得到一些對(duì)實(shí)際工程應(yīng)用有指導(dǎo)意義的結(jié)論。

1 CEEMD方法

CEEMD建立在EMD基礎(chǔ)之上，由以下幾個(gè)步驟構(gòu)成：

步驟1：向原信號(hào)中加入n組正、負(fù)成對(duì)的高斯白噪聲，經(jīng)過(guò)EMD分解后生成兩大組IMF：

式中：x1為加入正負(fù)成對(duì)高斯白噪聲信號(hào)后合成的信號(hào)；加入正負(fù)成對(duì)高斯白噪聲信號(hào)后合成的信號(hào)；x為原始信號(hào)；x為高斯白噪聲。

步驟2：對(duì)集合中每一個(gè)信號(hào)都做一次EMD分解，每個(gè)信號(hào)都會(huì)得到一組IMF分量，其中第i個(gè)信號(hào)的第j個(gè)IMF分量用cij表示。

步驟3：通過(guò)多組分量組合的方式得到第j個(gè)IMF分量:

CEEMD具有EMD的二進(jìn)濾波作用，即首先分解出的第一個(gè)IMF分量IMF1，其頻率段是信號(hào)中最高的頻率段，中心頻率為f1，第二個(gè)分量分解的頻率是第一個(gè)的1/2，因此分量IMF2的中心頻率f1=f2/2,而分量IMF3的中心頻率為f3=f2/2,依次類推就是EMD的濾波器作用。

2 兩種處理端點(diǎn)效應(yīng)的方法

本論文將兩種改善CEEMD端點(diǎn)效應(yīng)的方法在Matlab上實(shí)現(xiàn)，并進(jìn)行比較研究：

(1)鏡像對(duì)稱延拓：以信號(hào)兩端的邊界為對(duì)稱，把信號(hào)向外映射，得到原始信號(hào)的鏡像，形成一個(gè)閉合的曲線，從而得到完整的包絡(luò)曲線。

(2)邊界局部特征尺度延拓:把調(diào)幅趨勢(shì)和端點(diǎn)處局部極值點(diǎn)的時(shí)間間隔相結(jié)合，在信號(hào)兩端分別添加一對(duì)極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)。

3 “端點(diǎn)效應(yīng)”數(shù)值指標(biāo)

本論文采用平均相對(duì)誤差RMSE_IMF[5]、相似系數(shù)corr_IMF[5]、程序運(yùn)行時(shí)間T來(lái)評(píng)價(jià)兩種處理“端點(diǎn)效應(yīng)”的處理效果。

(1)平均相對(duì)誤差：經(jīng)CEEMD分解后的到的各IMF分量和原始信號(hào)分量之間的平均相對(duì)誤差。

式中：N表示信號(hào)的總個(gè)數(shù)；xi(k)表示原始信號(hào)中第i個(gè)分量；IMFi(k)表示CEEMD分解后得到的相應(yīng)分量。RMSE_IMFi越小，說(shuō)明端點(diǎn)效應(yīng)的抑制越好。

(2)相似系數(shù)：計(jì)算經(jīng)CEEMD 分解后各分量信號(hào)與對(duì)應(yīng)的原始信號(hào)之間的相似系數(shù)corr_IMF信號(hào)的包絡(luò)發(fā)生形狀畸變，引起“端點(diǎn)效應(yīng)”，從而使各個(gè)分量的分解不準(zhǔn)確?？梢员容^經(jīng)CEEMD分解后的各IMF分量和原信號(hào)分量之間的相似度，來(lái)評(píng)價(jià)兩種“端點(diǎn)效應(yīng)”算法的處理效果。

式中：cov(·)表示協(xié)方差；σ(·)表示方差；IMFi表示信號(hào)經(jīng)過(guò)CEEMD分解后的第i個(gè)模態(tài)分量；xi為相對(duì)應(yīng)的原始信號(hào)組成分量。corr_IMF值越大，說(shuō)明端點(diǎn)效應(yīng)的抑制越好。

(3)程序運(yùn)行時(shí)間：不同“端點(diǎn)效應(yīng)”處理算法的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間以滿足實(shí)際工程應(yīng)用當(dāng)中的實(shí)時(shí)性。

4 仿真實(shí)驗(yàn)分析

本文在Matlab平臺(tái)上做仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)選擇了合成的調(diào)幅信號(hào)，其表達(dá)式如下：

x(t)=sin(2π×150t)+(1+0.2×sin(2π×10t))×

cos (2π×50t+0.5sin (2π×20t))

該仿真信號(hào)是由周期信號(hào)sin(2π×150t)與調(diào)幅信號(hào)(1+0.2×sin(2π×10t))×cos (2π×50t+0.5sin(2π×20t))組合而成的。其中：采樣點(diǎn)數(shù)為250，采用頻率為1 000 Hz，在Matlab上實(shí)現(xiàn)的原始信號(hào)時(shí)域波形如圖1所示。

圖1 合成信號(hào)及分量

為了比較研究?jī)煞N“端點(diǎn)效應(yīng)”處理方法的抑制效果，將兩種方法與未做“端點(diǎn)效應(yīng)”處理進(jìn)行對(duì)比，得出了圖2～圖5實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果。圖中的紅線表示未做邊界處理的結(jié)果，藍(lán)線代表經(jīng)鏡像對(duì)稱延拓處理后的結(jié)果，綠線代表經(jīng)邊界局部特征尺度匹配延拓處理后的結(jié)果。

圖2 不同“端點(diǎn)效應(yīng)”方法IMF1整體對(duì)比

圖3 不同“端點(diǎn)效應(yīng)”方法IMF1局部對(duì)比

圖4 不同“端點(diǎn)效應(yīng)”方法IMF2整體對(duì)比

圖5 不同“端點(diǎn)效應(yīng)”方法IMF2局部對(duì)比

由以上各仿真實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖像可知：鏡像對(duì)稱延拓與邊界局部特征尺度匹配延拓都有效改善了CEEMD的“端點(diǎn)效應(yīng)”問(wèn)題，但是邊界局部特征尺度匹配延拓法在處理“端點(diǎn)效應(yīng)”時(shí)抑制效果最佳。

表1給出了上述兩種方法的數(shù)值分析評(píng)價(jià)指標(biāo)。

表1 “端點(diǎn)效應(yīng)”數(shù)值指標(biāo)分析

由表1的數(shù)值分析表可以看出：在合成的調(diào)幅仿真信號(hào)上，邊界局部特征尺度匹配延拓法的平均相對(duì)誤差最小，相似系數(shù)最大，平均相對(duì)誤差最小，程序運(yùn)行時(shí)間最短。

5 結(jié)論

通過(guò)鏡像對(duì)稱延拓法與邊界局部特征尺度匹配延拓法的圖像與數(shù)值指標(biāo)與“端點(diǎn)效應(yīng)”不做處理的對(duì)比分析可知：邊界局部特征尺度匹配延拓法的分解精度最高，經(jīng)CEEMD分解后的各IMF分量和原信號(hào)分量之間的相似度最高，經(jīng)CEEMD分解后的到的各IMF分量和原始信號(hào)分量之間的平均相對(duì)誤差最小，且程序運(yùn)行時(shí)間最短。因此，在本論文所用的仿真信號(hào)上邊界局部特征尺度匹配延拓法對(duì)“端點(diǎn)效應(yīng)”的抑制效果最好。所以在實(shí)際的工程中，遇到與本論文的仿真信號(hào)類似的信號(hào)時(shí)，可優(yōu)先考慮使用邊界局部特征尺度匹配延拓法對(duì)實(shí)際的信號(hào)進(jìn)行“端點(diǎn)效應(yīng)處理”。