楊 潔， 肖 冰， 張 寧

（新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830017）

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，越來(lái)越多的復(fù)雜問(wèn)題都可以用非線性偏微分方程來(lái)描述，例如在流體力學(xué)、等離子物理學(xué)、光電通信、固態(tài)物理學(xué)以及交通等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 但是由于線性微分方程的一些基本性質(zhì)在非線性微分方程中不再成立，很難用一個(gè)統(tǒng)一的方法來(lái)求解后者，所以長(zhǎng)期以來(lái)，求解非線性偏微分方程的精確解一直是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家研究的熱點(diǎn)問(wèn)題［1-3］.

目前已發(fā)現(xiàn)越來(lái)越多的具有重要物理意義的非線性偏微分方程，如Korteweg-deVries方程、Huxley方程、Fitzhugh-Nagumo方程等都具有各種類型的孤立波解［4-5］. 孤立子正在流體物理學(xué)、基本粒子物理學(xué)、生物醫(yī)學(xué)等許多領(lǐng)域找到了應(yīng)用，并對(duì)一些過(guò)去難以解釋的現(xiàn)象做了說(shuō)明. 隨著孤立子理論的發(fā)展，人們提出了許多求解非線性偏微分方程的有效方法，如齊次平衡法［6］、G/G′展開(kāi)法［7］、雙曲正切函數(shù)展開(kāi)法［8］、Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法［9］、試探函數(shù)法［10］等一系列的方法.

最近，王明亮等［11］用齊次平衡法求出了一個(gè)1+1維非線性波動(dòng)方程

的精確解. 張衛(wèi)國(guó)［12］用待定系數(shù)法求出了非線性波動(dòng)方程

的鐘狀和扭狀孤波解. 范恩貴等［13］用齊次平衡法求出了一類非線性波動(dòng)方程

的孤立波解. 尚亞?wèn)|［14］用結(jié)合假設(shè)方法求出了非線性波動(dòng)方程

的一些顯式精確行波解.

基于他們的研究，本文利用最近引入的首次積分法的思想［15-16］，來(lái)求解如下一類應(yīng)用較廣泛的非線性波動(dòng)方程

的孤波解，其中a1，a2，a3，a4，a5均為方程參數(shù). 求解方程（1）的孤波解具有非常重要的意義，因?yàn)槲锢韺W(xué)上的一些比較重要的方程，如φ4方程、Duffing方程、Sine-Gordon方程的近似方程、Sinh-Gordon方程的近似方程、Landau-Ginzburg-Higgs方程、Klein-Gordon方程以及非線性電報(bào)方程等都可以看作是該方程的特殊情形.

1 研究方法

考慮非線性偏微分方程

設(shè)u(x,t)是方程（2）的解，對(duì)方程（2）作行波變換u(x,t)=u(ξ)，其中ξ=x-vt，則方程（2）可轉(zhuǎn)化為常微分方程

現(xiàn)引入新的變量X(ξ)=u(ξ)，Y=uξ(ξ)，則可以得到常微分方程組：

其中：F是關(guān)于Y的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式；v為液速.

接下來(lái)利用Division 定理來(lái)得到式（4）的一個(gè)首次積分，從而可以把方程（3）化為一階可積的常微分方程，通過(guò)解這個(gè)方程可以得到方程（2）的解，其中Division定理如下.

Division 定理［17］假設(shè)P(w,z)，Q(w,z)是復(fù)數(shù)域C[w,z]上的多項(xiàng)式，并且P(w,z)是復(fù)數(shù)域C[w,z]上的不可約多項(xiàng)式，如果P(w,z)的所有零點(diǎn)也是Q(w,z)的零點(diǎn)，那么在復(fù)數(shù)域上存在一個(gè)多項(xiàng)式G[w,z]使得Q[w,z]=P[w,z]G[w,z] .

2 非線性波動(dòng)方程的孤波解

現(xiàn)在利用首次積分法來(lái)求解非線性波動(dòng)方程（1）的孤波解，作行波變換

其中：v是波速. 通過(guò)行波變換式（5）可以將方程（1）化為常微分方程：

令X(ξ)=u(ξ)，Y=uξ(ξ)，則方程（6）等價(jià)于

由式（16）以及方程（7）可得

解常微分方程（17）可以得到方程（1）的解為：

其中：C1為任意常數(shù).

特別地，當(dāng)a4=0 時(shí)可以得到非線性電報(bào)方程

的兩個(gè)孤波解為：

注1如果取a1=2，a2=-2，a5=1，v=1，C1= 2，可以得到非線性電報(bào)方程（20）的特解為：

利用MATLAB做出其圖形，如圖1所示.

圖1 方程（20）的特解的圖像Fig.1 Graph of the particular solution of equation（20）

3 結(jié)論

在本文中，利用首次積分法，獲得了一類含有多個(gè)任意參數(shù)的非線性波動(dòng)方程的孤波解，同時(shí)當(dāng)參數(shù)取不同的特殊值時(shí)，對(duì)應(yīng)地可以獲得不同的孤波解. 更值得注意的是，本文所研究的方程包含了數(shù)學(xué)物理中的一大類非常重要的非線性數(shù)學(xué)物理方程.本文中所獲得的精確解或許對(duì)于這些方程在物理上的應(yīng)用將會(huì)有一定的實(shí)際意義.