江蘇無錫市后宅中心小學 顧利國
數(shù)學題組,就是為達到某個教學目的,將幾道知識之間存在密切聯(lián)系、題目形式比較接近、思維方法有關(guān)聯(lián)的數(shù)學題串聯(lián)在一起構(gòu)成的一個習題組。題組與單個習題相比較,它的主要優(yōu)勢在于:能幫助學生將一些分散孤立的知識點整理成一個知識系統(tǒng);便于學生發(fā)現(xiàn)知識之間的聯(lián)系和區(qū)別,進而更深刻地理解知識、掌握解題規(guī)律;更有利于培養(yǎng)學生的觀察、分析、推理、歸納、綜合等能力。
教材因受篇幅限制,通常會將知識精簡濃縮呈現(xiàn)。教學如果只是以本教本,學生的知識會十分狹窄,將嚴重阻礙學生的發(fā)展。教師要在幫助學生牢固掌握例題知識的前提下,積極發(fā)掘知識的內(nèi)涵深度、拓展知識的外延寬度。
拓展型題組,就是找準知識的某個生長方向,以幾個同類遞進的習題,引領學生走向更高、更遠、更廣處。
小學數(shù)學教材中關(guān)于整數(shù)筆算乘法,安排到“三位數(shù)乘兩位數(shù)”就結(jié)束了。如果教師在教學時也隨著教材就此打住,這樣的教學顯然是不到位的。因為學生經(jīng)歷了兩、三位數(shù)乘一位數(shù),兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法的學習,只要把相關(guān)算法和算理稍做遷移,就可掌握所有整數(shù)筆算乘法。所以,在學生掌握三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法后,教師設置了以下拓展題組:
下面兩題,你會列豎式計算嗎?
在學生展示、正確敘述計算過程后,教師追問:“五位數(shù)乘五位數(shù),六位數(shù)乘六位數(shù)會列豎式計算了嗎?”
生(興奮地):“會!我一百位數(shù)乘一百位數(shù)都會了!”
師:“好,你來說說一百位數(shù)乘一百位數(shù)怎樣計算?”
生:“只要用第一個乘數(shù)分別與第二個乘數(shù)個位、十位、百位、千位……上的數(shù)依次相乘,每次乘到哪一位,積的末尾就與那一位對齊,最后把每次的積相加?!?/p>
上面的微型題組雖然只有區(qū)區(qū)兩個算式,卻有四兩撥千斤的功效。幫助學生將所有的整數(shù)筆算乘法歸納到一個系統(tǒng)中,在腦海里建立了整數(shù)筆算乘法的通用模型,培養(yǎng)了學生的極限思想。此時,學生眼睛里看到的,不再是幾棵孤零零的樹木,而是一大片森林。
因知識本身的難度、類比負遷移等因素,學生在學習中,經(jīng)常會出現(xiàn)一些典型性錯誤?!安恢我巡≈挝床??!苯虒W中,教師對典型性錯誤要能夠敏銳地預見并盡可能地提前防范。
辨析型題組,就是針對容易混淆的知識點,把幾個有對有錯、似對而錯或幾種典型錯題放在一起,讓學生辨析,弄清錯誤和錯誤原因的所在,從而掌握正確知識。
學習乘法運算律以后,為避免學生會不自覺地將規(guī)律遷移到除法計算中,教師在學生一致認同除法中不存在“交換律”的基礎上,設計了以下題組讓學生觀察探討:除法中是否存在結(jié)合律和分配律?
通過辨析、再驗證,學生發(fā)現(xiàn),除法沒有類似于乘法的結(jié)合律。但除法中有類似于乘法的分配律,不過,只是適用于兩個數(shù)的和(差)除以一個數(shù),對一個數(shù)除以兩個數(shù)的和(差)并不適用。
“除法中既然存在分配律,那為什么只有(a+b)÷c=a÷c+b÷c這一類,而沒有像乘法那樣存在a÷(b+c)=a÷b+a÷c這一類呢?”有學生提出疑問。
“因為乘法有交換律,兩個乘數(shù)可以交換位置。除法沒有交換律,除號前面和后面的兩個數(shù)不能互換?!逼渌麑W生給出了這樣的解釋。
類比遷移是一種很好的思維方式,也是一種很好的學習方式。但類比遷移具有雙刃性,可能是正遷移,也可能是負遷移。
上面的題組,與其說是在避免負遷移,不如說是在積極利用負遷移;與其說是在避免知識錯誤,不如說是在完善思維的缺陷。
許多知識,看似平常,實則蘊含著內(nèi)在的規(guī)律。教學中,教師要善于洞察規(guī)律,并通過巧妙設計,引導學生主動發(fā)現(xiàn)規(guī)律,總結(jié)規(guī)律,并積極探究規(guī)律背后的原理。
如果僅是一道習題,學生很難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,而通過題組呈現(xiàn),規(guī)律就會顯而易見。
教學分數(shù)工程問題時,教師設計了這樣一個題組:
選擇條件解答。
__________,甲工程隊單獨鋪需要10天,乙工程隊單獨鋪需要15天。如果兩隊合鋪,多少天能鋪完?
(1)鋪一條360米長的水管;(2)鋪一條225米長的水管;(3)鋪一條1080米長的水管;(4)鋪一條水管。
學生們覺得,選擇條件(1)(2)(3)是可以解答的,選擇條件(4)無法解答。
教師請學生分別選取前三個條件中的一個解答。
匯報結(jié)果時,學生們驚奇地發(fā)現(xiàn),結(jié)果居然都是6天。他們極為震驚,深感疑惑。
“為什么水管的長度在變化,可是結(jié)果都是6天呢?” 教師利用學生的疑惑,與學生開展探討。學生明白了其中的奧妙以后,猛然發(fā)現(xiàn),利用條件(4)同樣能解答,只要把一條水管的長度看作單位“1”。
以上題組中前面三小題是一個引子,水管“具體數(shù)量”不同,結(jié)果卻相同,以此讓學生造成認知沖突,激發(fā)學生的探究欲望?!敖Y(jié)果相同”只是本題一個表面規(guī)律,表面規(guī)律背后的道理是“不管水管的具體米數(shù)如何變化,兩個工程隊每天修水管的幾分之幾這個部分量與總量之間的關(guān)系始終不變”。學生在掌握了這這一本質(zhì)特點后,思維自然而然地從“具體數(shù)量”的角度轉(zhuǎn)化到了“分數(shù)”的視角。通過打通新舊知識之間的聯(lián)系,有效化解了新課的難點。
學習如果只是在基礎知識、淺層次思維上徘徊,學生的進步必定是有限的。教師要經(jīng)常性地設計綜合性、挑戰(zhàn)性的習題來訓練學生的思維。
設計有梯度的題組,將難題化繁為簡、化難為易,可以填補思維斷層,讓不同層次的學生都參與進來,學會思考,學會分析。
在學習了“圓的認識”后,教師為了讓學生進一步建立圓的直徑和半徑之間的關(guān)系、初步感知圓與正多邊形之間的聯(lián)系,設計了這樣一題:
已知圓的直徑是8厘米,求圓的內(nèi)接六邊形的周長。
第一次教學時,直接出示題目,幫助學生理解題意后,讓學生獨立思考解答,效果不理想,只有個別學生能解答出來。
第二次教學時,改用題組教學,效果很好。這次題組中的問題不是教師直接給出,而是在讓學生觀察圖形、自主提問的基礎上整理得到:
(1)圖中的6個三角形看上去都是等邊三角形,真的是等邊三角形嗎?
(2)如果是等邊三角形,每條邊的長度是多少?
(3)圖中正六邊形的周長是多少?
(4)圓的周長怎么算?
教師把學生的問題整理成一個序列題組,一步一步得到正六邊形的周長,不僅解決了原來的問題,更讓學生在沿著“腳手架”攀爬的過程中體會到了解決較復雜問題的一般路徑與策略:通過聯(lián)想,先思考解決一些相關(guān)的簡單問題,進而解決復雜問題。學生有序思考問題、有條理分析問題的能力得到提升。
題組可以運用在新授教學中,也可以運用在練習、復習教學中。精心設計好題組,靈活運用好題組,能催發(fā)深度教學,提高教學質(zhì)量。