倪洪杰 朱俊威 俞 立 禹鑫燚

(浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院 杭州 310023)

0 引 言

隨著現(xiàn)代展演藝術(shù)需求越來越旺盛，舞臺演出中逐漸出現(xiàn)多個足形機器人、智能車臺以及其他移動體等協(xié)同參與舞臺演出，以提升演出效果[1, 2]。通常在各類實際演出中，多個舞臺移動機器人往往需要根據(jù)演出劇情的特點進行編隊移動演出，特別在現(xiàn)有演出中，經(jīng)常要求多個相同控制結(jié)構(gòu)的舞臺移動機器人實現(xiàn)運動和狀態(tài)表現(xiàn)一致性，以配合演員或者劇情變化來特定演繹。與多智能協(xié)同控制類似，多舞臺移動機器人協(xié)同編隊演出的核心問題同樣是分布式協(xié)調(diào)控制，其目的是通過設(shè)計合適的控制協(xié)議，建立各舞臺移動機器人之間的關(guān)系，實現(xiàn)共同的目標(biāo)。同時多舞臺移動機器人之間存在通訊拓撲連接，其拓撲可能隨時間或任務(wù)目標(biāo)的變化而進行實時切換。

在切換拓撲下的多智能體協(xié)同控制問題上，Shen等人[3]利用半馬爾可夫鏈來描述可能由于網(wǎng)絡(luò)通信復(fù)雜性而引起的隨機拓撲交換，并提出了一種容錯事件觸發(fā)控制協(xié)議，以獲得多智能體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性。Saboori等人[4]研究了具有交換拓撲和有向通信網(wǎng)絡(luò)圖的線性時不變多智能體系統(tǒng)的協(xié)同執(zhí)行器故障調(diào)節(jié)策略，故障可以同時發(fā)生在多個代理中。Gallehdari等人[5]研究了面向有向交換拓撲網(wǎng)絡(luò)多智能體系統(tǒng)的分布式控制重構(gòu)策略，將所提出的可重構(gòu)控制律應(yīng)用于一組自主水下航行器(ALIV)在有向切換拓撲和同時執(zhí)行器故障等條件下的控制。Jia等人[6]討論了在有向切換拓撲條件下四軸飛行器群的領(lǐng)導(dǎo)跟隨問題，利用自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)觀測器逼近未知非線性函數(shù)，重構(gòu)不可測的內(nèi)部狀態(tài)，結(jié)合動態(tài)表面控制技術(shù)，提出了一種新的分布式輸出反饋形成控制協(xié)議。Wang和Yang[7]研究一類高階多智能體系統(tǒng)(MASs)的分布式容錯控制問題，該系統(tǒng)具有切換無向拓撲、異構(gòu)匹配不確定性、擾動和執(zhí)行器失效、偏置、停機和阻塞等故障, 基于相鄰節(jié)點的相關(guān)信息，通過分布式自適應(yīng)機制，設(shè)計了一種新的容錯一致性跟蹤協(xié)議。Ye等人[8]研究了具有半馬爾可夫跳變拓撲的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的容錯同步控制問題,其主要目的是設(shè)計一個容錯控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)在執(zhí)行機構(gòu)發(fā)生隨機故障時具有同步特性。Zheng和Zhang[9]利用增量算子方法研究了切換拓撲下多智能體系統(tǒng)故障和不匹配的一致性問題，引入了delta算子來統(tǒng)一連續(xù)、離散或采樣系統(tǒng)在一個框架下的一致分析。Patel和Mehta[10]針對具有切換拓撲結(jié)構(gòu)的離散多智能體系統(tǒng)，提出了一種領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性的離散滑模協(xié)議。Yan等人[11]針對基于離散信息的開關(guān)通信拓撲結(jié)構(gòu)下的多水下機器人協(xié)調(diào)控制問題，提出了具有或不具有時滯的協(xié)調(diào)控制協(xié)議。此外還有研究人員采用耗散理論和干擾觀測的方法研究了具有靜態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者的多機器人系統(tǒng)跟蹤控制問題[12]。

上述文獻中大多只考慮了系統(tǒng)發(fā)生單個故障的情況，實際舞臺移動機器人在演出過程中不可避免會因驅(qū)動執(zhí)行器出現(xiàn)瞬間異常或者轉(zhuǎn)速編碼盤損壞等而出現(xiàn)各類故障現(xiàn)象，需要考慮在切換拓撲下的多移動機器人編隊同步跟蹤控制問題。本文和上述研究相比，主要突出點在于：(1)考慮了切換拓撲下的多舞臺移動機器人跟蹤控制問題，通過設(shè)計一種容錯跟蹤控制協(xié)議，在多個單體移動機器人均發(fā)生多種故障的情況也能保證群體同步運行。(2)觀測器增益的切換并非隨著拓撲實時變化。在切換拓撲后，計算拉普拉斯矩陣的特征值，只有當(dāng)特征值上下界發(fā)生變化時，才需要重新計算觀測器增益，從而避免了頻繁切換增益。

1 問題描述

考慮實際演出中，有1+N個同構(gòu)舞臺移動機器人進行編隊運動控制，其中由N個舞臺移動機器人作為跟隨機器人構(gòu)建組成的一個網(wǎng)絡(luò)，假設(shè)每一個跟隨機器人的動力學(xué)方程可以用以下連續(xù)時間的線性時不變(linear time-invariant， LTI)系統(tǒng)來表示：

(1)

其中，xi(t)∈Rn,ui(t)∈Rm,yi(t)∈Rp分別表示跟隨機器人的系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入和測量輸出。fi(t),fsi(t)分別表示執(zhí)行器故障、傳感器故障，其導(dǎo)數(shù)范數(shù)均有界。wi(t)表示外部擾動，其范數(shù)有界。A,B,C,D,E,Bw為給定的實數(shù)矩陣。

1個同構(gòu)舞臺移動領(lǐng)航機器人的動力學(xué)方程為

(2)

其中，x0(t)∈Rn,r0(t)∈Rm,y0(t)∈RP分別表示領(lǐng)航機器人的系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入和測量輸出，A、B、C同樣為給定的實數(shù)矩陣。定義δi(t)=xi(t)-x0(t)作為第i個機器人節(jié)點的跟蹤誤差，由式(1)和(2)可以得到跟蹤誤差為

+Bwwi(t)

(3)

則可以得到一個增廣后的誤差跟蹤系統(tǒng)：

(4)

其中i=1, 2, 3, 4。

2 主要結(jié)果

在設(shè)計切換拓撲下的容錯跟蹤控制協(xié)議前，先將擾動投影到匹配分量和不匹配分量[13]，如下所示：

(5)

(6)

為構(gòu)造分布式中間觀測器，定義中間變量為

(7)

其中ω是一個調(diào)優(yōu)參數(shù)。從式(6)和(7)中可以得到：

(8)

對于第i個機器人節(jié)點，基于式(6)、(8)，設(shè)計分布式中間觀測器為

(9)

(10)

在前面分析的基礎(chǔ)上，將第i個機器人節(jié)點的容錯跟蹤控制協(xié)議設(shè)計為

(11)

K的取值要使得A-BK是Hurwitz矩陣。將式(11)代入式(3)，得到第i個節(jié)點的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

+Beξi(t)+Bw2wi(t)

(12)

由式(10)和(12)則整個閉環(huán)系統(tǒng)可以表示為

+(IN?S2)eξ(t)+(IN?Bw2)w(t)

(13)

其中，

M=L+G,S1=BK+ωBBT,S2=B

如果存在標(biāo)量ω>0,ε>0，矩陣P1>0,P2>0,P3>0和H使得整個閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)式(11)一致最終有界,則：

φi<0

(14)

其中，

證明給出Lyapunov函數(shù)為

V(t)=δT(t)(IN?P1)δ(t)

(15)

由式(13)和(14)，可以得到V(t)對時間的導(dǎo)數(shù)如下：

δT(t)[IN?P1(A-BK)+(A-BK)TP1]δ(t)

+2δT(t)(IN?P1S1)eδ(t)+2δT(t)(IN?P1S2)

(16)

2δT(t)(IN?P1Bw2)w(t)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

由式(15)～(22)得到：

+(A-BK)TP1]δ(t)

+2δT(t)(IN?P1S1)eδ(t)

+2δT(t)(IN?P1S2)

(23)

(24)

Σ11=He[IN?P1(A-BK)]

Σ12=IN?P1S1,Σ13=IN?P1S2,

+(1/ε)(IN?P3P3)

并且從式(15)中，可以得知:

V(t)≤max[λmax(P1),λmax(P2),λmax(P3)]

(25)

記Σp=-Σ，若Σ<0(即Σp>0)，則可以從式(24)和(25)中得出：

(26)

其中,

記集合Z為如下形式：

(27)

記Zs為Z的補集，則可以得知：

V(t)≥λmin(P1)‖δ(t)‖2

+λmin(P2)‖eδ(t)‖2

(28)

(29)

由于M是對稱實矩陣，對M進行譜分解可以得到：

M=QΛQT

(30)

其中，Q是由M的特征值構(gòu)成的矩陣，Λ= diag{λ1,…,λN} (i=1，2，…，N)是矩陣M的特征值。定義一個轉(zhuǎn)移矩陣如下所示：

(31)

左乘Σ，右乘T及其轉(zhuǎn)置后：

(32)

其中，

通過應(yīng)用舒爾補引理，可得Σ<0，即Σo<0等價于式(14)。證畢。

注1本例所設(shè)計的切換拓撲下的多舞臺移動機器人容錯跟蹤協(xié)議流程如圖1所示，主要有以下步驟。

(1) 設(shè)定調(diào)優(yōu)參數(shù)ω和反饋增益K，若最后估計性能不滿意，則需要重新設(shè)定ω和K；

圖1 容錯跟蹤控制協(xié)議流程圖

(2) 在當(dāng)前拓撲情況下，通過LMI計算觀測器增益。由于本例中，系統(tǒng)之間的拓撲隨時間而變化，因此需要根據(jù)當(dāng)前拓撲的連接性質(zhì)重新計算觀測器增益；

(3) 設(shè)計中間觀測器同時估計系統(tǒng)狀態(tài)和發(fā)生的故障；

(4) 利用估計值設(shè)計基于狀態(tài)反饋的容錯跟蹤控制協(xié)議，使得跟隨機器人和領(lǐng)航機器人的狀態(tài)保持一致。

注2在每次切換拓撲后，重新計算當(dāng)前拓撲下拉普拉斯矩陣的特征值，由于最大最小特征值決定了式(12)是否有解，其本質(zhì)上是一個凸條件。因此當(dāng)特征值的上下界發(fā)生變化時，才需要重新計算觀測器增益，避免了系統(tǒng)頻繁切換。

3 仿真算例

由于舞臺移動機器人運行在一個不完備的知識空間，因此需要為機器人編隊設(shè)計一種實時檢測故障，并保證編隊同步運行的控制策略。本文以一種輪式移動機器人編隊為例，通過仿真實驗來說明所設(shè)計的容錯跟蹤控制協(xié)議的有效性。其中，舞臺移動機器人的動力學(xué)模型[14]為

其中，Iv表示繞輪式機器人重心的轉(zhuǎn)動慣量；m表示移動機器人總質(zhì)量；l表示移動機器人寬度的一半；Iω表示移動機器人驅(qū)動輪的轉(zhuǎn)動慣量；c表示車輪與地面的摩擦系數(shù)；r表示車輪半徑；k表示移動機器人控制電機及驅(qū)動機構(gòu)的驅(qū)動增益。

代入其具體參數(shù)：

Iv=10 kg·m2，m=50 kg，l=0.5 m,

Iω=0.05 kg·m2，c=0.05 kg·m2/s,

r=0.125 m，k=20 N·m/V

得到其領(lǐng)航機器人的狀態(tài)空間方程為

考慮跟隨機器人系統(tǒng)同時發(fā)生執(zhí)行器故障和傳感器故障以及擾動的情況，可得跟隨機器人的狀態(tài)空間方程：

假設(shè)外部擾動為wi(t)=0.1sin(0.2t)，u0(t)為控制輸入。其中u0(t)的第1個分量表示右車輪的驅(qū)動電壓ur(t)，u0(t)的第2個分量表示左車輪的驅(qū)動電壓ul(t)，同前面領(lǐng)航機器人一樣，任何跟隨機器人無法直接獲得該驅(qū)動實時量。同樣假設(shè)u0(t)=r0(t)=3sin(0.2t)，需要指出的，在當(dāng)前移動機器人系統(tǒng)框架下，故障fi(t)和fsi(t)實際上分別表示左車輪的驅(qū)動電壓偏差和移動機器人方向角的量測偏差。在舞臺表演中，移動機器人需要根據(jù)實際的表演需求不斷變換其通訊拓撲，以滿足各種各樣的隊形要求，圖2為其拓撲變換流程。

圖2 拓撲變換1流程圖

為了模擬故障下同構(gòu)移動機器人編隊跟蹤效果，設(shè)定各個跟隨機器人的執(zhí)行器和傳感器故障，分別如表1和表2所示。

表1 執(zhí)行器故障

表2 傳感器故障

采用式(14)來計算觀測器增益，由λ1、λ2、λ3特征值可以看出，在第2種拓撲情況下，4個特征值的上下界沒有發(fā)生全部變化，因此在此拓撲情況下，不需要重新計算觀測器增益，如圖3所示。

在MatLab程序下進行本算法的仿真驗證，領(lǐng)航機器人和跟隨機器人的跟蹤狀態(tài)如圖4、圖 5所示，圖6～9給出了組合未知信號及其估計值，圖10給出了傳感器故障及其估計值。從上述圖表中可以看出，切換拓撲下的多舞臺移動機器人容錯跟蹤控制問題得到了解決。

圖3 拓撲變換2流程圖

圖4 領(lǐng)航與跟隨機器人狀態(tài)1

圖5 領(lǐng)航與跟隨機器人狀態(tài)2

圖6 組合未知信號1及其估計

注3本例中每個節(jié)點上有4個未知輸入信號，但是每個節(jié)點只有2個輸出，根據(jù)故障估計理論，無法單獨估計每一個未知輸入信號，因此本文將多個未知輸入信號整合為一個組合未知信號進行估計，即τi(t)=-r0(t)+fi(t)+wi(t)。

注4本例中，在40 s和80 s分別切換一次拓撲，但觀測器增益只切換了一次。從上述圖表中可以看出，在增益切換時，系統(tǒng)狀態(tài)和故障的估計均發(fā)生一定程度的抖動，但隨后又立刻得到調(diào)節(jié)，并且其抖動的超調(diào)量較小，證明了本例中所設(shè)計的切換拓撲下的多舞臺移動機器人容錯跟蹤控制協(xié)議的有效性。

圖7 組合未知信號2及其估計

圖8 組合未知信號3及其估計

圖9 組合未知信號4及其估計

圖10 傳感器故障及其估計

4 結(jié) 論

圍繞現(xiàn)代舞臺演出高品質(zhì)藝術(shù)表現(xiàn)需求，針對多舞臺移動機器人協(xié)同編隊演出特點，提出了一種在切換拓撲情況下的移動舞臺機器人容錯跟蹤控制方法。在完成不確定性量進行匹配分量和不匹配分量分解后，繼而通過分布式中間觀測器設(shè)計來估計由多種組合未知輸入信號，進而設(shè)計基于估計值的容錯跟蹤控制協(xié)議對匹配未知輸入進行有效補償，又通過調(diào)節(jié)特定參數(shù)充分抑制不匹配不確定性效應(yīng)。機器人驅(qū)動器和傳感器等多個故障發(fā)生下的仿真結(jié)果表明，本文設(shè)計方法仍能確保舞臺移動機器人獲得較好的容錯跟蹤控制性能，同時避免觀測器增益頻繁切換。下一步將圍繞多舞臺移動機器人故障特征點不確性來進一步提升容錯控制算法的魯棒性。