江蘇無錫市勤新實(shí)驗(yàn)小學(xué) 蔣燕霞

希爾伯特曾經(jīng)說過這樣一句話：“數(shù)學(xué)學(xué)科是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，它的生命力在于各個(gè)部分之間的聯(lián)系?！比绻抗?jié)數(shù)學(xué)課都能從“關(guān)系”出發(fā)，將學(xué)習(xí)置于知識(shí)體系的建構(gòu)之中，學(xué)生獲得的就不是局部的、零散的知識(shí)，而是有結(jié)構(gòu)的知識(shí)。長(zhǎng)此以往，學(xué)生的關(guān)系思維、邏輯思維等就能得到很好的滋養(yǎng)和發(fā)展。所以在平時(shí)的教學(xué)中，要充分發(fā)揮“畫”的作用。數(shù)量之間的關(guān)系，數(shù)與形的關(guān)系，平面和立體的關(guān)系，具體和抽象的關(guān)系，初級(jí)和高級(jí)的關(guān)系……一切數(shù)學(xué)似乎都可以歸結(jié)到“關(guān)系”里面來。

一、畫圖懂算理

畫圖的使用，要能夠結(jié)合學(xué)生當(dāng)前的思維水平，抓住學(xué)生的已有知識(shí)作為生長(zhǎng)點(diǎn)，并且要根據(jù)學(xué)生思維能力的不斷提高而進(jìn)行變化。在開展數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，教師要依據(jù)不同的年級(jí)確定不同的目標(biāo)，這樣才能夠循序漸進(jìn)，最終培養(yǎng)出學(xué)生采用畫圖解決問題的意識(shí)。如教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)平均分”時(shí)：在學(xué)生學(xué)習(xí)了例1后，教師出示例2的8個(gè)桃子圖，要平均分給4名同學(xué)，可以怎么分？教師可以放手讓學(xué)生在圖中分一分，再交流。學(xué)生通過在實(shí)物圖上分一分，使他們清楚地理解了平均分的意義，這是對(duì)學(xué)生理解能力的鍛煉，同時(shí)使得他們的口頭表達(dá)能力也得到了顯著提高。

教師要在平時(shí)的課堂練習(xí)過程中，注重培養(yǎng)學(xué)生畫圖解題的意識(shí)，這對(duì)學(xué)生形成解答數(shù)學(xué)問題的能力具有重要作用。讓學(xué)生在平時(shí)自己解決問題的過程中，能夠養(yǎng)成在審題時(shí)隨手畫圖的思路，利用畫圖的形式使解決問題的過程變得既簡(jiǎn)潔，又直觀形象。教師在教學(xué)中采用“數(shù)形結(jié)合”的方法，引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的形式來表示分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，并且引導(dǎo)學(xué)生用分?jǐn)?shù)乘法算式表示畫有陰影的圖所要表達(dá)的意義，以此來鞏固“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的分?jǐn)?shù)乘法的意義，讓學(xué)生能夠不僅掌握分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算過程，更能清楚地理解每一個(gè)分?jǐn)?shù)的意義。如在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)乘法”單元例4，和時(shí)，教師讓學(xué)生結(jié)合圖形，先說一說每個(gè)分?jǐn)?shù)表示的意義，深刻地理解這兩個(gè)算式的意義，再根據(jù)圖形寫出計(jì)算結(jié)果，這樣能更好地引導(dǎo)學(xué)生弄明白這些算式的積的意義。

數(shù)形結(jié)合思想每個(gè)數(shù)學(xué)教師都有，但這個(gè)結(jié)合的過程絕對(duì)不是單純地由抽象變?yōu)橹庇^的過程，而應(yīng)該是“抽象→直觀→抽象”這樣一個(gè)過程，將“以形論數(shù)”和“以數(shù)表形”進(jìn)行有效結(jié)合。學(xué)生只有在經(jīng)歷了數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換，才能真正地感知“數(shù)形結(jié)合”帶來的好處，才能自主地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題。

二、畫圖理方法

在日常教學(xué)中，教師為了讓學(xué)生自然、形象地認(rèn)識(shí)示意圖或線段圖，真正地體會(huì)到畫圖的作用，我們往往會(huì)用教具將“圖”進(jìn)行初始化。教師經(jīng)常用擺小棒的方法引導(dǎo)學(xué)生抽取出線段圖的模型，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生整理思路，找到解決問題的辦法。這樣，讓那些找不到解題思路的學(xué)生的思維有了依據(jù)，有了條理，產(chǎn)生“柳暗花明又一村”的感慨。其實(shí)，學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用畫圖策略解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題不是一蹴而就的，而是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程。在問題中如何有效地提煉信息，轉(zhuǎn)化成合理的圖像和形象的形式表達(dá)題意，在邏輯思維能力和動(dòng)手實(shí)踐能力這兩方面，對(duì)學(xué)生都有著比較高的要求。所以，教師在平時(shí)的教學(xué)過程中，要注重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用畫圖解決問題的能力。

蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)“解決問題的策略——假設(shè)”中的“雞兔同籠問題”，是本冊(cè)書上的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。在教學(xué)這個(gè)內(nèi)容時(shí)就可以利用畫圖的方法，讓學(xué)生把題目中的信息先畫出來再思考，這樣解決起來會(huì)容易很多。通過畫圖能比較清楚地顯示出數(shù)量關(guān)系，畫圖示意法既能提高學(xué)生的動(dòng)手能力，又能鍛煉學(xué)生的分析能力。在教學(xué)例題2時(shí)，除了給學(xué)生介紹假設(shè)法、一一列舉法，先假設(shè)再調(diào)整，筆者還給學(xué)生介紹了畫圖的方法。學(xué)生小蕊畫出了一幅圖畫：假設(shè)10條船都是大船，一共可以坐50人，比實(shí)際42人多了8人，每條大船比每條小船多2人，所以有四條小船被看成了大船，因此大船就是6條。

師：用圓圈來表示人，那么，不管大船小船具體有幾只，我們首先要畫幾個(gè)圓圈？

師：每個(gè)圓圈里畫5個(gè)小圓圈，這樣就有多少人？

師接著畫，邊畫邊數(shù)：1，2，……

師：實(shí)際有42人，多了幾人？

師（引導(dǎo)）：再看！小蕊為什么要在這四條船上每條撇去2個(gè)小圓？

師（強(qiáng)調(diào)）：我們得2個(gè)2個(gè)地去。

師：看來，畫圖是個(gè)好方法！

這部分內(nèi)容的教學(xué)是在六年級(jí)進(jìn)行的，針對(duì)高年級(jí)學(xué)生，教師就可以充分發(fā)揮學(xué)生的自主權(quán)，鼓勵(lì)學(xué)生用畫圖來分析解決問題，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立畫一個(gè)正確、完整的線段圖或示意圖的能力。教師在指導(dǎo)學(xué)生畫圖時(shí)，應(yīng)該“想方設(shè)法”“千方百計(jì)”，因?yàn)樾W(xué)階段學(xué)生的思維還處于初級(jí)階段，教師應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的思維特征，利用畫圖的直觀性、表象性來幫助學(xué)生理解抽象的等量關(guān)系。同時(shí)，教師也應(yīng)該把握好時(shí)機(jī)，幫助學(xué)生獲得畫圖的基本方法和技能，真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者。

三、畫圖明關(guān)系

畫圖的使用能夠有效地幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)題目的含義，提高學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力，還可以通過看圖列出算式，使學(xué)生能較清晰地表達(dá)題意和數(shù)量關(guān)系。如蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“解決問題的策略”這一單元中，學(xué)生在學(xué)習(xí)例2時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目的條件和問題，先用示意圖表示條件和問題，畫圖時(shí)理清“長(zhǎng)增加了3米，面積就增加了18平方米”這句話，根據(jù)這句話，能知道什么信息？如果憑空想，很多學(xué)生想不明白這可以知道寬的米數(shù)。對(duì)于四年級(jí)學(xué)生，教師可以對(duì)他們提出一些更高的要求，嘗試自己畫示意圖。有了示意圖，就能很清楚地從圖上知道，增加的面積除以增加的長(zhǎng)，得到原來的寬。利用示意圖來對(duì)題目中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析，對(duì)題目的含義就會(huì)有進(jìn)一步的理解。

如在學(xué)習(xí)蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“列方程解決稍復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題”例11時(shí)，六年級(jí)學(xué)生已經(jīng)有一定的畫圖經(jīng)驗(yàn)，教師完全可以放手讓學(xué)生畫線段圖，然后結(jié)合線段圖正確理解題意，厘清數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生理解“1+20%”的含義。引導(dǎo)學(xué)生會(huì)畫圖表示“增加百分之幾”的意義，學(xué)會(huì)畫線段圖解決稍復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題。

從以上線段圖中學(xué)生能很快地看出單位“1”是指原計(jì)劃植樹的棵數(shù)，并且能體會(huì)到實(shí)際植樹棵數(shù)就是原計(jì)劃的120%，從而寫出正確的數(shù)量關(guān)系，找到合適的解題方法。

“數(shù)無形時(shí)不直觀，形無數(shù)時(shí)難入微?！边@是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生所講的一句話。這句話充分表明了在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，畫圖策略具備重要的教學(xué)意義。它與學(xué)生的學(xué)習(xí)需求與成長(zhǎng)需要是非常契合的，所以，教師要高度重視培養(yǎng)學(xué)生的畫圖策略意識(shí)。同時(shí)，在實(shí)際教學(xué)過程中，教師不能生搬硬套地向?qū)W生傳授畫圖策略，要在對(duì)畫圖策略深刻理解與研究的基礎(chǔ)上靈活應(yīng)用，突破創(chuàng)新，從而提高學(xué)生利用畫圖策略解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。