王光建，周 磊，鄒帥東

1) 重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044 2) 重慶大學汽車工程學院，重慶 400044 3) 重慶大學機械工程學院，重慶 400044

齒輪傳動誤差和側隙是影響精密傳動系統(tǒng)運動準確性的重要因素，而由于加工、裝配等導致的偏心誤差（包括軸、齒輪、軸承等制造及裝配誤差）是大周期傳動誤差和周期性側隙的主要來源[1?3].因此有必要分析研究偏心誤差作用下的齒輪傳動誤差和側隙.

國內(nèi)外學者對齒輪系統(tǒng)傳動誤差進行了較多研究. 文獻[4]按照傳動比的高和低，分別用兩種不同的計算公式對誤差進行相位補償，文獻[5]～[6]指出其不足并在其基礎上采用解析法推導出偏心誤差的齒輪副傳動誤差公式. 由于解析法求解過程復雜，嚙合線增量法計算傳動誤差較為簡單，應用更為普遍，如文獻[1]，文獻[7]～[8]通過嚙合線增量法分別計算了具有偏心誤差的外嚙合齒輪副，NGW行星減速器的傳動誤差. 而在高速輕載或交變負載力矩齒輪傳動以及無隙嚙合傳動中，通常會出現(xiàn)輪齒齒背面嚙合[9?13]，但上述計算傳動誤差的文獻中并未明確指出齒背面嚙合傳動誤差計算方法，因此分析計算齒背面?zhèn)鲃诱`差具有重要意義.

由于齒輪側隙的強非線性，其直接影響伺服控制的穩(wěn)定性、響應性、精度和系統(tǒng)敏感度[14]；同時對于精密傳動系統(tǒng)，特別在輕載高速工況下，側隙也是影響齒輪動態(tài)特性的重要因素[15?19]. 因此通過測量獲得全面的齒輪側隙數(shù)據(jù)具有重要意義. 而目前齒輪側隙的測量方法[20]主要包括塞尺法、百分表法、度盤法、自整角機法和機械滯后回差法等，測試數(shù)據(jù)離散，數(shù)據(jù)不全面，效率較低.

本文提出一種基于雙齒面?zhèn)鲃诱`差的側隙連續(xù)測量新方法. 通過建立雙面?zhèn)鲃诱`差計算模型，建立與側隙計算公式等價關系. 并通過實驗方法得到不同負載力矩下的雙齒面動態(tài)傳動誤差曲線，推導由變形引起的回差與負載力矩的關系，從而得到無負載雙齒面?zhèn)鲃诱`差曲線，最終獲得連續(xù)側隙曲線. 同時根據(jù)齒背面?zhèn)鲃诱`差曲線及其理論模型，擬合得到齒輪副偏心誤差及初始相位，實現(xiàn)對整個大周期側隙值的快速預測.

1 雙面?zhèn)鲃诱`差與側隙理論模型

1.1 雙面無負載傳動誤差

定義因軸承、軸及齒輪等加工及裝配誤差導致主動輪幾何中心與其實際旋轉(zhuǎn)中心的偏移量e1為主動輪綜合偏心誤差，見圖1，則當輪齒嚙合面為驅(qū)動齒面時，其嚙合線增量計算如下，

當輪齒嚙合面為齒背面時，其嚙合線增量為，

式中： ?F1（包括 ?F1d和 ?F1b）為主動輪偏心導致的嚙合線增量； φ1為主動輪任意時刻的轉(zhuǎn)動角位移；e1和 θ1為主動輪偏心誤差及其初始相位；α為齒輪副壓力角. 其中，定義與主動輪旋轉(zhuǎn)方向一致的齒面為驅(qū)動齒面，與主動輪旋轉(zhuǎn)方向相反的齒面為齒背面，如圖1所示.

同理，定義從動輪幾何中心與其實際旋轉(zhuǎn)中心的偏移量e2為從動輪綜合偏心誤差，見圖2，則當輪齒嚙合面為驅(qū)動齒面時，其嚙合線增量計算如下，

當輪齒嚙合面為齒背面時，其嚙合線增量為，

式中： ?F2（包括 ?F2d和 ?F2b）為從動輪偏心導致的嚙合線增量； φ2為從動輪任意時刻的轉(zhuǎn)動角位移；e2和 θ2為從動輪偏心誤差及其初始相位.

圖1 主動輪偏心誤差下嚙合線增量計算模型. （a）嚙合齒面為驅(qū)動齒面；（b）嚙合齒面為齒背面Fig.1 Engagement increment calculation model with eccentric error of pinion:(a) drive-side meshing; (b) back-side meshing

圖2 從動輪偏心誤差下嚙合線增量計算模型. （a）嚙合齒面為驅(qū)動齒面；（b）嚙合齒面為齒背面Fig.2 Engagement increment calculation model with eccentric error of driven gear:(a) drive-side meshing; (b) back-side meshing

定義僅由偏心引起的傳動誤差為無負載傳動誤差（后面實驗研究的由偏心誤差、剛度、負載及時變側隙引起的傳動誤差定義為動態(tài)傳動誤差），將嚙合齒面不同情況下的主從動輪嚙合線增量轉(zhuǎn)化為從動輪旋轉(zhuǎn)角度，則可分別得到驅(qū)動齒面與齒背面無負載傳動誤差.

式中： ? ?d為驅(qū)動齒面嚙合時無負載傳動誤差；??b為齒背面嚙合時無負載傳動誤差，單位均為度(°)；R2為從動輪分度圓半徑.

1.2 側隙理論計算模型

齒輪傳動的側隙通常包括常值側隙和周期性變值側隙[21]，其中常值側隙主要由齒厚偏差、中心距誤差等引起；周期性變值側隙主要由軸承、軸及齒輪等制造、裝配偏心誤差引起. 周期性變值側隙計算如下：

將上式用牛頓二項式定理展開，得，

其中，a為齒輪副安裝中心距，由于e1<

由公式（9）易知初始變值側隙為，

因此，齒輪副總側隙及初始總側隙可表示為，

式中：jv、jv0、jφ、jφ0及jc分別為齒輪副變值側隙，初始變值側隙，總側隙，初始總側隙及常值側隙，單位均為度(°).

1.3 雙齒面無負載傳動誤差與側隙關系

通過前文計算公式可知，

由上式可知，齒輪副側隙可間接通過驅(qū)動齒面無負載傳動誤差及含初始側隙的齒背面無負載傳動誤差得到.

2 雙齒面?zhèn)鲃诱`差測量

2.1 實驗裝置及參數(shù)

實驗裝置如圖3，實驗系統(tǒng)包括驅(qū)動電機、變齒厚齒輪副、編碼器、負載電機、滾珠花鍵副、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)、電機的控制器、直線執(zhí)行器、消隙控制器以及上位機等. 通過控制器1控制驅(qū)動電機旋轉(zhuǎn)，控制器2控制負載電機提供實驗所需負載，主從動輪轉(zhuǎn)動角度分別通過編碼器1和2測量，測量的角位移數(shù)據(jù)由數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采集并帶入公式（14）計算，從而獲得雙齒面實驗傳動誤差曲線. 由于本實驗僅涉及傳動誤差及側隙測量，并未涉及消隙實驗，因此消隙控制器及直線執(zhí)行器未使用，但連續(xù)側隙的測試對消隙控制研究具有重要意義[22?24].此外，本裝置中的變齒厚齒輪副屬于漸開線齒輪副一種，因此上述建立的傳動誤差及側隙理論模型仍然適用. 實驗參數(shù)及齒輪副參數(shù)如表1.

式中，? ?為傳動誤差，φ2s分別為編碼器2測量角位移，φ1s為 編碼器1測量角位移，i為傳動比.

2.2 雙齒面?zhèn)鲃诱`差測量

當驅(qū)動電機驅(qū)動主動齒輪旋轉(zhuǎn)，其方向與負載力矩方向均為逆時針時，若啟動時開始接觸齒面為驅(qū)動齒面，如圖4（a），實驗所測的傳動誤差曲線為初始無側隙驅(qū)動齒面?zhèn)鲃诱`差；若啟動時開始接觸齒面為齒背面，如圖4（b），則實驗所測的傳動誤差曲線為含初始側隙的驅(qū)動齒面?zhèn)鲃诱`差.當驅(qū)動電機驅(qū)動主動齒輪逆時針旋轉(zhuǎn)，負載力矩方向為順時針方向時，若啟動時開始接觸齒面為驅(qū)動齒面，如圖5（a），實驗所測的傳動誤差曲線為含初始側隙的齒背面?zhèn)鲃诱`差；若啟動時開始接觸齒面為齒背面，如圖5（b），則實驗所測的傳動誤差曲線為初始無側隙齒背面?zhèn)鲃诱`差. 由于主從動輪齒數(shù)的關系，當主動輪旋轉(zhuǎn)16圈，從動輪旋轉(zhuǎn)9圈時，齒輪嚙合的輪齒相同，齒輪副回到初始測試起點. 為方便進行實驗結果比較，主動輪每次均由相同起始位置開始，起始位置的精度由編碼器保證. 實驗中為保證實驗數(shù)據(jù)的可靠性，每組數(shù)據(jù)均進行重復性實驗.

2.3 傳動誤差實驗曲線與初步分析

按圖4～圖5所示初始位置，分別進行不同負載力矩下的雙齒面?zhèn)鲃诱`差曲線測量，實驗結果如圖6～圖9. 定義回差為負載下實驗裝置的變形與齒輪副側隙值之和，即

式中，B為回差，? δk為負載引起的變形.

因此，初始時刻的回差（以下簡稱初始回差）為負載引起的變形和齒輪副初始側隙之和，即

式中，B0為初始回差

由實驗裝置圖3可知，負載引起的變形和齒輪副初始側隙為編碼器2在初始時刻測量所得角度值的絕對值，而初始時刻編碼器1測量角度值因此，

式中，B0為初始回差，? ?0為傳動誤差初始值.

圖3 傳動誤差及側隙測量實驗裝置圖Fig.3 Experimental device for transmission error and backlash measurement

表1 齒輪副基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of gear pair

由公式（17）知，初始回差即為初始時刻傳動誤差值絕對值. 圖6（a）中為不同負載的驅(qū)動齒面?zhèn)鲃诱`差曲線，同時由于初始接觸齒面為驅(qū)動齒面，即齒輪副初始側隙為零，聯(lián)立公式（16）及（17）可知，傳動誤差曲線的初始時刻值的絕對值（即初始回差）等于負載引起的變形值. 當負載力矩為零時，負載引起的變形為零，因此傳動誤差曲線初始時刻值為零. 而隨著負載力矩逐漸增加，導致齒輪、軸、聯(lián)軸器等零件變形加大，初始回差逐漸增大，因此傳動誤差曲線初始時刻值的絕對值逐漸增大，即逐漸遠離坐標原點. 由各負載下傳動誤差初始時刻值及公式（17）可得相應負載下的初始回差實驗值，如圖6（b）所示，而初始回差理論值由計算所得，將在 2.4節(jié)具體闡述. 此外，從圖 6（b）可知，負載力矩與初始回差呈較好的線性關系.

圖7（a）所示，由于初始接觸齒面發(fā)生變化，齒輪副初始側隙值不為零，因此，傳動誤差曲線初始時刻為初始側隙值與負載引起的變形值之和. 當負載為零時，負載引起的變形為零，因此由公式（16）及公式（17）可知，傳動誤差初始時刻值的絕對值即為齒輪副初始側隙，即約為0.065°. 同時由各負載下傳動誤差初始時刻值及公式（17）可得相應負載下的初始回差實驗值，如圖 7（b）所示. 圖 7（b）中，初始回差與負載也呈較好的線性關系.

同理可分析圖8與圖9齒背面?zhèn)鲃诱`差曲線與初始回差. 圖8（a）中，當初始時刻接觸面為驅(qū)動齒面時，齒輪副初始側隙不為零，初始回差為齒輪副初始側隙及實驗裝置變形之和；圖9（a）中，當初始時刻接觸面為齒背面時，齒輪副初始側隙為零，因此初始回差等于實驗裝置變形. 此外，如圖8（b）與9（b）所示，初始回差與負載也呈較好的線性關系，且變化斜率基本與圖 6（b）、圖 7（b）一致.

圖4 驅(qū)動齒面?zhèn)鲃诱`差測量起始位置示意圖. （a）初始接觸齒面為驅(qū)動齒面；（b）初始接觸齒面為齒背面Fig.4 Schematic of the initial position of the drive-side transmission error measurement:(a) drive-side contact in initial position; (b) back-side contact in initial position

圖5 齒背面?zhèn)鲃诱`差測量起始位置示意圖. （a）初始接觸齒面為驅(qū)動齒面；（b）初始接觸齒面為齒背面Fig.5 Schematic of the initial position of the back-side transmission error measurement:(a) drive-side contact in initial position; (b) back-side contact in initial position

圖6 驅(qū)動齒面?zhèn)鲃诱`差測量且初始時刻驅(qū)動齒面接觸. （a）傳動誤差對比曲線；（b）各負載與其初始回差對比Fig.6 Drive-side transmission error measurement with drive-side contact at initial position:(a) comparison of transmission error curves; (b) comparison of each load torque with its corresponding hysteresis

圖7 驅(qū)動齒面?zhèn)鲃诱`差測量且初始時刻齒背面接觸. （a）傳動誤差對比曲線；（b）各負載與其初始回差對比Fig.7 Drive-side transmission error measurement with back-side contact at initial position:(a) comparison of transmission error curves; (b) comparison of each load torque with its corresponding hysteresis

圖8 齒背面?zhèn)鲃诱`差測量且初始時刻驅(qū)動齒面接觸. （a）傳動誤差對比曲線；（b）各負載與其初始回差對比Fig.8 Back-side transmission error measurement with drive-side contact at initial position:(a) comparison of transmission error curves; (b) comparison of each load torque with its corresponding hysteresis

2.4 剛度計算與初始回差分析

從圖3實驗裝置圖可知，當施加負載力矩時，編碼器2測量的角度中包含的變形主要是齒輪副變形、滾珠花鍵副變形、膜片聯(lián)軸器2變形及從動輪至編碼器2之間的輸出軸變形. 因此總變形可以表示下，

圖9 齒背面?zhèn)鲃诱`差測量且初始時刻齒背面接觸. （a）傳動誤差對比曲線；（b）各負載與其初始回差對比Fig.9 Back-side transmission error measurement with back-side contact at initial position:(a) comparison of transmission error curves; (b) comparison of each load torque with its corresponding hysteresis.

式中，T為負載力矩，kg、ka、ks及kc分別為單位寬度齒輪副剛度、從動輪至編碼器2之間的輸出軸剛度、滾珠花鍵副剛度及聯(lián)軸器剛度. 其中，單位寬度齒輪副剛度通過文獻 [20]查得為 20 N?(μm·mm)?1，軸的剛度由文獻 [25]得 289.44 N?m?(°)?1，滾珠花鍵副剛度參考文獻 [26]計算后為 9.768×107?P1/3N?m?1，其中P為外載作用力，膜片聯(lián)軸器剛度參考文獻[25]為 1.87×104N?m?rad?1. 各部分剛度及變形如表 2、表3所示.

表2 各部分理論剛度Table 2 Theoretical stiffness of each part

表3 不同負載力矩下，各部分變形數(shù)據(jù)Table 3 Deformation data of various parts under different loads

從表3可以看出，各負載力矩下實驗總變形結果與理論結果吻合較好，且引起變形回差的主要因素是軸和聯(lián)軸器. 由公式（16）可知，初始回差主要由實驗裝置變形和齒輪副初始側隙組成，因此變形越大，初始回差越大. 同時表2中，軸與聯(lián)軸器剛度相對較低，即變形較大，因此對初始回差影響較大.

聯(lián)立公式（16）及（18）得

由公式（19）可知，初始回差與負載之間理論上呈線性關系. 將表3中各負載下計算的理論變形值以及2.3節(jié)的齒輪副初始側隙值代入公式（16），得到理論初始回差，如圖 6（b）、圖 7（b）、圖 8（b）及圖 9（b）. 由圖 6（b）～圖 9（b）可知，實驗和理論初始回差吻合較好，且均與負載具有較好的線性關系.

3 側隙連續(xù)曲線與預測

3.1 側隙連續(xù)曲線

當通過公式（13）獲得齒輪副連續(xù)側隙曲線時，雙齒面?zhèn)鲃诱`差曲線必須為無負載傳動誤差曲線. 由圖 6（a）～圖 9（a）可知，負載下的傳動誤差曲線與無負載下的傳動誤差曲線為常值的上下偏移，其偏移值與表3中計算的變形值相等，即

圖10 雙面?zhèn)鲃诱`差與側隙連續(xù)曲線Fig.10 Two-sided transmission error and continuous backlash curve

3.2 側隙預測

3.2.1 初始側隙、偏心誤差及其初始相位預測

不同于上述側隙連續(xù)測量方法，側隙預測只需采集一段含初始側隙的齒背面?zhèn)鲃诱`差曲線，以2.5 N?m含初始側隙的驅(qū)動面?zhèn)鲃诱`差實驗曲線為例，如圖11，易知初始回差為0.08°，除去負載力矩引起的理論變形量0.015°（第2部分剛度計算中已求），因此齒輪副初始側隙jφ0為0.065°. 再將不含初始回差的齒背面?zhèn)鲃诱`差曲線帶入其理論模型公式（6），通過實驗數(shù)據(jù)擬合，從而預測出齒輪副的偏心誤差及其初始相位，擬合曲線如圖11，擬合得到偏心誤差和初始相位分別為：e1=0.023 mm，θ1= ?12.9?，e2=0.026 mm，θ2= ?69.8?.

圖11 齒背面?zhèn)鲃诱`差實驗及擬合曲線Fig.11 Experimental and fitting curve of back-side transmission error

3.2.2 變值側隙、常值側隙及總側隙預測

將擬合得到的偏心誤差及初始相位帶入側隙模型公式（9）得到變值側隙，如圖12. 再通過公式（10），得初始變值側隙jv0為?0.007°，并由初始側隙和初始變值側隙值，通過公式（12）得常值側隙為0.072°，最后得到齒輪副總側隙，如圖12所示.

圖12 側隙預測曲線Fig.12 Predicted backlash curve

4 側隙測量方法對比

如圖13所示，機械滯后回差測量法是將主動輪固定，再將從動輪分別轉(zhuǎn)動到驅(qū)動齒面接觸和齒背面接觸兩個位置，記錄兩個位置的角度值并相減，并除去該力矩下引起的變形角度，從而得到該位置處齒輪副的側隙值. 再將主動轉(zhuǎn)動一定角度，重復上面操作，從而得到一組離散的側隙值曲線. 本實驗在一個大周期內(nèi)（主動輪16圈，從動輪9圈）以及 2.5 N?m 負載力矩下，主動輪從 0°到 5760°每旋轉(zhuǎn)90°測試一組側隙值，共計65組側隙數(shù)據(jù)，測量結果如圖14.

圖13 機械滯后回差法測量原理Fig.13 Measurement principle of mechanical return backlash method

圖14為三種側隙測量方法測試結果，可以看出側隙連續(xù)測量與機械滯后回差法測量的結果十分吻合，證明了基于雙齒面?zhèn)鲃诱`差的側隙測量方法的正確性. 三種方法中，機械滯后回差法數(shù)據(jù)零散且不全面，且耗費時間周期長，效率低；基于雙齒面?zhèn)鲃诱`差的側隙連續(xù)測量方法不需要單點進行測量，可以獲得更全面的側隙數(shù)據(jù)，且整個大周期側隙結果僅在幾分鐘內(nèi)便可全部得到，效率較高；側隙預測方法效率最高，僅需測量一小段含側隙的齒背面?zhèn)鲃诱`差而得到整個大周期側隙結果，但與其余兩種方法相比，其結果存在有一定偏差，因為擬合得到的偏心誤差與其初始相位以及計算的理論剛度值均與實際情況存在偏差，因此此方法只能大致預測側隙值范圍以及側隙在整個大周期內(nèi)的變化趨勢.

圖14 三種側隙測量方法對比Fig.14 Comparison of three backlash measurement methods

5 結論

（1）本文建立雙齒面?zhèn)鲃诱`差及側隙理論模型并建立三者等價關系. 進行了不同負載力矩下雙齒面?zhèn)鲃诱`差的測量. 結果表明負載力矩與初始回差呈較好的線性關系，負載力矩越大，變形越大，初始回差越大. 經(jīng)過剛度理論計算發(fā)現(xiàn)引起變形回差的主要部分為膜片聯(lián)軸器與輸出軸，齒輪和滾珠花鍵影響較小.

（2）基于雙齒面?zhèn)鲃诱`差實驗曲線，實現(xiàn)了對齒輪整個大周期側隙的連續(xù)測量與預測. 結果表明，連續(xù)測量曲線與機械滯后回差法測量結果吻合良好，而側隙預測較好地反應了側隙值變化范圍和變化趨勢. 同時，測量連續(xù)測量方法及側隙預測均證明了理論模型的正確性，提高了側隙測量效率并獲得了更全面的側隙數(shù)據(jù)，為齒輪傳動的非線性研究、消隙控制以及齒輪精度研究等奠定了基礎.