何加寬

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，是中考中的“?？汀?。有些同學(xué)由于概念不清、方法不明等原因，經(jīng)常在解決一元二次方程相關(guān)問題時出錯?，F(xiàn)對一元二次方程的典型易錯題進(jìn)行舉例剖析，以供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考。

一、忽視二次項系數(shù)不為0

例1 若關(guān)于x的方程（m+1）x^m2-1-2x+1=0是一元二次方程，則m的值為____。

【錯解】因為這是一元二次方程，所以含有未知數(shù)x的項的最高次數(shù)是2，即m²+1=2，解得m=±1。

【剖析】本題考查一元二次方程的概念。錯因是對概念理解不透徹，忽視二次項系數(shù)a≠0。當(dāng)m=-1時，此方程變成一元一次方程，顯然不符合題意，所以m=-1應(yīng)舍去。

【正解】由m²+1=2，得m=±1。又因為m+1≠0，即m≠-1，所以m的值為1。

【點評】ax²+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）是一元二次方程的一般形式。同學(xué)們在解題時，不能看到“二次”就只顧“次數(shù)”，還需注意a≠0的條件限制。同學(xué)們平時對一元二次方程等概念的學(xué)習(xí)，不僅要看“樣子”，還要關(guān)注“條件”。

二、解方程步驟不清、忽視條件漏根

例2 解方程：（1）（x-1）²=4;（2）3x（x-3）=2（x-3）。

【錯解】（1）x-1=2，x=3;（2）方程兩邊同除以x-3，得3x=2，x=2/3。

【點評】根據(jù)平方根定義，解方程時要明晰定義和性質(zhì)，理清解方程的步驟，預(yù)防丟根;在應(yīng)用等式的性質(zhì)解方程時，切不可在方程兩邊同除以含未知數(shù)的代數(shù)式，否則將失根。增根好剔除，失根難尋找哦。

三、忽視分類討論

例3 已知關(guān)于x的方程（m-2）x²-2（m-1）x+m+1=0有實數(shù)根，求m的取值范圍。

【錯解】因為關(guān)于x的方程（m-2）x²-2（m-1）x+m+1=0有實數(shù)根，所以m-2≠0，[-2（m-1）]²-4（m-2）（m+1）≥0，解得m<3且m≠2。

【剖析】題目中沒有指明關(guān)于x的方程是一元二次方程，那么它也可能是一元一次方程，因此要對關(guān)于x的方程進(jìn)行分類討論。

【正解】因為關(guān)于x的方程（m-2）x²-2·（m-1）x+m+1=0有實數(shù)根，

所以（1）當(dāng)m-2=0，即m=2時，原方程可化為-2x+3=0，解得x=3/2，則m=2時，方程有實數(shù)根;

（2）當(dāng)m-2≠0，即m≠2時，[-2（m-1）]²-4（m-2）（m+1）≥0，解得m≤3且m≠2。

綜上所述，m的取值范圍是m≤3。

【點評】我們在解題時，要看清題意，不能盲目認(rèn)為有實數(shù)根的方程就是一元二次方程?！坝袑崝?shù)根”不等于“有兩個實數(shù)根”，對于含字母參數(shù)的方程ax²+bx+c=0存在實數(shù)根時，需分a=0和a≠0兩種情況分類討論。

四、忽視實際意義

例4某商場以成本為每件60元購進(jìn)一批襯衫，以每件100元的價格銷售，每天可賣出20件。為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若每件襯衫每降價5元，則每天可多賣10件。若商店平均每天盈利1200元，每件襯衫的售價應(yīng)定為多少元？

【錯解】設(shè)每件襯衫的售價為x元。根據(jù)題意，得（x-60）[20+10/5（100-x）]=1200，整理，得x²-170x+7200=0，解這個方程，得x₁=90，x₂=80。

答：每件襯衫的售價為80元或90元。

【剖析】根據(jù)“總盈利=單件利潤×銷售數(shù)量”，歸為“a×b=c”模型。本題要考慮“每件襯衫每降價5元，則每天可多賣10件”，轉(zhuǎn)化為每降價1元，每天多賣10/5件，還要注意“盡快減少庫存”這個條件，對兩個根進(jìn)行取舍。

【正解】設(shè)每件襯衫的售價為x元。

根據(jù)題意，得（x-60）[20+10/5（100-x）]=1200，

整理，得x²-170x+7200=0，

解這個方程，得x₁=90，X₂=80。

因為商場要擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，所以當(dāng)x₁=90時，銷售量：20+10/5×（100-x）=40;當(dāng)x₂=80時，銷售量：20+10/5×（100-x）=60，因此，每件襯衫的售價90元不合題意，舍去。

答：每件襯衫的售價為80元。

【點評】一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。檢驗方程的解，不僅要考慮是否適合方程本身，還要考慮是否符合實際意義。