郭娜娜，姜偕富，尹宗明，唐 亮

(杭州電子科技大學(xué)自動化學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

T-S模型是非線性系統(tǒng)的近似描述[1]。T-S模型基于局部線性的方法利用模糊If-Then規(guī)則逼近非線性系統(tǒng)，以便利用較為完備的線性系統(tǒng)理論來解決非線性系統(tǒng)的問題[2]。時(shí)滯現(xiàn)象往往存在于大多數(shù)動態(tài)系統(tǒng)，是導(dǎo)致系統(tǒng)性能變差甚至不穩(wěn)定的重要因素之一。因此，學(xué)者們針對T-S模糊時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行了大量研究，并取得了許多有價(jià)值的成果[3-12]。例如，文獻(xiàn)[3]在Lyapunov-Krasovskii(L-K)泛函中引入三重積分項(xiàng)，利用更多的時(shí)滯信息，得到一個(gè)保守性較小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則；文獻(xiàn)[4]采用改進(jìn)的凸組合方法來處理L-K泛函求導(dǎo)過程中產(chǎn)生的積分項(xiàng)，相比使用Jensen不等式，降低了所得穩(wěn)定性準(zhǔn)則的保守性。上述方法雖然獲得了較好的結(jié)果，但是構(gòu)造的L-K泛函均與系統(tǒng)的隸屬度函數(shù)無關(guān)，在一定程度上可能存在保守性。文獻(xiàn)[8-11]在研究T-S模糊時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)，引入了一種隸屬度函數(shù)相關(guān)的L-K泛函，得到了保守性較小的結(jié)果。例如，文獻(xiàn)[8]在處理隸屬度函數(shù)導(dǎo)數(shù)相關(guān)項(xiàng)的過程中，讓隸屬度函數(shù)導(dǎo)數(shù)的絕對值小于等于上界值，得到一個(gè)保守性較小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，但上界值需要提前給定；文獻(xiàn)[9]采用切換思想，避免了提前得到隸屬度函數(shù)導(dǎo)數(shù)的上界值這一苛刻條件，獲得了較好的結(jié)果；文獻(xiàn)[10]結(jié)合線積分Lyapunov函數(shù)和隸屬度函數(shù)相關(guān)的L-K泛函，得到一個(gè)具有較小保守性的穩(wěn)定性準(zhǔn)則；文獻(xiàn)[11]在構(gòu)造的隸屬度函數(shù)相關(guān)的L-K泛函中加入增廣矩陣，得到一個(gè)保守性較小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。然而，上述方法都是針對T-S模糊常時(shí)滯系統(tǒng)的研究，利用這種方法來研究T-S模糊時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的相關(guān)報(bào)道卻很少。本文將文獻(xiàn)[9-11]使用的方法推廣到T-S模糊時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究中，并充分利用時(shí)滯信息構(gòu)造一個(gè)新的隸屬度函數(shù)相關(guān)的增廣型L-K泛函，給出保守性較小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。

1 系統(tǒng)描述

對于一類非線性時(shí)滯系統(tǒng)，該系統(tǒng)可被If-Then規(guī)則描述為如下形式

(1)

通過單點(diǎn)模糊化、乘積推理和加權(quán)平均去模糊化的方法，全局動態(tài)系統(tǒng)(1)可描述為

(2)

2 穩(wěn)定性準(zhǔn)則

本文主要是對T-S模糊時(shí)滯系統(tǒng)(2)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，得出一個(gè)保守性較小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。

(3)

(4)

(5)

證明構(gòu)造隸屬度函數(shù)相關(guān)的L-K泛函如下

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t)

(6)

V(t)沿系統(tǒng)(2)軌跡對時(shí)間t求導(dǎo)，可得：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

使用文獻(xiàn)[5]中的引理3處理Δ得：

Δ≤-ηT(t)ΦTΘiΦη(t)

(13)

對式(10)中的積分項(xiàng)用文獻(xiàn)[4]中的引理2進(jìn)行處理，得

(14)

結(jié)合式(7)—(14)可得

(15)

得：

(16)

(17)

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，進(jìn)一步考慮(6)中的L-K泛函與隸屬度函數(shù)矩陣無關(guān)的情況，即Pλ=P，Quλ=Qu(u=1，2，3，4)，S1λ=S1，S2λ=S2，Rλ=R。可得推論1。

(18)

(19)

其證明與定理1的證明類似，在這里不再重復(fù)證明。

注對模糊規(guī)則數(shù)為r的T-S模糊時(shí)滯系統(tǒng)(2)，使式(4)成立的約束條件為Cl(l=1，2，…，2r-1)。在使用MATLAB中的LMI工具箱進(jìn)行驗(yàn)算時(shí)，首先分別對每個(gè)約束條件Cl求得各自的最大允許時(shí)滯上界h2l，然后取min{h2l}(l=1，2，…，2r-1)作為系統(tǒng)最終的最大允許時(shí)滯上界，這樣便可保證系統(tǒng)(2)是漸近穩(wěn)定的。

3 數(shù) 例

為了說明本文方法具有更小的保守性，通過相應(yīng)的數(shù)值示例來驗(yàn)證。

例使用如下的T-S模糊時(shí)滯系統(tǒng)[7]

取μ=0.1，h1=1，使用MATLAB中的LMI工具箱并在C1：{P1≥P2，Qu1≥Qu2，S11≥S12，S21≥S22，R1≥R2}和C2：{P1

表1 不同方法的最大允許時(shí)滯上界值

從表1可以看出，本文方法取得的最大時(shí)滯上界比其他方法大，說明本文所用方法最終得出的穩(wěn)定性準(zhǔn)則具有較小的保守性，驗(yàn)證了本文方法的有效性。

4 結(jié)束語

本文研究一類T-S模糊時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。通過分析現(xiàn)有文獻(xiàn)中存在的不足，構(gòu)造了一個(gè)隸屬度函數(shù)相關(guān)的L-K泛函，并充分利用時(shí)滯信息，在構(gòu)造的L-K泛函中引入增廣矩陣，獲得了一個(gè)保守性較小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。但是，在實(shí)際控制系統(tǒng)中，往往存在一些不確定性因素，因此，下一步將對具有參數(shù)不確定性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題展開研究。